Distribución Geométrica.
Gustavo Monsalve Guerrero.
Pontificia Universidad Javeriana Cali, Facultad de Ingeniería y Ciencias, Programa de Ingeniería Biomédica.
Probabilidad y Estadística.
Origen de la distribución
La distribución geométrica, debe su origen a uno de los pioneros de la estadística, Jakob Bernoulli, matemático suizo quién tiene a su nombre un modelo de experimento aleatorio, donde existen dos posibles resultados, éxito o fracaso. Bernoulli mediante su obra “Ars Conjectandi, publicada postumamente en 1713, estudia las profundidades de los experimentos puros o de Bernoulli y plantea las bases para la distribución geométrica. Esta distribución para variables aleatorias discretas se utiliza para experimentos de tipo binario,donde se busca encontrar el número de fracasos antes del primer éxito. Los resultados posibles son mutuamente excluyentes y conservan la misma probabilidad durante todas las repeticiones del evento, donde el resultado de un evento no afecta a los resultados futuros, lo que se conoce como perdida de memoria.
Características principales.
La distribución geométrica cuenta con un parámetro, comúnmente denotado como \(p\), el cual representa la probabilidad de que el experimento tenga éxito, y bajo esa premisa \(q\) representa la probabilidad de fracaso; también iterpretada como \(q = 1 - p\).
La función de probabilidad para la distribución geométrica está dada por la expresión: \(P(X= x)= p \cdot q^{x-1}\), para \(x\ge 1\).
A su vez la función de probabilidad acumulada está dada por la expresión: \(P(X \le x)= 1-q^{x}\).
Además, si se está interesado en estudiar los momentos haciendo uso de está distribución se cuenta con la siguiente función generadora de momentos:\[M_X(t) = \frac{pe^t}{1 - (1 - p)e^t}, \quad \text{para } t < -\ln(1 - p)\] Así mismo, si se desea calcular el valor esperado \(E[X]\) y la varianza \(V[X]\) para una distribución geométrica, se cuenta con las expresiones matemáticas que se expresan a continuación:
\(E[X] = \frac{1}{p}\) ; \(V[X] = \frac{1-p}{p^2}\).
Por último se tiene que la distribución normal, cuenta con una gráfica que se comporta de la siguiente manera:
Aplicaciones en el campo de la ingeniería biomédica.
Ensayos clínicos
Tiempo hasta la respuesta al tratamiento: Se puede utilizar para modelar el número de ciclos de un tratamiento hasta que un paciente muestre una respuesta positiva.
Número de pacientes a tratar para encontrar uno con una determinada mutación: En estudios genéticos, se puede estimar cuántos pacientes deben ser evaluados para encontrar uno con una mutación específica.
Diseño de equipos y tratamientos médicos:
Fiabilidad de componentes: Se puede utilizar para modelar el número de ciclos de funcionamiento de un componente hasta que falle.
Tasa de éxito de procedimientos: Se puede emplear para estimar el número de intentos necesarios para lograr un procedimiento médico exitoso (por ejemplo, una punción lumbar).
Bioinformática:
Análisis de secuencias: Se puede emplear para modelar la longitud de ciertas secuencias genéticas o proteicas.
Ejercicios.
No.1: Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene un entrenamiento avanzado en programación computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes. Determinar la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación en la quinta entrevista.
Datos: \(p=0.3\) , \(x= 5\), \(q= 1-0.3 = 0.7\)
Además se sabe que \(P(X= x) = p \cdot q^{x-1}\), y se nos está preguntando por \(P(X= 5)\), así:
\(P(X=5)= 0.3 \cdot 0.7^{5-1} = 0.07203\)
No.2: Si suponemos que el número de años que transcurren antes de que falle un tranformador sigue una distribución geométrica con p = 0.00459, ¿Cuál es la probabilidad que falle durante los primeros 5 años?
Datos: \(p=0.00459\) , \(x \le 5\), \(q= 1-0.00459 = 0.99541\)
En este ejercicio se pide la probabilidad acumulada, la cual se define como \(P(X \le x)= 1-q^{x}\). Así \(P(X\le 5)= 1-0.99541^{5}= 0.02274\).
Relaciones con otras distribuciones.
La distribución geométrica está relacionada escencialmente con tres distribuciones importantes, las cuales serían Bernoulli, binomial negativa y la distribución exponencial; las relaciones están dadas por los siguientes argumentos.
Relación con distribución Bernoulli: Está relación se da ya que la distribución geométrica se origina en el contexto de los experimentos de Bernoulli, que son ensayos con dos posibles resultados: éxito o fracaso. En este marco, la distribución geométrica modela el número de ensayos necesarios hasta que se obtiene el primer éxito.
Relación con distribución exponencial: La distribución geométrica es el análogo discreto de la distribución exponencial. Mientras que la distribución geométrica cuenta el número de ensayos necesarios hasta el primer éxito en un contexto discreto, la distribución exponencial modela el tiempo que transcurre hasta el primer evento en un proceso de Poisson continuo. Ambas distribuciones reflejan la misma idea subyacente de medir el tiempo o el número de ensayos hasta que ocurre un evento de interés, lo que las hace complementarias en diferentes contextos.
Relación con distribución binomial negativa: La distribución geométrica también se relaciona con la distribución binomial negativa, que generaliza la idea de contar el número de ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos. En este sentido, la distribución geométrica puede verse como un caso especial de la distribución binomial negativa donde \(r=1\).
Referencias.
Bibliografía Cabrera García, S. (2009). Distribución Geométrica. 5058. https://riunet.upv.es/handle/10251/5058
Estadística, P. y. (2022, diciembre 16). Distribución geométrica. Probabilidad y Estadística. https://www.probabilidadyestadistica.net/distribucion-geometrica/
MODELOS DE PROBABILIDAD II. (s/f). Www.uv.es. Recuperado el 20 de septiembre de 2024, de https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/modelos2.htm