Origen
La Distribución de Gumbel fue introducida por Emil Gumbel a mediados del siglo XX para modelar el valor extremo de fenómenos aleatorios, como el máximo de las precipitaciones. Es especialmente útil en la ingeniería para evaluar riesgos relacionados con eventos extremos. En relación al libro: (Gumbel 1958)
Características:
Las carateristicas principales son:
- La distribución de Gumbel describe el comportamiento de los máximos en un conjunto de datos.
- La función de densidad de probabilidad (pdf) de la Distribución de Gumbel está dada por:
\[ f(x; \mu, \beta) = \frac{1}{\beta} \exp\left(-\left(\frac{x - \mu}{\beta}\right) - \exp\left(-\frac{x - \mu}{\beta}\right)\right) \]
Media: \[E(X) = \mu + \beta \cdot \gamma\]
Varianza: \[V(X) = \frac{\pi^2 \beta^2}{6}\]
Donde:
- es la variable aleatoria.
\(\mu\) es el parámetro de ubicación.
\(\beta\) es el parámetro de escala.
\(\gamma\) es la constante de Euler-Mascheroni (\(\approx 0.5772\)).
Ejemplo
Modela el máximo de las precipitaciones diarias utilizando la distribución de Gumbel con los parámetros μ=0 (parámetro de ubicación) y β=1 (parámetro de escala). La distribución de Gumbel es comúnmente utilizada para modelar eventos extremos, como los máximos o mínimos observados en un conjunto de datos, por lo que es ideal para el análisis de fenómenos naturales como las precipitaciones.
Parámetros de la distribución:
μ=0: Este parámetro de ubicación indica que la distribución de los máximos está centrada en el valor cero, lo que significa que los valores más frecuentes de los máximos se concentran alrededor de este punto.
β=1: El parámetro de escala define la dispersión de los valores alrededor de μ. Al tener un valor de 1, indica una dispersión moderada de los datos.
\[\mu = 0\] \[beta = 1 \]
| x_values_10 | pdf_values_10 |
|---|---|
| -5.0 | 0 |
| -4.9 | 0 |
| -4.8 | 0 |
| -4.7 | 0 |
| -4.6 | 0 |
| -4.5 | 0 |
| -4.4 | 0 |
| -4.3 | 0 |
| -4.2 | 0 |
| -4.1 | 0 |
Interpretación:
La gráfica resultante muestra la distribución de la densidad de probabilidad para los primeros 10 valores seleccionados de x.
Esta curva nos da una idea de qué tan probable es que ocurran ciertos máximos de precipitaciones dentro del rango seleccionado. Por ejemplo, los valores cercanos a x=0 tienden a tener mayor probabilidad, lo que es coherente con el parámetro de ubicación μ=0.
Los valores de x más alejados del centro (tanto en el rango positivo como negativo) tienen menor densidad de probabilidad, lo que indica que los eventos extremos (precipitaciones muy altas o muy bajas) son menos frecuentes en comparación con los valores cercanos al promedio.
Aplicaciones
La Distribución de Gumbel se utiliza en diversas áreas de la ingeniería para modelar fenómenos extremos:
como:
Ingeniería Civil: Se utiliza para predecir inundaciones y evaluar riesgos relacionados con eventos climáticos extremos.
Ingeniería Ambiental: Ayuda en el análisis de datos de calidad del agua y contaminación, especialmente en eventos extremos.
Relaciones entre distribuciones univariadas
La distribución de Gumbel está relacionada con otras distribuciones de probabilidad:
Distribución de Extremos:
La distribución de Gumbel es una de las distribuciones más comunes para modelar el máximo de un conjunto de datos.
Distribución Exponencial:
La distribución de Gumbel se relaciona con la distribución exponencial en ciertos contextos de modelado de tiempos de espera.
Distribución de Weibull:
La distribución de Weibull es frecuentemente utilizada en el análisis de supervivencia y confiabilidad, y se puede relacionar con la distribución de Gumbel a través de transformaciones.
