Origen
La Distribución de Erlang fue introducida por Agner Krarup Erlang a principios del siglo XX para estudiar el tráfico en redes de telecomunicaciones y modelar los tiempos de espera en sistemas de colas. Erlang trabajó en el análisis del tiempo necesario para completar varias fases de un proceso, particularmente útil para dimensionar la cantidad de lÃneas telefónicas requeridas.
Caracteristicas
La distribución de Erlang describe el tiempo total necesario para que ocurran k eventos en un proceso de Poisson, con una tasa constante \(\lambda\).
La función de densidad de probabilidad (pdf) de la Distribución de Erlang está dada por:
Media: \(E(T) = \frac{k}{\lambda}\)
Varianza: \(V(T) = \frac{k}{\lambda^2}\)
Donde: - \(t\) es el tiempo (variable aleatoria). - \(k\) es el número de fases o eventos. - \(\lambda\) es el parámetro de tasa de ocurrencia.
Ejemplo
Se considera un sistema donde los eventos ocurren de acuerdo con un proceso de Poisson con una tasa \(\lambda=2\) eventos por unidad de tiempo. El tiempo total necesario para que ocurran k=3 eventos puede modelarse usando la distribución de Erlang.
Parametros
- k=3 (número de eventos)
- λ=2 (tasa de ocurrencia de eventos)
| t_values | pdf_values |
|---|---|
| 0 | 0.0000000 |
| 1 | 0.5413411 |
| 2 | 0.2930502 |
| 3 | 0.0892351 |
| 4 | 0.0214696 |
| 5 | 0.0045400 |
| 6 | 0.0008848 |
| 7 | 0.0001630 |
| 8 | 0.0000288 |
| 9 | 0.0000049 |
| 10 | 0.0000008 |
#info
La tabla anterior muestra la probabilidad de ocurrencia de tiempos dados, bajo una Distribución de Erlang con \(\lambda=2\) y \(k=3\).
## [1] 0.2930502#info
La forma de la distribución de Erlang para \(k = 3\) y \(\lambda = 2\) se muestra a continuación:
Aplicaciones en Ingenieria
La Distribución de Erlang se utiliza en diversos campos de la ingenierÃa para modelar fenómenos relacionados con tiempos de espera, servicio, procesamiento o eventos que ocurren en varias etapas: -IngenierÃa de software y redes: En el diseño de servidores web o de bases de datos, la Distribución de Erlang es útil para predecir los tiempos de respuesta o los tiempos de espera en sistemas de colas que involucran múltiples fases de procesamiento. -IngenierÃa de tráfico: Modela el tiempo de viaje o el tiempo entre llegadas en intersecciones o sistemas de tránsito, donde el tránsito atraviesa varias fases
Relaciones entre distribuciones univariadas
La distribución de Erlang está relacionada con otras distribuciones de probabilidad:
Casos especiales y transformaciones
Distribución Exponencial: Para \(k = 1\), la Distribución de Erlang se reduce a la distribución exponencial. Relaciones asintóticas
Distribución Gamma: La Distribución de Erlang es un caso especial de la distribución gamma cuando el parámetro de forma \(k\) es un entero. Relaciones Bayesianas. La distribución gamma se utiliza como distribución previa conjugada en modelos bayesianos para tiempos de espera o procesos de Poisson.
Distribuciones Invariantes: En ciertos sistemas de colas o de eventos, la distribución de tiempos entre eventos o entre fases puede ser invariante bajo transformaciones como el escalamiento temporal
