Apoyo - Clase 04 - Introducción a las probabilidades (Parte 02)
1. Introducción
Fenómenos aleatorios describen situaciones donde, aunque se conozcan todos los resultados posibles, el resultado específico no puede predecirse con certeza. Durante esta guía, se revisarán conceptos clave como la unión de eventos y su probabilidad de ocurrencia conjunta, así como la intersección de eventos, que se refiere a la probabilidad de que ocurran simultáneamente. Además, se explorarán temas como la probabilidad condicional y la independencia de eventos. Finalmente, se introducirá el Teorema de Bayes (Montgomery and Runger 2018), utilizado para actualizar probabilidades basadas en información nueva.
2. Conceptos básicos
2.1 Unión de eventos
La unión de eventos se refiere a la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos. La probabilidad de la unión varía si los eventos son mutuamente excluyentes o no excluyentes.
a. Probabilidad de la unión para eventos no mutuamente excluyentes:
Cuando se quiere conocer la probabilidad de la unión de dos eventos que no son mutuamente excluyentes, se utiliza la fórmula que toma en cuenta la intersección de ambos eventos, para evitar contarla dos veces:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Donde:
- \(P(A \cup B)\) es la probabilidad de que ocurra \(A\), \(B\), o ambos.
- \(P(A \cap B)\) es la intersección de ambos eventos, que se resta para no duplicarla en el cálculo.
b. Probabilidad de la unión para tres eventos no mutuamente excluyentes:
Cuando se consideran tres eventos que no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión se obtiene con la fórmula que considera todas las intersecciones posibles entre ellos:
\[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \]
Esto se debe a que se restan las intersecciones dobles y se agrega la intersección triple, que ha sido restada tres veces en las intersecciones dobles.
c. Probabilidad condicional:
La probabilidad condicional \(P(A|B)\) se usa cuando se quiere calcular la probabilidad de que ocurra \(A\) dado que ya ocurrió \(B\). Se define como:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Esto se interpreta como “probabilidad de que ocurra \(A\) dado que ocurrió \(B\)”. Es útil en situaciones donde hay dependencia entre eventos.
Ejemplo:
En un curso de estadística, la probabilidad de que un alumno estudie
teoría es de 75%, y la probabilidad de que practique código en R es de
60%. Además, se sabe que la probabilidad de que estudie teoría y
practique código es de 33%. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que
practique código dado que estudió teoría?
# Definir las probabilidades
p_A <- 0.75 # Probabilidad de estudiar teoría
p_B <- 0.60 # Probabilidad de practicar código en R
p_AyB <- 0.33 # Probabilidad de estudiar teoría y practicar código
# Calcular la probabilidad condicional
p_B_given_A <- p_AyB / p_A
p_B_given_A # Resultado de la probabilidad condicional## [1] 0.44
2.2 Intersección de eventos
La intersección de eventos se refiere a la probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente. Esta se representa como \(P(A \cap B)\).
a. Regla de la multiplicación para eventos dependientes
\[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \]
Ejemplo:
Si la probabilidad de que un estudiante estudie teoría, dado que
practica código en R es \(P(A|B) =
0.6\), y la probabilidad de practicar código es \(P(B) = 0.5\), entonces:
# Definir probabilidades
p_A_given_B <- 0.6
p_B <- 0.5
# Calcular la probabilidad de la intersección
p_interseccion_dependiente <- p_A_given_B * p_B
p_interseccion_dependiente## [1] 0.3b. Regla de la multiplicación para eventos independientes
Para eventos independientes, la probabilidad de la intersección se calcula usando la fórmula:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
Esto se debe a que la ocurrencia de \(A\) no influye en la probabilidad de que ocurra \(B\). Cuando dos eventos son independientes:, su probabilidad conjunta es simplemente el producto de las probabilidades individuales.
Ejemplo:
Si la probabilidad de que un estudiante apruebe un examen de teoría es \(P(A) = 0.7\) y la probabilidad de que apruebe un examen de práctica es \(P(B) = 0.8\), entonces, la probabilidad de que apruebe ambos exámenes es:
# Probabilidades de los eventos
p_A <- 0.7
p_B <- 0.8
# Cálculo de la intersección para eventos independientes
p_interseccion_independiente <- p_A * p_B
p_interseccion_independiente## [1] 0.56
2.3 Independencia de eventos
La independencia de eventos se verifica cuando la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Esto se cumple si:
\[ P(A|B) = P(A) \quad \text{y} \quad P(B|A) = P(B) \]
o también:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
Para n eventos independientes:
\[ P(E_{i1} \cap E_{i2} \cap \ldots \cap E_{ik}) = P(E_{i1}) \cdot P(E_{i2}) \cdot \ldots \cdot P(E_{ik}) \]
Ejemplo:
Si la probabilidad de que llueva un día es \(P(A) = 0.4\) y la probabilidad de que haya
un terremoto es \(P(B) = 0.1\),
entonces, la probabilidad de que llueva y haya un terremoto el mismo día
(considerando que son eventos independientes) es:
# Definir las probabilidades
p_lluvia <- 0.4
p_terremoto <- 0.1
# Cálculo de la intersección para eventos independientes
p_interseccion <- p_lluvia * p_terremoto
p_interseccion## [1] 0.043. Introducción al Teorema de Bayes
3.1 Definición
El Teorema de Bayes es una herramienta fundamental para actualizar la probabilidad de un evento basado en nueva información. La fórmula básica se expresa como:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \]
Donde:
- \(P(A|B)\) es la probabilidad de \(A\) dado \(B\).
- \(P(B|A)\) es la probabilidad de \(B\) dado \(A\).
- \(P(A)\) es la probabilidad inicial de \(A\).
- \(P(B)\) es la probabilidad inicial de \(B\).
El Teorema de Bayes es especialmente útil en escenarios donde se tiene información previa sobre un evento y se desea ajustar esa probabilidad con nuevos datos.
3.2. Ejemplo
Se tienen dos industrias que producen teléfonos: Sumsang y Pineapple.
- \(P(A) = 0.6\) (probabilidad de que
el teléfono sea de Sumsang)
- \(P(B|A) = 0.05\) (probabilidad de
que sea defectuoso dado que es de Sumsang)
- \(P(\overline{A}) = 0.4\)
(probabilidad de que el teléfono sea de Pineapple)
- \(P(B|\overline{A}) = 0.02\) (probabilidad de que sea defectuoso dado que es de Pineapple)
Se desea calcular la probabilidad de que, si un teléfono es defectuoso, haya sido fabricado por Sumsang:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \quad \Rightarrow \quad \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})} \]
# Definir probabilidades
p_sumsang <- 0.6
p_defecto_sumsang <- 0.05
p_pineapple <- 0.4
p_defecto_pineapple <- 0.02
# Calcular la probabilidad usando Bayes
p_defecto_dado_sumsang <- (p_defecto_sumsang * p_sumsang) / (p_defecto_sumsang * p_sumsang + p_defecto_pineapple * p_pineapple)
p_defecto_dado_sumsang## [1] 0.7894737
