Sumário ME414

Intervalos de Confiança

A criação de intervalos de confiança para o parâmetro \(\theta\) requer os seguintes fatores:

• Estimador do parâmetro de interesse: \(\hat{\theta}\);
• Definição do nível de confiança: \(1-\alpha\);
• Coeficiente de confiança: \(d_{\alpha/2}\);
• Erro-padrão do estimador do parâmetro de interesse: \(\mbox{EP}(\hat{\theta})\).

O intervalo de confiança para o parâmetro de interesse \(\theta\) é calculado por:

\[IC(\theta, 1-\alpha) = \hat{\theta} \pm d_{\alpha/2} \times \mbox{EP}(\hat{\theta}) \]

Intervalo de Confiança para a Média de Uma População

Para o cálculo do IC para a média \(\mu\) de uma população: \[ \hat{\theta} = \bar{X} \]

Variância Conhecida

\[ \begin{aligned} d_{\alpha/2} & = z_{\alpha/2} \\ \mbox{EP}(\hat{\theta}) & = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\ IC(\mu, 1-\alpha) &= \bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{aligned} \]

Variância Desconhecida

\[ \begin{aligned} d_{\alpha/2} & = t_{n-1, \alpha/2} \\ \mbox{EP}(\hat{\theta}) & = \frac{s}{\sqrt{n}} \\ IC(\mu, 1-\alpha) &= \bar{X} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \end{aligned} \]

Intervalo de Confiança para uma Proporção

Para o cálculo do IC para uma proporção \(p\):

\[ \begin{aligned} \hat{\theta} & = \hat{p} \\ d_{\alpha/2} & = z_{\alpha/2} \end{aligned} \]

Caso Conservador

\[ \begin{aligned} \mbox{EP}(\hat{\theta}) & = \sqrt{\frac{1}{4n}} \\ IC(p, 1-\alpha) &= \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{1}{4n}} \end{aligned} \]

Usando \(\hat{p}\) para estimar o erro padrão

\[ \begin{aligned} \mbox{EP}(\hat{\theta}) & = \sqrt{\frac{\hat{p} (1-\hat{p})}{n}} \\ IC(p, 1-\alpha) &= \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p} (1-\hat{p})}{n}} \end{aligned} \]

Intervalo de Confiança para a Diferença de Duas Médias

Para o cálculo do IC para a diferença entre duas médias \(\mu_1 - \mu_2\) de duas populações independentes: \[ \hat{\theta} = \bar{X} - \bar{Y} \\ \]

Variâncias Conhecidas e Diferentes

\[ \begin{aligned} d_{\alpha/2} & = z_{\alpha/2} \\ \mbox{EP}(\hat{\theta}) & = \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{m}} \\ IC(\mu_1 - \mu_2, 1-\alpha) &= (\bar{X} - \bar{Y}) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{m}} \end{aligned} \]

Variâncias Conhecidas e Iguais

\[ \begin{aligned} d_{\alpha/2} & = z_{\alpha/2} \\ \mbox{EP}(\hat{\theta}) & = \sqrt{\sigma^2 (\frac{1}{n}+\frac{1}{m})} \\ IC(\mu_1 - \mu_2, 1-\alpha) &= (\bar{X} - \bar{Y}) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\sigma^2 \left( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right)} \end{aligned} \]

Variâncias Desconhecidas e Iguais

Para esse caso, precisamos encontrar um estimador da variância comum: \[s_p^2 = \frac{(n-1) s_1^2 + (m-1)s_2^2}{n+m-2}\]

\[ \begin{aligned} d_{\alpha/2} & = t_{n+m-2, \alpha/2} \\ \mbox{EP}(\hat{\theta}) & = \sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n}+\frac{1}{m})} \\ IC(\mu_1 - \mu_2, 1-\alpha) &= (\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{n+m-2, \alpha/2} \sqrt{s_p^2 \left( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right)} \end{aligned} \]

Intervalo de Confiança para a Diferença de Duas Proporções

Para o cálculo do IC para a diferença de duas proporções, \(p_1-p_2\):

\[ \begin{aligned} \hat{\theta} & = \hat{p_1} - \hat{p_2} \\ d_{\alpha/2} & = z_{\alpha/2} \\ \mbox{EP}(\hat{\theta}) & = \sqrt{\frac{\hat{p_1} (1-\hat{p_1})}{n_1} + \frac{\hat{p_2} (1-\hat{p_2})}{n_2}} \\ IC(p_1 - p_2, 1-\alpha) &= (\hat{p_1}-\hat{p_2}) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p_1} (1-\hat{p_1})}{n_1} + \frac{\hat{p_2} (1-\hat{p_2})}{n_2}} \end{aligned} \]

Testes de Hipótese

Para realizar testes de hipótese temos que seguir os seguintes passos:

• Passo 1: Checar as suposições
• Passo 2: Elaborar as hipóteses
• Passo 3: Calcular a estatística do teste
• Passo 4: Calcular o valor-de-p (ou determinar a região crítica)
• Passo 5: Conclusões

Teste de Hipótese para uma Média

Hipóteses:
\[ \begin{aligned} H_0: \mu = \mu_0 \quad \mbox{vs} \quad H_a: & \mu \neq \mu_0 \mbox{ (bilateral)} \\ & \mu < \mu_0 \mbox{ (unilateral à esquerda)} \\ & \mu > \mu_0 \mbox{ (unilateral à direita)} \end{aligned} \]

Variância Conhecida

Estatística do teste: \[Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

Conclusão:

Hipótese Alternativa	Valor crítico para \(\alpha\)	Valor-de-p
\(H_a: \mu\neq \mu_0\) (bilateral)	rejeitar se \(|z_{obs}|\geq z_{\alpha/2}\)	\(2 P(Z\geq |z_{obs}|)\)
\(H_a: \mu < \mu_0\) (unilateral à esquerda)	rejeitar se \(z_{obs}\leq -z_{\alpha}\)	\(P(Z\leq z_{obs})\)
\(H_a: \mu > \mu_0\) (unilateral à direita)	rejeitar se \(z_{obs}\geq z_{\alpha}\)	\(P(Z\geq z_{obs})\)

Variância Desconhecida

Estatística do teste: \[T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}} \overset{H_0}{\sim} t_{n-1}\]

Conclusão:

Hipótese Alternativa	Valor crítico para \(\alpha\)	Valor-de-p
\(H_a: \mu\neq \mu_0\) (bilateral)	rejeitar se \(|t_{obs}|\geq t_{n-1, \alpha/2}\)	\(2 P(T\geq |t_{obs}|)\)
\(H_a: \mu < \mu_0\) (unilateral à esquerda)	rejeitar se \(t_{obs}\leq -t_{n-1,\alpha}\)	\(P(T\leq t_{obs})\)
\(H_a: \mu > \mu_0\) (unilateral à direita)	rejeitar se \(t_{obs}\geq t_{n-1,\alpha}\)	\(P(T\geq t_{obs})\)

Teste de Hipótese para a Diferença de Duas Médias

Hipóteses:
\[ \begin{aligned} H_0: \mu_1 - \mu_2 = \Delta_0 \quad \mbox{vs} \quad H_a: & \mu_1 - \mu_2 \neq \Delta_0 \mbox{ (bilateral)} \\ & \mu_1 - \mu_2 < \Delta_0 \mbox{ (unilateral à esquerda)} \\ & \mu_1 - \mu_2 > \Delta_0 \mbox{ (unilateral à direita)} \end{aligned} \]

Variâncias Conhecidas e Diferentes

Estatística do teste: \[Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\Delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n}+ \frac{\sigma_2^2}{m}}} \overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

Conclusão:

Hipótese Alternativa	Valor crítico para \(\alpha\)	Valor-de-p
\(H_a: \mu\neq \mu_0\) (bilateral)	rejeitar se \(|z_{obs}|\geq z_{\alpha/2}\)	\(2 P(Z\geq |z_{obs}|)\)
\(H_a: \mu < \mu_0\) (unilateral à esquerda)	rejeitar se \(z_{obs}\leq -z_{\alpha}\)	\(P(Z\leq z_{obs})\)
\(H_a: \mu > \mu_0\) (unilateral à direita)	rejeitar se \(z_{obs}\geq z_{\alpha}\)	\(P(Z\geq z_{obs})\)

Variâncias Conhecidas e Iguais

Estatística do teste: \[Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\Delta_0}{\sqrt{\sigma^2 \left( \frac{1}{n}+ \frac{1}{m} \right)}} \overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

Conclusão:

Hipótese Alternativa	Valor crítico para \(\alpha\)	Valor-de-p
\(H_a: \mu\neq \mu_0\) (bilateral)	rejeitar se \(|z_{obs}|\geq z_{\alpha/2}\)	\(2 P(Z\geq |z_{obs}|)\)
\(H_a: \mu < \mu_0\) (unilateral à esquerda)	rejeitar se \(z_{obs}\leq -z_{\alpha}\)	\(P(Z\leq z_{obs})\)
\(H_a: \mu > \mu_0\) (unilateral à direita)	rejeitar se \(z_{obs}\geq z_{\alpha}\)	\(P(Z\geq z_{obs})\)

Variâncias Desconhecidas e Iguais

Estatística do teste: \[T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\Delta_0}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n}+ \frac{1}{m} \right)}} \overset{H_0}{\sim} t_{n+m-2},\] sendo \(\displaystyle s_p^2 = \frac{(n-1) s_1^2 + (m-1)s_2^2}{n+m-2}\)

Conclusão:

Hipótese Alternativa	Valor crítico para \(\alpha\)	Valor-de-p
\(H_a: \mu\neq \mu_0\) (bilateral)	rejeitar se \(|t_{obs}|\geq t_{n+m-2,\alpha/2}\)	\(2 P(T\geq |t_{obs}|)\)
\(H_a: \mu < \mu_0\) (unilateral à esquerda)	rejeitar se \(t_{obs}\leq -t_{n+m-2,\alpha}\)	\(P(T\leq t_{obs})\)
\(H_a: \mu > \mu_0\) (unilateral à direita)	rejeitar se \(t_{obs}\geq t_{n+m-2,\alpha}\)	\(P(T\geq t_{obs})\)

Teste de Hipótese para uma Proporção

Hipóteses:
\[ \begin{aligned} H_0: p = p_0 \quad \mbox{vs} \quad H_a: & p \neq p_0 \mbox{ (bilateral)} \\ & p < p_0 \mbox{ (unilateral à esquerda)} \\ & p > p_0 \mbox{ (unilateral à direita)} \end{aligned} \]

Estatística do teste: \[Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

Conclusão:

Hipótese Alternativa	Valor crítico para \(\alpha\)	Valor-de-p
\(H_a: p\neq p_0\) (bilateral)	rejeitar se \(|z_{obs}|\geq z_{\alpha/2}\)	\(2 P(Z\geq |z_{obs}|)\)
\(H_a: p < p_0\) (unilateral à esquerda)	rejeitar se \(z_{obs}\leq -z_{\alpha}\)	\(P(Z\leq z_{obs})\)
\(H_a: p > p_0\) (unilateral à direita)	rejeitar se \(z_{obs}\geq z_{\alpha}\)	\(P(Z\geq z_{obs})\)

Teste de Hipótese para a Diferença entre Duas Proporções

Hipóteses:
\[\begin{aligned} H_0: p_1-p_2=0 \quad \mbox{vs} \quad H_a: & p_1-p_2 \neq 0 \mbox{ (bilateral)} \\ & p_1-p_2 < 0 \mbox{ (unilateral à esquerda)} \\ & p_1-p_2 > 0 \mbox{ (unilateral à direita)} \end{aligned} \]

Estatística do teste: \[Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p}) \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \stackrel{H_0}{\sim} N(0, 1),\] sendo \(\displaystyle \hat p = \frac{n_1\hat p_1 + n_2\hat p_1}{n_1 + n_2}\)

Conclusão:

Hipótese Alternativa	Valor crítico para \(\alpha\)	Valor-de-p
\(H_a: p_1-p_2\neq0\) (bilateral)	rejeitar se \(|z_{obs}|\geq z_{\alpha/2}\)	\(2 P(Z\geq |z_{obs}|)\)
\(H_a: p_1-p_2<0\) (unilateral à esquerda)	rejeitar se \(z_{obs}\leq -z_{\alpha}\)	\(P(Z\leq z_{obs})\)
\(H_a: p_1-p_2>0\) (unilateral à direita)	rejeitar se \(z_{obs}\geq z_{\alpha}\)	\(P(Z\geq z_{obs})\)