Matemáticas para las Ciencias Forenses

Ejercicios

Julio César Martínez Sánchez

Introducción

Desarrollar habilidades matemáticas requiere práctica constante. Por eso, hemos compilado una serie de ejercicios que abarcan todos los temas que hemos explorado en clase para que puedas reforzar lo aprendido.

Estos ejercicios representan una oportunidad para repasar sin la preocupación de las calificaciones, ya que no se tomarán en cuenta para tu evaluación. El propósito de esta actividad es potenciar tus habilidades matemáticas, lo cual te servirá de preparación no solo para otras materias, sino también para tu desarrollo profesional.

¿Cómo puedes aprovechar al máximo este recurso?

Identifica tus áreas de mejora: Elige temas que te resulten desafiantes.
Practica a tu propio ritmo: Decide cuántos ejercicios quieres intentar. No hay un número mínimo o máximo.
Enfócate en el proceso, no solo en el resultado: Está bien si no terminas un ejercicio, lo importante es identificar dónde necesitas más práctica y entender cómo mejorar.

Instrucciones para entregar los ejercicios:

Resuelve los Ejercicios en papel, donde puedas escribir y borrar mientras piensas.
Anota el número del ejercicio y el problema que se plantea
Toma una foto clara de tu hoja y súbela a Classroom.
Convierte la imagen a PDF y nómbrala según tu número de lista y nombre, por ejemplo: 39_JulioCesar.pdf.

Vectores

Ejercicio 1

Supongamos que un barco navega desde un puerto y se dirige hacia el noreste. El capitán registra que el barco ha viajado con un ángulo de 45 grados respecto al eje positivo del eje x (este) y ha recorrido una distancia de 10 kilómetros. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de la posición actual del barco respecto al punto de partida?

Lo que sé:

El barco ha viajado en dirección noreste.
El ángulo de viaje es de 45 grados respecto al eje positivo del eje x (este).
La distancia recorrida es de 10 kilómetros.
Las coordenadas polares del desplazamiento del barco son \((r, \theta) = (10, 45^\circ)\).

Cálculo:

Para convertir las coordenadas polares a cartesianas, usamos las fórmulas:

Para \(x\): \[x = r \cos(\theta) = 10 \cdot \cos(45^\circ) \approx 7.07 \text{ kilómetros}.\]
Para \(y\): \[y = r \sin(\theta) = 10 \cdot \sin(45^\circ) \approx 7.07 \text{ kilómetros}.\]

Resultado: Las coordenadas cartesianas de la posición actual del barco respecto al punto de partida son aproximadamente \((7.07, 7.07)\) kilómetros.

Ejercicio 2

Un avión despega y se dirige directamente hacia el sur. El piloto informa que han mantenido un rumbo de 270 grados y han volado 200 kilómetros. Determina las coordenadas cartesianas de la posición actual del avión respecto al punto de despegue.

Lo que sé:

El avión ha viajado hacia el sur.
El ángulo de vuelo es de 270 grados, que corresponde a la dirección sur.
La distancia recorrida es de 200 kilómetros.
Las coordenadas polares del desplazamiento del avión son \((r, \theta) = (200, 270^\circ)\).

Cálculo:

Para convertir las coordenadas polares a cartesianas, usamos las fórmulas:

Para \(x\): \[x = r \cos(\theta) = 200 \cdot \cos(270^\circ) = 0 \text{ kilómetros}.\]
Para \(y\): \[y = r \sin(\theta) = 200 \cdot \sin(270^\circ) = -200 \text{ kilómetros}.\]

Resultado: Las coordenadas cartesianas de la posición actual del avión respecto al punto de despegue son \((0, -200)\) kilómetros.

Ejercicio 3

Un explorador se mueve en dirección este desde un campamento base. Se sabe que ha recorrido una distancia de 5 kilómetros con un ángulo de 0 grados. Calcula las coordenadas cartesianas de su posición actual respecto al campamento.

Lo que sé:

El explorador se ha desplazado hacia el este.
El ángulo de movimiento es de 0 grados, directamente al este.
La distancia recorrida es de 5 kilómetros.
Las coordenadas polares de su movimiento son \((r, \theta) = (5, 0^\circ)\).

Cálculo:

Para convertir las coordenadas polares a cartesianas, usamos las fórmulas:

Para \(x\): \[x = r \cos(\theta) = 5 \cdot \cos(0^\circ) = 5 \text{ kilómetros}.\]
Para \(y\): \[y = r \sin(\theta) = 5 \cdot \sin(0^\circ) = 0 \text{ kilómetros}.\]

Resultado: Las coordenadas cartesianas de la posición actual del explorador respecto al campamento base son \((5, 0)\) kilómetros.

Ejercicio 4

Una persona camina desde su casa en dirección noroeste. Registra que su desplazamiento tiene un ángulo de 135 grados y una distancia de 2 kilómetros. Determina las coordenadas cartesianas de su ubicación actual con respecto a su casa.

Lo que sé:

La persona ha caminado hacia el noroeste.
El ángulo de desplazamiento es de 135 grados.
La distancia recorrida es de 2 kilómetros.
Las coordenadas polares del desplazamiento son \((r, \theta) = (2, 135^\circ)\).

Cálculo:

Para convertir las coordenadas polares a cartesianas, usamos las fórmulas:

Para \(x\): \[x = r \cos(\theta) = 2 \cdot \cos(135^\circ) \approx -1.414 \text{ kilómetros}.\]
Para \(y\): \[y = r \sin(\theta) = 2 \cdot \sin(135^\circ) \approx 1.414 \text{ kilómetros}.\]

Resultado: Las coordenadas cartesianas de la posición actual de la persona respecto a su casa son aproximadamente \((-1.414, 1.414)\) kilómetros.

Ejercicio 5

Un dron se encuentra en la posición cartesiana \((4, 4)\) kilómetros respecto a su punto de partida. Calcula las coordenadas polares de su posición actual.

Lo que sé:

Las coordenadas cartesianas del dron son \((x, y) = (4, 4)\).

Cálculo:

Para convertir las coordenadas cartesianas a polares, usamos las fórmulas:

Para \(r\): \[r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5.66 \text{ kilómetros}.\]
Para \(\theta\): \[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{4}\right) = \tan^{-1}(1) = 45^\circ \text{ grados}.\]

Resultado: Las coordenadas polares de la posición actual del dron respecto al punto de partida son aproximadamente \((5.66, 45^\circ)\).

Ejercicio 6

Una bicicleta se localiza en la posición cartesiana \((-3, 3)\) kilómetros. Determina las coordenadas polares de esta posición.

Lo que sé:

Las coordenadas cartesianas de la bicicleta son \((x, y) = (-3, 3)\).

Cálculo:

Para convertir las coordenadas cartesianas a polares:

Para \(r\): \[r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4.24 \text{ kilómetros}.\]
Para \(\theta\): \[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{-3}\right) = \tan^{-1}(-1) = 135^\circ \text{ grados}.\]

Resultado: Las coordenadas polares de la posición actual de la bicicleta son aproximadamente \((4.24, 135^\circ)\).

Ejercicio 7

Un robot se encuentra en la posición cartesiana \((0, -5)\) kilómetros. Calcula las coordenadas polares de su posición actual.

Lo que sé:

Las coordenadas cartesianas del robot son \((x, y) = (0, -5)\).

Cálculo:

Para convertir las coordenadas cartesianas a polares:

Para \(r\): \[r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5 \text{ kilómetros}.\]
Para \(\theta\): \[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-5}{0}\right) = 270^\circ \text{ grados},\] ya que el ángulo está directamente hacia el sur.

Resultado: Las coordenadas polares de la posición actual del robot son \((5, 270^\circ)\).

Ejercicio 8

Una antena de radio está situada en la posición cartesiana \((-6, 0)\) kilómetros. Encuentra las coordenadas polares de esta posición.

Lo que sé:

Las coordenadas cartesianas de la antena son \((x, y) = (-6, 0)\).

Cálculo:

Para convertir las coordenadas cartesianas a polares:

Para \(r\): \[r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = 6 \text{ kilómetros}.\]
Para \(\theta\): \[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{0}{-6}\right) = \tan^{-1}\left(0\right) = 180^\circ \text{ grados},\] ya que el ángulo está directamente hacia el oeste.

Resultado: Las coordenadas polares de la posición actual de la antena son \((6, 180^\circ)\).

Notación científica

Ejercicio 9

Multiplica la distancia del Sol a la Tierra (\(1.5 \times 10^{11}\) metros) por 50 y conviértela a forma decimal

Cálculo

Primero multiplicamos la distancia:

\[1.5 \times 50 = 75\]

Convertimos el resultado a notación científica y luego a decimal:

\[75 \times 10^{11} = 7.5 \times 10^{12}\]

\[7.5 \times 10^{12} \rightarrow 7,500,000,000,000\]

Resultado

El resultado es \(7,500,000,000,000\) metros.

Ejercicio 10

Si tienes \(2.5 \times 10^{23}\) moléculas y multiplicas esta cantidad por 3, ¿cuál es el resultado en forma decimal?

Cálculo

Multiplicación por el escalar:

\[2.5 \times 3 = 7.5\]

Expresión en notación científica y conversión a decimal:

\[7.5 \times 10^{23}\]

\[7.5 \times 10^{23} \rightarrow 750,000,000,000,000,000,000,000\]

Resultado

El total es \(750,000,000,000,000,000,000,000\) moléculas.

Ejercicio 11

Multiplica la velocidad de la luz (\(4.0 \times 10^9\) metros por segundo) por 12 y conviértela a forma decimal

Cálculo

Calcula la multiplicación:

\[4.0 \times 12 = 48.0\]

Convierte el resultado a notación científica y luego a decimal:

\[48.0 \times 10^9 = 4.8 \times 10^{10}\]

\[4.8 \times 10^{10} \rightarrow 48,000,000,000\]

Resultado

La velocidad resultante es \(48,000,000,000\) metros por segundo.

Ejercicio 12

Convierte una corriente eléctrica muy pequeña de \(0.000045\) amperios, multiplicada por 100, a notación científica

Cálculo

Multiplica la corriente inicial:

\[0.000045 \times 100 = 0.0045\]

Expresa el resultado en notación científica:

\[0.0045 = 4.5 \times 10^{-3}\]

Resultado

La corriente es \(4.5 \times 10^{-3}\) amperios.

Ejercicio 13

Aumenta la presión típica al nivel del mar de \(150000\) pascals por un factor de 10 y conviértela a notación científica

Cálculo

Realiza la multiplicación:

\[150000 \times 10 = 1500000\]

Convierte este número a notación científica:

\[1500000 = 1.5 \times 10^6\]

Resultado

La presión resultante es \(1.5 \times 10^6\) pascals.

Ejercicio 14

Si tienes \(0.0073\) gramos de un compuesto químico y multiplicas esta cantidad por 1000, ¿cuál es el resultado en notación científica?

Cálculo

Multiplicación por el escalar:

\[0.0073 \times 1000 = 7.3\]

Conversión a notación científica:

\[7.3 = 7.3 \times 10^0\]

Resultado

El peso del compuesto es \(7.3 \times 10^0\) gramos.

Conversión de unidades

Ejercicio 15

Convierte 300 kilogramos por metro cúbico (kg/m³) a gramos por litro (g/L)

Lo que sé:

\(1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}\)
\(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}\)

Cálculo:

Conversión de kilogramos a gramos: \[ 300 \text{ kg} \times \frac{1000 \text{ g}}{1 \text{ kg}} = 300000 \text{ g} \]

Conversión de metros cúbicos a litros: \[ 1 \text{ m}^3 \times \frac{1000 \text{ L}}{1 \text{ m}^3} = 1000 \text{ L} \]

Combinando ambas conversiones: \[ \frac{300000 \text{ g}}{1000 \text{ L}} = 300 \text{ g/L} \]

Resultado:

\(300 \text{ kg/m}^3\) equivale a \(300 \text{ g/L}\).

Ejercicio 16

Convierte 2000 watts por metro cuadrado (W/m²) a kilowatts por metro cuadrado (kW/m²)

Lo que sé:

\(1 \text{ W} = 0.001 \text{ kW}\)

Cálculo:

Conversión de watts a kilowatts: \[ 2000 \text{ W} \times \frac{0.001 \text{ kW}}{1 \text{ W}} = 2 \text{ kW} \]

Finalmente, al considerar la unidad de área, tenemos: \[ 2 \text{ kW/m}^2 \]

Resultado:

\(2000 \text{ W/m}^2\) equivale a \(2 \text{ kW/m}^2\).

Ejercicio 17

Convierte 100 pascal segundos (Pa·s) a kilogramo por metro segundo (kg/ms)

Lo que sé:

\(1 \text{ Pa·s} = 1 \text{ kg/ms}\)

Cálculo:

Directa conversión según equivalencia: \[ 100 \text{ Pa·s} = 100 \text{ kg/ms} \]

Resultado:

\(100 \text{ Pa·s}\) equivale a \(100 \text{ kg/ms}\).

Ejercicio 18

Convierte 500 joules por kilogramo Kelvin (J/kg·K) a calories por gramo Celsius (cal/g·°C)

Lo que sé:

\(1 \text{ J} = 0.239 \text{ cal}\)
\(1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}\)

Cálculo:

Conversión de joules a calorías: \[ 500 \text{ J} \times \frac{0.239 \text{ cal}}{1 \text{ J}} = 119.5 \text{ cal} \]

Conversión de kilogramos a gramos: \[ 1 \text{ kg} \times \frac{1000 \text{ g}}{1 \text{ kg}} = 1000 \text{ g} \]

Combinando ambas conversiones: \[ \frac{119.5 \text{ cal}}{1000 \text{ g}} = 0.1195 \text{ cal/g} \]

Resultado:

\(500 \text{ J/kg·K}\) equivale a aproximadamente \(0.1195 \text{ cal/g·°C}\).

Exponentes y jerarquía de operaciones

Ejercicio 19

\[((3^2 \cdot (3^{-1} + 3^{-2}))^2)\]

Resultado

\[((3^2 \cdot (3^{-1} + 3^{-2}))^2) = (9 \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{9}))^2 = (9 \cdot \frac{4}{9})^2 = 4^2 = 16\]

Ejercicio 20

\[\left(\left(\frac{2^3}{2^{-1}}\right) - 2^2\right)^2\]

Resultado

\[\left(\left(\frac{2^3}{2^{-1}}\right) - 2^2\right)^2 = (2^{3-(-1)} - 4)^2 = (16 - 4)^2 = 12^2 = 144\]

Ejercicio 21

\[\left(4^{3} \cdot \left(4^{-1} + 4^{0}\right)\right)^{-2}\]

Resultado

\[\left(4^{3} \cdot \left(4^{-1} + 4^{0}\right)\right)^{-2} = (64 \cdot (\frac{1}{4} + 1))^{-2} = (64 \cdot \frac{5}{4})^{-2} = 80^{-2} = \frac{1}{6400}\]

Ejercicio 22

\[\left((5^{-1} \cdot 5^2) - (5^0 + 5^{-2})\right)^{-1}\]

Resultado

\[\left((5^{-1} \cdot 5^2) - (5^0 + 5^{-2})\right)^{-1} = (5 - (1 + \frac{1}{25}))^{-1} = (\frac{99}{25})^{-1} = \frac{25}{99}\]

Ejercicio 23

\[\left((2^{-2} \cdot 2^{3}) + 2^{-1}\right)^{-1}\]

Resultado

\[\left((2^{-2} \cdot 2^{3}) + 2^{-1}\right)^{-1} = (2^1 + \frac{1}{2})^{-1} = (\frac{4}{2} + \frac{1}{2})^{-1} = (\frac{5}{2})^{-1} = \frac{2}{5}\]

Identidades trigonométricas

Ejercicio 24

Encuentra la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 9 cm y 12 cm.

Lo que sé

El Teorema de Pitágoras se aplica en triángulos rectángulos para relacionar la hipotenusa con los catetos: \(c^2 = a^2 + b^2\).

Cálculo:

\[ c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm} \]

Ejercicio 25

Dado un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 13 cm y un cateto de 5 cm, calcula la longitud del otro cateto.

Lo que sé

Aplicando el Teorema de Pitágoras inverso.

Cálculo:

\[ b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]

Cálculo de ángulos

Ejercicio 26

Determina el ángulo \(\theta\) en un triángulo rectángulo con un cateto de 24 cm y una hipotenusa de 25 cm.

Lo que sé

El coseno del ángulo en un triángulo rectángulo se define como \(\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\).

Cálculo:

\[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{24}{25}\right) \]

Ejercicio 27

Encuentra el ángulo \(\phi\) opuesto a un cateto de 15 cm en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 34 cm.

Lo que sé

Se usa el seno para calcular ángulos en triángulos rectángulos.

Cálculo:

\[ \phi = \sin^{-1}\left(\frac{15}{34}\right) \]

Conversión de Grados a Radianes

Ejercicio 28

Convierte 30° a radianes.

Lo que sé

La conversión de grados a radianes se realiza utilizando la relación \(\text{radianes} = \text{grados} \times \frac{\pi}{180^\circ}\).

Cálculo:

\[ 30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6} \]

Ejercicio 29:

Convierte 45° a radianes.

Cálculo:

\[ 45^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4} \]

Conversión de Radianes a Grados

Ejercicio 30

Convierte \(\frac{\pi}{4}\) radianes a grados.

Lo que sé

La conversión de radianes a grados se realiza utilizando \(\text{grados} = \text{radianes} \times \frac{180^\circ}{\pi}\).

Cálculo: \[ \frac{\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 45^\circ \]

Ejercicio 31

Convierte \(\frac{\pi}{3}\) radianes a grados.

Cálculo: \[ \frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 60^\circ \]

Ejercicio 32

Dos masas, \(m_1 = 5 \, kg\) y \(m_2 = 10 \, kg\), están separadas por una distancia de \(r = 2 \, m\). Calcula la fuerza de atracción gravitacional entre ellas usando la fórmula
\[ F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \]
donde \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2 / kg^2\).

Lo que sé
- Masa 1 (\(m_1\)) = \(5\,kg\)
- Masa 2 (\(m_2\)) = \(10 \, kg\)
- Distancia (\(r\)) = \(2 \, m\)
- Constante de gravitación (\(G\)) = \(6.674 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2 / kg^2\)

Cálculo
Sustituimos los valores
\[ F = 6.674 \times 10^{-11} \frac{(5 \, kg) \cdot (10 \, kg)}{(2 \, m)^2} \]

\[ F = 6.674 \times 10^{-11} \frac{50 \, kg^2}{4 \, m^2} \]

\[ F = 6.674 \times 10^{-11} \times 12.5 = 8.3425 \times 10^{-10} \, N \]

La fuerza de atracción gravitacional es \(8.3425 \times 10^{-10} \, N\).

Ejercicio 33

Un coche acelera desde el reposo con una aceleración constante de \(3 \, m/s^2\) y alcanza una velocidad de \(v = 30 \, m/s\). ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar esta velocidad? Usa la fórmula
\[ v = u + at \]

Lo que sé
- Velocidad inicial (\(u\)) = \(0 \, m/s\)
- Velocidad final (\(v\)) = \(30 \, m/s\)
- Aceleración (\(a\)) = \(3 \, m/s^2\)

Cálculo
Despejamos \(t\)
\[ v = u + at \implies t = \frac{v - u}{a} \]

Sustituimos los valores
\[ t = \frac{30 \, m/s - 0 \, m/s}{3 \, m/s^2} = \frac{30}{3} = 10 \, s \]

El tiempo que tarda en alcanzar la velocidad es \(10 \, s\).

Ejercicio 34

Un metal de masa \(m = 0.5 \, kg\) absorbe \(Q = 2000 \, J\) de calor, y su temperatura aumenta \(10 \, °C\). ¿Cuál es su capacidad calorífica específica? Usa la fórmula
\[ Q = C \cdot m \cdot \Delta T \]

Lo que sé
- Masa (\(m\)) = \(0.5 \, kg\)
- Energía (\(Q\)) = \(2000 \, J\)
- Cambio de temperatura (\(\Delta T\)) = \(10 \, °C\)

Cálculo
Despejamos \(C\)
\[ Q = C \cdot m \cdot \Delta T \implies C = \frac{Q}{m \cdot \Delta T} \]

Sustituimos los valores
\[ C = \frac{2000 \, J}{0.5 \, kg \times 10 \, °C} = \frac{2000}{5} = 400 \, J/(kg \cdot °C) \]

La capacidad calorífica específica del metal es \(400 \, J/(kg \cdot °C)\).

Ejercicio 35

En un circuito, una resistencia \(R = 10 \, \Omega\) está conectada a una batería que genera una corriente de \(I = 2 \, A\). ¿Cuál es el voltaje de la batería? Usa la fórmula
\[ V = I \cdot R \]

Lo que sé
- Resistencia (\(R\)) = \(10 \, \Omega\)
- Corriente (\(I\)) = \(2 \, A\)

Cálculo
Sustituimos los valores
\[ V = (2 \, A) \times (10 \, \Omega) = 20 \, V \]

El voltaje de la batería es \(20 \, V\).

Ejercicio 36

Un buzo se encuentra a una profundidad donde la presión hidrostática es de \(150,000 \, Pa\). Si la densidad del agua es \(1000 \, kg/m^3\) y la aceleración debida a la gravedad es \(9.8 \, m/s^2\), ¿a qué profundidad se encuentra el buzo? Usa la fórmula
\[ P = \rho \cdot g \cdot h \]

Lo que sé
- Presión (\(P\)) = \(150,000 \, Pa\)
- Densidad (\(\rho\)) = \(1000 \, kg/m^3\)
- Gravedad (\(g\)) = \(9.8 \, m/s^2\)

Cálculo
Despejamos \(h\)
\[ P = \rho \cdot g \cdot h \implies h = \frac{P}{\rho \cdot g} \]

Sustituimos los valores
\[ h = \frac{150,000 \, Pa}{1000 \, kg/m^3 \times 9.8 \, m/s^2} = \frac{150,000}{9800} = 15.31 \, m \]

La profundidad a la que se encuentra el buzo es \(15.31 \, m\).

Ejercicio 37

Dos cargas eléctricas \(q_1 = 3 \, C\) y \(q_2 = 2 \, C\) están separadas por una distancia de \(4 \, m\). Calcula la fuerza de atracción o repulsión entre ellas usando la fórmula
\[ F = k \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \]
donde \(k = 8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2 / C^2\).

Lo que sé
- Carga 1 (\(q_1\)) = \(3 \, C\)
- Carga 2 (\(q_2\)) = \(2 \, C\)
- Distancia (\(r\)) = \(4 \, m\)
- Constante de Coulomb (\(k\)) = \(8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2 / C^2\)

Cálculo
Sustituimos los valores
\[ F = 8.99 \times 10^9 \frac{(3 \, C) \cdot (2 \, C)}{(4 \, m)^2} \]

\[ F = 8.99 \times 10^9 \frac{6 \, C^2}{16 \, m^2} \]

\[ F = 8.99 \times 10^9 \times 0.375 = 3.37 \times 10^9 \, N \]

Las unidades de \(C^2/m^2\) se cancelan correctamente con \(N \cdot m^2 / C^2\), resultando en \(N\). La fuerza de atracción o repulsión entre las cargas es \(3.37 \times 10^9 \, N\).

Ejercicio 38

Un objeto de masa \(8 \, kg\) se encuentra a \(10 \, m\) sobre el suelo. Calcula su energía potencial gravitacional usando la fórmula
\[ U = m \cdot g \cdot h \]
donde \(g = 9.8 \, m/s^2\).

Lo que sé
- Masa (\(m\)) = \(8 \, kg\)
- Altura (\(h\)) = \(10 \, m\)
- Gravedad (\(g\)) = \(9.8 \, m/s^2\)

Cálculo
Sustituimos los valores
\[ U = (8 \, kg) \times (9.8 \, m/s^2) \times (10 \, m) \]

\[ U = 8 \times 9.8 \times 10 \, kg \cdot m^2/s^2 = 784 \, J \]

Las unidades \(kg \cdot m^2/s^2\) corresponden a Joules (\(J\)), confirmando que la energía potencial es \(784 \, J\).

Ejercicio 39

Un rayo de luz pasa del aire (índice de refracción \(n_1 = 1.0\)) al agua (índice de refracción \(n_2 = 1.33\)). Si el ángulo de incidencia es \(30^\circ\), calcula el ángulo de refracción usando la fórmula
\[ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \]

Lo que sé
- Índice de refracción del aire (\(n_1\)) = \(1.0\)
- Índice de refracción del agua (\(n_2\)) = \(1.33\)
- Ángulo de incidencia (\(\theta_1\)) = \(30^\circ\)

Cálculo
Despejamos \(\theta_2\)
\[ \sin \theta_2 = \frac{n_1 \sin \theta_1}{n_2} = \frac{1.0 \times \sin 30^\circ}{1.33} \]

\[ \sin \theta_2 = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.376 \]

\[ \theta_2 = \sin^{-1}(0.376) \approx 22^\circ \]

El ángulo de refracción es aproximadamente \(22^\circ\).

Ejercicio 40

Un motor realiza un trabajo de \(3000 \, J\) en \(15 \, s\). Calcula la potencia desarrollada por el motor usando la fórmula
\[ P = \frac{W}{t} \]

Lo que sé
- Trabajo (\(W\)) = \(3000 \, J\)
- Tiempo (\(t\)) = \(15 \, s\)

Cálculo
Sustituimos los valores
\[ P = \frac{3000 \, J}{15 \, s} = 200 \, \frac{J}{s} = 200 \, W \]

Las unidades \(J/s\) equivalen a Watts (\(W\)), confirmando que la potencia desarrollada por el motor es \(200 \, W\).

Ejercicio 41

Una onda sonora tiene una frecuencia de \(500 \, Hz\) y una longitud de onda de \(0.68 \, m\). Calcula la velocidad de la onda usando la fórmula
\[ v = f \cdot \lambda \]

Lo que sé
- Frecuencia (\(f\)) = \(500 \, Hz\)
- Longitud de onda (\(\lambda\)) = \(0.68 \, m\)

Cálculo
Sustituimos los valores
\[ v = (500 \, Hz) \times (0.68 \, m) \]

\[ v = 340 \, \frac{m}{s} \]

Las unidades \(Hz \cdot m\) corresponden a \(m/s\), confirmando que la velocidad de la onda es \(340 \, m/s\).

Ecuación de la recta

Ejercicio 42
Problema
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((2, 3)\) y \((4, 7)\). Usa la fórmula de la pendiente y la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Lo que sé
- Punto 1: \((x_1, y_1) = (2, 3)\)
- Punto 2: \((x_2, y_2) = (4, 7)\)

Cálculo
Primero, calculamos la pendiente \(m\)
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Usando la forma punto-pendiente con el punto \((2, 3)\)
\[ y - 3 = 2(x - 2) \]

Simplificamos
\[ y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1 \]

La ecuación de la recta es \(y = 2x - 1\).

Ejercicio 43

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto \((1, -2)\) y tiene una pendiente de \(-3\). Usa la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Lo que sé
- Punto: \((x_1, y_1) = (1, -2)\)
- Pendiente (\(m\)) = \(-3\)

Cálculo
Sustituimos en la forma punto-pendiente
\[ y - (-2) = -3(x - 1) \]

Simplificamos
\[ y + 2 = -3x + 3 \implies y = -3x + 1 \]

La ecuación de la recta es \(y = -3x + 1\).

Ejercicio 44

Encuentra la ecuación de la recta que tiene una pendiente de \(\frac{1}{2}\) y pasa por el punto \((0, 4)\). Usa la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Lo que sé
- Punto: \((x_1, y_1) = (0, 4)\)
- Pendiente (\(m\)) = \(\frac{1}{2}\)

Cálculo
Sustituimos en la forma punto-pendiente
\[ y - 4 = \frac{1}{2}(x - 0) \]

Simplificamos
\[ y - 4 = \frac{1}{2}x \implies y = \frac{1}{2}x + 4 \]

La ecuación de la recta es \(y = \frac{1}{2}x + 4\).

Identidades trigonométricas

Ejercicio 45

Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a la recta \(y = 3x - 5\) y pasa por el punto \((2, 1)\). Recuerda que rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Lo que sé
- Pendiente de la recta dada (\(m\)) = \(3\)
- Punto: \((x_1, y_1) = (2, 1)\)

Cálculo
Usamos la forma punto-pendiente
\[ y - 1 = 3(x - 2) \]

Simplificamos
\[ y - 1 = 3x - 6 \implies y = 3x - 5 \]

La ecuación de la recta es \(y = 3x - 5\).

Identidades trigonométricas

Ejercicio 46

Un fotógrafo está a 50 metros de la base de un edificio y ajusta su cámara para un ángulo de elevación de \(30^\circ\) para capturar la parte superior del edificio. Calcula la altura desde la base hasta el punto capturado por la cámara (cateto opuesto).

Lo que sé - Ángulo de elevación: \(30^\circ\) - Distancia a la base del edificio (cateto adyacente): 50 m

Cálculo Usamos la relación trigonométrica del seno para calcular el cateto opuesto: \[ \sin(30^\circ) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \implies \text{cateto opuesto} = \sin(30^\circ) \times \text{hipotenusa} \] Como la hipotenusa en este caso es la distancia del fotógrafo al punto de captura: \[ \text{cateto opuesto} = \sin(30^\circ) \times 50 \implies \text{cateto opuesto} = 0.5 \times 50 = 25 \text{ metros} \] La altura desde la base hasta el punto capturado por la cámara es de 25 metros.

Ejercicio 47

Un fotógrafo apunta su cámara hacia un árbol, con la línea de visión formando un ángulo de \(60^\circ\) con el suelo. Si el cateto opuesto (la altura del árbol) mide 20 metros, calcula la distancia horizontal desde la cámara hasta la base del árbol (cateto adyacente).

Lo que sé - Ángulo de elevación: \(60^\circ\) - Altura del árbol (cateto opuesto): 20 m

Cálculo Usamos la relación trigonométrica del coseno para calcular el cateto adyacente: \[ \cos(60^\circ) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \implies \text{cateto adyacente} = \frac{\text{cateto opuesto}}{\cos(60^\circ)} \] Sustituyendo los valores conocidos: \[ \text{cateto adyacente} = \frac{20}{\cos(60^\circ)} = \frac{20}{0.5} = 40 \text{ metros} \] La distancia horizontal desde la cámara hasta la base del árbol es de 40 metros.

Ejercicio 48

Un fotógrafo está capturando una montaña desde una distancia desconocida. La cámara se ajusta a un ángulo de elevación de \(40^\circ\), y la línea de visión desde la cámara a la cima de la montaña (hipotenusa) mide 120 metros. Calcula la distancia horizontal desde la cámara a la base de la montaña (cateto adyacente).

Lo que sé - Ángulo de elevación: \(40^\circ\) - Hipotenusa (distancia total a la cima): 120 m

Cálculo Usamos la relación trigonométrica del coseno: \[ \cos(40^\circ) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \implies \text{cateto adyacente} = \cos(40^\circ) \times 120 \] Calculando el valor aproximado de \(\cos(40^\circ) \approx 0.766\): \[ \text{cateto adyacente} = 0.766 \times 120 = 91.92 \text{ metros} \] La distancia horizontal desde la cámara a la base de la montaña es aproximadamente 91.92 metros.

Ejercicio 49

Un observador está a 100 metros de la base de un globo aerostático. El ángulo de elevación desde el observador hasta el globo es de \(35^\circ\). Calcula la altura del globo aerostático sobre el suelo (cateto opuesto).

Lo que sé - Distancia horizontal (cateto adyacente): 100 m - Ángulo de elevación: \(35^\circ\)

Cálculo Usamos la relación trigonométrica del seno: \[ \sin(35^\circ) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \implies \text{cateto opuesto} = \sin(35^\circ) \times \text{hipotenusa} \] Dado que la hipotenusa no es directamente conocida, reorganizamos para encontrarla usando el cateto adyacente: \[ \text{hipotenusa} = \frac{\text{cateto adyacente}}{\cos(35^\circ)} \] Calculando la altura: \[ \text{cateto opuesto} = \sin(35^\circ) \times \frac{100}{\cos(35^\circ)} \approx 70.21 \text{ metros} \] La altura del globo aerostático sobre el suelo es aproximadamente 70.21 metros.

Ejercicio 50

Una rampa de acceso a un edificio tiene un ángulo de inclinación de \(15^\circ\) con respecto al suelo. Si la altura del acceso al edificio es de 3 metros, calcula la longitud de la rampa (hipotenusa).

Lo que sé - Ángulo de inclinación: \(15^\circ\) - Altura (cateto opuesto): 3 m

Cálculo Usamos la relación trigonométrica del seno para encontrar la hipotenusa: \[ \sin(15^\circ) = \frac{3}{\text{hipotenusa}} \implies \text{hipotenusa} = \frac{3}{\sin(15^\circ)} \] Calculando la longitud de la rampa: \[ \text{hipotenusa} = \frac{3}{\sin(15^\circ)} \approx 11.66 \text{ metros} \] La longitud de la rampa es aproximadamente 11.66 metros.

Funciones inversas

Ejercicio 51

\(g(x) = 3 \left( (x + 2)^{\frac{1}{3}} - 1 \right) + 5\)

Solución: \[ y = 3 \left( (x + 2)^{\frac{1}{3}} - 1 \right) + 5 \\ y - 5 = 3 \left( (x + 2)^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \\ \frac{y - 5}{3} + 1 = (x + 2)^{\frac{1}{3}} \\ \left(\frac{y - 5}{3} + 1\right)^3 = x + 2 \\ x = \left(\frac{y - 5}{3} + 1\right)^3 - 2 \\ g^{-1}(y) = \left(\frac{y - 5}{3} + 1\right)^3 - 2 \]

Ejercicio 52

\(h(x) = 4 - 2 \left( (x - 3)^{\frac{1}{4}} + 2 \right)\)

Solución: \[ y = 4 - 2 \left( (x - 3)^{\frac{1}{4}} + 2 \right) \\ \frac{4 - y}{2} - 2 = (x - 3)^{\frac{1}{4}} \\ \left(\frac{4 - y}{2} - 2\right)^4 = x - 3 \\ x = \left(\frac{4 - y}{2} - 2\right)^4 + 3 \\ h^{-1}(y) = \left(\frac{4 - y}{2} - 2\right)^4 + 3 \]

Ejercicio 53

\(k(x) = \frac{1}{7} \left( (5x + 1)^{\frac{3}{5}} - 3 \right)\)

Solución: \[ y = \frac{1}{7} \left( (5x + 1)^{\frac{3}{5}} - 3 \right) \\ 7y + 3 = (5x + 1)^{\frac{3}{5}} \\ \left(7y + 3\right)^{\frac{5}{3}} = 5x + 1 \\ x = \frac{\left(7y + 3\right)^{\frac{5}{3}} - 1}{5} \\ k^{-1}(y) = \frac{\left(7y + 3\right)^{\frac{5}{3}} - 1}{5} \]

Ejercicio 54

\(m(x) = 6 + \left( (2x - 4)^{\frac{2}{3}} \right)\)

Solución: \[ y = 6 + (2x - 4)^{\frac{2}{3}} \\ y - 6 = (2x - 4)^{\frac{2}{3}} \\ (y - 6)^{\frac{3}{2}} = 2x - 4 \\ 2x = (y - 6)^{\frac{3}{2}} + 4 \\ x = \frac{(y - 6)^{\frac{3}{2}} + 4}{2} \\ m^{-1}(y) = \frac{(y - 6)^{\frac{3}{2}} + 4}{2} \]

Ejercicio 55

\(n(x) = \left( 7x + 3 \right)^{\frac{4}{5}} - 2\)

Solución: \[ y = \left( 7x + 3 \right)^{\frac{4}{5}} - 2 \\ y + 2 = \left( 7x + 3 \right)^{\frac{4}{5}} \\ (y + 2)^{\frac{5}{4}} = 7x + 3 \\ 7x = (y + 2)^{\frac{5}{4}} - 3 \\ x = \frac{(y + 2)^{\frac{5}{4}} - 3}{7} \\ n^{-1}(y) = \frac{(y + 2)^{\frac{5}{4}} - 3}{7} \]