Introduction

La distribución de Erlang es una distribución de probabilidad continua que se utiliza principalmente para modelar el tiempo entre eventos en un proceso que sigue una distribución de Poisson. Se aplica cuando se espera que ocurran un número determinado de eventos independientes en intervalos de tiempo aleatorios. Esta distribución fue desarrollada por el matemático danés Agner Krarup Erlang, quien la utilizó en el análisis de tiempos de espera en sistemas de telecomunicaciones.

Origen de la distribucion Erlang

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Características principales

• Función de Densidad de Probabilidad (PDF)

\[ f(x; k, \lambda) = \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{(k-1)!}, \quad x \geq 0 \]

Donde: \(\lambda\) es el parámetro de tasa. \(k\) es el número de eventos hasta que se completa el proceso. \(x\) es la variable de tiempo.

• Función de Distribución Acumulada

\[ F(x; k, \lambda) = 1 - e^{-\lambda x} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{(\lambda x)^i}{i!}, \quad x \geq 0 \]

i: Es un índice de sumatoria que se utiliza para iterar sobre los términos de la serie dentro de la fórmula. El valor de𝑖va desde 0 hasta k − 1

• Esperanza

La media o el valor esperado de la distribución de Erlang es:

\[ E[X] = \frac{k}{\lambda} \]

Esto refleja el tiempo promedio que se espera que pase hasta que ocurran \(k\) eventos.

• Varianza

La varianza, que mide la dispersión de los tiempos, está dada por:

\[ V[X] = \frac{k}{\lambda^2} \]

Representacion grafica

k <- 4
lambda <- 3
t <- 1 
probabilidad <- pgamma(t, shape=k, rate=lambda)
probabilidad

## [1] 0.3527681