Introducción

Este taller abarca los conceptos y aplicaciones de ecuaciones diferenciales con énfasis en modelos poblacionales y el modelo logístico de Verhulst-Pearl.

Objetivos:

  1. Definir y resolver ecuaciones diferenciales.

  2. Aplicar ecuaciones diferenciales a modelos poblacionales.

  3. Resolver problemas de modelos logísticos, considerando inmigración y emigración.

1. Definición de Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y una o más de sus derivadas. Se puede expresar de la siguiente forma general:

\[ F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0 \]

Donde \(y\) es la función desconocida de la variable independiente \(x\), y \(y'\), \(y''\), etc., son sus derivadas.

2. Solución de una Ecuación Diferencial

Una solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación. Para resolver una ecuación diferencial, se pueden usar varios métodos, dependiendo de la forma de la ecuación.

3. Ecuaciones Diferenciales Separables

Una ecuación diferencial es separable si se puede expresar de la forma:

\[ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \]

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial separable:

\[ \frac{dy}{dx} = x y \]

# Solución de una ecuación diferencial separable
library(deSolve)

# Función derivada
f <- function(t, y, parameters) {
  return(list(t * y))
}

# Condiciones iniciales
y0 <- 1
times <- seq(0, 2, by = 0.01)

# Resolver la ecuación diferencial
out <- ode(y = y0, times = times, func = f, parms = NULL)

# Graficar la solución
plot(out, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "Solución de una Ecuación Diferencial Separables", xlab = "x", ylab = "y")

4. Problemas con Condiciones Iniciales

En problemas con condiciones iniciales, se debe resolver la ecuación diferencial junto con una condición adicional que establece el valor de la solución en un punto específico.

Ejemplo: Resolver:

\[ \frac{dy}{dx} = 2x \quad \text{con} \quad y(0) = 1 \]

# Solución con condiciones iniciales
f <- function(t, y, parameters) {
  return(list(2 * t))
}

y0 <- 1
times <- seq(0, 2, by = 0.01)

out <- ode(y = y0, times = times, func = f, parms = NULL)

plot(out, type = "l", col = "green", lwd = 2, main = "Solución con Condiciones Iniciales", xlab = "x", ylab = "y")

5. Modelos Poblacionales

Los modelos poblacionales son ejemplos comunes de ecuaciones diferenciales en los que se modela el crecimiento de una población en el tiempo.

Modelo básico de crecimiento exponencial:

\[ \frac{dP}{dt} = rP \]

Donde \(P\) es la población y \(r\) es la tasa de crecimiento.

# Modelo exponencial
r <- 0.1  # tasa de crecimiento
P0 <- 100  # población inicial

f <- function(t, P, parameters) {
  return(list(r * P))
}

times <- seq(0, 10, by = 0.1)

out <- ode(y = P0, times = times, func = f, parms = NULL)

plot(out, type = "l", col = "red", lwd = 2, main = "Modelo Exponencial de Crecimiento Poblacional", xlab = "Tiempo", ylab = "Población")

6. Modelos Poblacionales con Inmigración y Emigración

Cuando se considera la inmigración o emigración en un modelo poblacional, la ecuación diferencial toma la siguiente forma:

\[ \frac{dP}{dt} = rP + I - E \]

Donde \(I\) es la tasa de inmigración y \(E\) es la tasa de emigración.

Ejemplo:

\[ \frac{dP}{dt} = 0.05P + 10 - 5 \]

r <- 0.05  # tasa de crecimiento
I <- 10    # tasa de inmigración
E <- 5     # tasa de emigración
P0 <- 100  # población inicial

f <- function(t, P, parameters) {
  return(list(r * P + I - E))
}

times <- seq(0, 20, by = 0.1)

out <- ode(y = P0, times = times, func = f, parms = NULL)

plot(out, type = "l", col = "purple", lwd = 2, main = "Modelo Poblacional con Inmigración y Emigración", xlab = "Tiempo", ylab = "Población")

7. Modelo Logístico de Verhulst-Pearl

El modelo logístico es un modelo de crecimiento poblacional que considera la capacidad de carga del entorno:

\[ \frac{dP}{dt} = rP \left(1 - \frac{P}{K}\right) \]

Donde \(K\) es la capacidad de carga máxima.

Ejemplo:

\[ \frac{dP}{dt} = 0.1P \left(1 - \frac{P}{500}\right) \]

r <- 0.1  # tasa de crecimiento
K <- 500  # capacidad de carga
P0 <- 100  # población inicial

f <- function(t, P, parameters) {
  return(list(r * P * (1 - P/K)))
}

times <- seq(0, 50, by = 0.1)

out <- ode(y = P0, times = times, func = f, parms = NULL)

plot(out, type = "l", col = "orange", lwd = 2, main = "Modelo Logístico de Verhulst-Pearl", xlab = "Tiempo", ylab = "Población")

8. Función Logística de Verhulst-Pearl

Introducción

La función logística es un modelo que describe el crecimiento poblacional limitado, donde la tasa de crecimiento disminuye a medida que la población se aproxima a un límite máximo o capacidad de carga \(M\). Esta función se utiliza en diversos campos, como la biología, ecología, economía y sociología.

La función logística está definida por la ecuación:

\[ N(t) = \frac{M}{1 + be^{-ct}} \]

Donde:

Interpretación de la Ecuación

  • Cuando \(t\) es pequeño, la población crece de forma casi exponencial.

  • A medida que \(t\) aumenta y \(N(t)\) se aproxima a \(M\), el crecimiento de la población se desacelera.

  • En el tiempo \(t = 0\), la población \(N(0)\) está relacionada con \(M\) y \(b\) por la relación:

\[ N(0) = \frac{M}{1 + b} \]

Por lo tanto, podemos estimar \(b\) si conocemos \(N(0)\).

Ejemplo en R

Supongamos que queremos modelar el crecimiento de una población de conejos en un área limitada. La capacidad de carga máxima es de 1000 conejos, la población inicial es de 50 conejos, y la tasa de crecimiento es de 0.2 por año. Queremos ver cómo evoluciona la población a lo largo de 10 años.

# Parámetros de la función logística
M <- 1000  # Capacidad de carga
N0 <- 50   # Población inicial
c <- 0.2   # Tasa de crecimiento
t <- seq(0, 10, by = 0.1)  # Tiempo en años

# Calcular el parámetro b
b <- (M - N0) / N0

# Función logística
N <- M / (1 + b * exp(-c * t))

# Graficar la evolución de la población
plot(t, N, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "Crecimiento Poblacional - Función Logística", 
     xlab = "Tiempo (años)", ylab = "Población")
abline(h = M, col = "red", lty = 2)  # Línea de la capacidad de carga

La función logística de Verhulst-Pearl es una herramienta poderosa para modelar el crecimiento poblacional en condiciones de recursos limitados. En este ejemplo, hemos visto cómo implementar esta función en R y simular la evolución de una población en el tiempo. Este tipo de modelo es útil no solo para la biología, sino también para modelar fenómenos en administración de empresas, economía, y otras áreas que involucran un crecimiento limitado.