Introducción

En este taller, evaluaremos distribuciones de probabilidad discretas: Binomial, Hipergeométrica, Poisson, Pascal y Geométrica. Las aplicaciones están orientadas a problemas comunes en Administración de Empresas y Finanzas.

Objetivos:

  1. Entender las principales distribuciones de probabilidad discretas.

  2. Aplicar estas distribuciones a problemas reales del ámbito empresarial y financiero.

  3. Desarrollar habilidades prácticas en el uso de R para modelar incertidumbre.

Distribución Binomial

La distribución binomial es apropiada para modelar el número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito p.

Ejemplo en Finanzas: El éxito de una estrategia de inversión en un número determinado de días de operación bursátil.

# Parámetros
n <- 10  # Número de ensayos
p <- 0.6  # Probabilidad de éxito

# Simulación de una distribución binomial
x <- 0:n
binom_dist <- dbinom(x, size = n, prob = p)

# Graficar la distribución
barplot(binom_dist, names.arg=x, col="blue", main="Distribución Binomial", xlab="Número de éxitos", ylab="Probabilidad")

Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de obtener k éxitos en n extracciones sin reemplazo de una población finita.

Ejemplo en Administración de Empresas: Selección de empleados con una cierta habilidad de un grupo con habilidades mixtas sin reposición.

# Parámetros
m <- 20  # Número total de éxitos en la población
N <- 50  # Tamaño de la población
n <- 10  # Número de extracciones

# Simulación de una distribución hipergeométrica
x <- 0:n
hyper_dist <- dhyper(x, m=m, n=N-m, k=n)

# Graficar la distribución
barplot(hyper_dist, names.arg=x, col="red", main="Distribución Hipergeométrica", xlab="Número de éxitos", ylab="Probabilidad")

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es apropiada para modelar el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio.

Ejemplo en Finanzas: Número de llegadas de clientes a una sucursal bancaria en un día.

# Parámetros
lambda <- 4  # Tasa promedio de llegadas por intervalo

# Simulación de una distribución de Poisson
x <- 0:15
poisson_dist <- dpois(x, lambda=lambda)

# Graficar la distribución
barplot(poisson_dist, names.arg=x, col="green", main="Distribución de Poisson", xlab="Número de eventos", ylab="Probabilidad")

Distribución Pascal (Binomial Negativa)

La distribución binomial negativa describe el número de ensayos necesarios para obtener k éxitos en experimentos de Bernoulli.

Ejemplo en Finanzas: Número de intentos necesarios para conseguir k contratos de venta exitosos.

# Parámetros
k <- 5  # Número de éxitos deseados
p <- 0.3  # Probabilidad de éxito en cada intento

# Simulación de una distribución binomial negativa
x <- 0:20
pascal_dist <- dnbinom(x, size=k, prob=p)

# Graficar la distribución
barplot(pascal_dist, names.arg=x, col="purple", main="Distribución Pascal (Binomial Negativa)", xlab="Número de intentos", ylab="Probabilidad")

Distribución Geométrica

La distribución geométrica describe la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el k-ésimo ensayo.

Ejemplo en Finanzas: Número de llamadas hasta conseguir el primer cliente interesado en un producto.

# Parámetros
p <- 0.2  # Probabilidad de éxito en cada intento

# Simulación de una distribución geométrica
x <- 0:10
geom_dist <- dgeom(x, prob=p)

# Graficar la distribución
barplot(geom_dist, names.arg=x, col="orange", main="Distribución Geométrica", xlab="Número de ensayos", ylab="Probabilidad")

Ejercicios

Ejercicios sobre Distribuciones de Probabilidad Discretas

Ejercicio 1: Distribución Binomial

Una empresa de tecnología está probando un nuevo modelo de estrategia de ventas. Se estima que la probabilidad de cerrar una venta en un intento es del 40%. Durante un día típico, se hacen 8 intentos de ventas.

¿Cuál es la probabilidad de cerrar exactamente 3 ventas en un día?

¿Cuál es la probabilidad de cerrar al menos 5 ventas?

Simula la distribución de ventas diarias para 100 días y grafica los resultados.

Ejercicio 2: Distribución Hipergeométrica

Un gerente de recursos humanos está seleccionando 6 empleados para un equipo de proyecto. La empresa cuenta con 20 empleados, de los cuales 8 tienen experiencia avanzada en el tipo de proyectos que se van a realizar.

¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen exactamente 3 empleados con experiencia avanzada?

¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 empleados seleccionados tengan experiencia avanzada?

Simula esta selección 1000 veces y analiza la distribución de resultados.

Ejercicio 3: Distribución de Poisson

Una sucursal bancaria recibe, en promedio, 5 clientes por hora.

¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 3 clientes en una hora?

¿Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 2 clientes en una hora?

Simula la llegada de clientes durante 8 horas en un día y representa gráficamente el número de clientes por hora.

Ejercicio 4: Distribución Pascal (Binomial Negativa)

Un equipo de ventas necesita cerrar 5 contratos exitosos. Se estima que la probabilidad de cerrar un contrato exitoso en cada intento es del 30%.

¿Cuál es la probabilidad de que el equipo necesite exactamente 10 intentos para cerrar los 5 contratos?

¿Cuál es la probabilidad de que el equipo necesite más de 12 intentos para cerrar los 5 contratos?

Simula esta situación 1000 veces y grafica los resultados.

Ejercicio 5: Distribución Geométrica

Un agente de televentas hace llamadas para vender un producto financiero. La probabilidad de que el agente consiga un cliente interesado en cada llamada es del 10%.

¿Cuál es la probabilidad de que el agente consiga su primer cliente en la cuarta llamada?

¿Cuál es la probabilidad de que el agente necesite más de 5 llamadas para conseguir su primer cliente?

Simula esta situación para 500 agentes y grafica el número de llamadas necesarias para conseguir el primer cliente.