Problema 3

Modelado de las distrubuciones de los componentes:
Los tiempos de vida de los componenete siguen una distribucion Lognormal.

Para simular estos tiempos de vida de los sistemas, se utiliza la función rlnorm, esta genera valores de una distribución lognormal a partir de µ y θ, que corresponden al promedio y a la desviación estándar del logaritmo del tiempo de vida como se observa a continuación:

n_simulations <- 10000

R1_life <- rlnorm(n_simulations, meanlog = 2, sdlog = 1)
R3_life <- rlnorm(n_simulations, meanlog = 2, sdlog = 1)
R2_life <- rlnorm(n_simulations, meanlog = 1, sdlog = 0.1)
R4_life <- rlnorm(n_simulations, meanlog = 1, sdlog = 0.1)

Donde el número de la simulación (n_simulations) se definió como 10.000, para tener una mejor presición.

Modelado de los sistemas:
Los 3 sistemas están compuestos por resistencias conectadas en paralelo o en serie, cada tipo de conexión influye en el tiempo de vida del sistema.


Sistema 1: Este sistema tiene 2 partes en paralelo y luego estas partes están conectadas en serie. El tiempo de vida del sistema 1 se representa por la siguiente ecuación:

\[Ts1 = min(max(R1,R2),max(R3,R4))\] El resultado de este cálculo fue realizado por medio de un codigo de R, como se observa a continuación:

life_system_1 <- pmin(pmax(R1_life, R2_life), pmax(R3_life, R4_life))


Sistema 2: Este sistema tiene 2 partes en serie y luego estas partes están conectados en paralelo. El tiempo de vida del sistema 2 se representa por la siguiente ecuación:

\[Ts2 = max(min(R1,R3),min(R2,R4))\] El resultado de este cálculo fue realizado por medio de un codigo de R, como se observa a continuación:

life_system_2 <- pmax(pmin(R1_life, R3_life), pmin(R2_life, R4_life))


Sistema 3: Este sistema tiene 2 componentes en serie, luego estas partes están conectados en paralelo con otro componente, y finalmente esas coneciones están conectadas en serie a otro componente. El tiempo de vida del sistema 3 se representa por la siguiente ecuación:

\[Ts3 = min(max(min(R1,R2),R3),R4)\] El resultado de este cálculo fue realizado por medio de un codigo de R, como se observa a continuación:

life_system_3 <- pmin(pmax(pmin(R1_life, R2_life), R3_life), R4_life)



Para cada sistema se calcula la media del tiempo de vida, la probabilidad de que el sistema falle antes de 2 meses y el percentil 20 (P20)

  1. Media de los tiempos de vida de los sistemas:
    Este calculo se realizo por medio de la utilización de la función mean, empleado para cada sistema. Los resultados de la estimación de la media del tiempo de vida de los sistemas fueron: 
Media del Sistema 1:  6.175107
Media del Sistema 2:  6.132728
Media del Sistema 3:  2.692993
  1. Probabilidad de que el sistema falle antes de 2 meses:
    Este calculo se realizo obteniendo la proporción de simulaciones donde el tiempo de vida es menor que 2 meses, para cada sistema. Los resultados de la probabilidad de que falle sistema fueron: 
La probabilidad que falle el Sistema 1 antes de 2 meses es:  4e-04
La probabilidad que falle el Sistema 2 antes de 2 meses es:  7e-04
La probabilidad que falle el Sistema 3 antes de 2 meses es:  0.0117
  1. Percentil 20 del sistema 1:
    Este calculo se realizo por medio de la utilización de la función quantile empleado solo para el primer sistema.
El percentil 20 del primer sistema es:  2.817485


Construcción de gráficas de probabilidad normal de los tiempo de vida para los sistemas.
Para las gráficas de probabilidad normal y los histogramas para cada sistema, donde para la probabilidad normal se compara los tiempos de vida simulados con una distribución normal teórica utilizando la función qqnorm. Por otro lado, para los histogramas se muestra los tiempos de vida de los sistemas para determinar un sesgo del problema, todo esto por medio de la utilización de la función hist.

Analizando el resultado de la gráfica de probabilidad normal se obversa que el tiempo de vida util del sistema 1 tiene una aproximación de una distribución normal en el rango de 0 a 2, sin embargo desde ese punto la grafica de vida util del sistema se aleja de la aproximación de la distribución. Por otro lado, analizando el resultado del histograma se obversa que tiene un sesgo a la derecha, lo que significa que este sistema falla más pronunciadamente a partir del mes 10.

Analizando el resultado de la gráfica de probabilidad normal se obversa que el tiempo de vida util del sistema 2 tiene una aproximación de una distribución normal en el rango de 0 a 2, sin embargo desde ese punto la grafica de vida util del sistema se aleja de la aproximación de la distribución, este comportamiento es relativamente igual al anterior comportamiento del sistema 1. Por otro lado, analizando el resultado del histograma se obversa que tiene un sesgo a la derecha, lo que significa que este sistema falla más pronunciadamente a partir del mes 10.

Analizando el resultado de la gráfica de probabilidad normal se obversa que el tiempo de vida util del sistema 3 tiene una aproximación muy pronunciada de una distribución normal, ya que se podría decir que se ajusta completamente a esta distrubicón. Por otro lado, analizando el resultado del histograma se obversa que tiene una simetria aproximada, lo que significa que este sistema no falla constantemente en el rango de 2.5 a 3 meses.

Problema 4

Generación de coordenadas para X y Y:
Para la generación de 1000 coordenadas para X y Y, se utilizo la distribución uniforme con un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 1. Como se observa en el siguiente código:

n <- 1000 #Cantidad de coordenadas
set.seed(12)
x <- runif(n,min=0, max=1)
y <- runif(n,min=0, max=1)


Determinación de cuántos puntos están dentro del círculo y estimación de 𝜋:
Cada punto (Xi,Yi) se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5) es menor o igual a 0.5. Para cada par de (Xi,Yi), se calculo la distancia al centro usando la fórmula:

\[(Xi−0.5)^2 + (Yi−0.5)^2 ≤ 0.25\] Lo que genero los siguientes resultados:

Número de puntos dentro del círculo: 799 
Estimación de pi: 3.196

De los 1000 puntos generados, 799 cayeron dentro del círculo. Esto nos da una estimación de 𝜋de aproximadamente 3.196, que está cerca del valor real (3.1416).

Gráfica:
La gráfica se muestra la estimación aproximada de Pi mediante la simulación de n = 1000, se obversan los puntos dentro y fuera del circulo, donde los puntos que están en rojo, son lo que no se necesitan para la estimimacion del número Pi.