RMD_G5
Estudio de analisis multivariado con base en un conjunto de datos sobre riesgos financieros en perfiles individuales
Por: karen.floriano::laura.ortiz::herrera.isabel::(correounivalle.edu.co?)
Estudio hecho durante el periodo academico agosto-diciembre de 2024
Fase 1 [Descripciones Multivariantes]
1.1. Objetivos
En términos generales, esta primera etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones basadas en un conjunto de datos desde un enfoque de estadística descriptiva multivariante. Además, se incluirá una prueba de normalidad multivariada sobre los datos.
El conjunto de datos empleado es descrito en la sección 1. Los fundamentos teóricos provienen de notas de clase del curso Gestión de Datos dictado por el profesor Giancarlo Libreros Londoño para la carrera de Ingeniería Industrial (cohorte 2024-2). Además, se han utilizado los siguientes textos de referencia: Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias de Jay L. Devore (Devore, Jay L., 2008), Bioestadística de Wayne W. Daniel (Daniel, Wayne W., 2013), Métodos Matemáticos de Estadística de Harald Cramer (Cramer, Harald, 1953), Análisis Estadístico de Datos Multivariados de Luis Guillermo Díaz Monroy y Mario Alfonso Morales Rivera (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), Análisis Multivariante de Joseph Hair, Rolph Anderson, Ronald Tatham y William Black (Hair et al., 1999), Análisis Multivariante Aplicado con R de Joaquín Aldás y Ezequiel Uriel (Aldás & Uriel, 2017), Introducción a la Teoría Matemática de las Probabilidades y a la Estadística de Howard Tucker (Tucker, 1973) y Análisis Multivariado: Estadística Multivariada Descriptiva de William David Aristizábal Rodríguez (Aristizábal R., 2017).
Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea.
1.2. Descripción de los datos
El conjunto de datos de trabajo se obtuvo casi totalmente de Kaggle: https://www.kaggle.com/datasets/preethamgouda/financial-risk. Es conveniente anotar que **Kaggle* es una compañía subsidiaria de Google LLC que mantiene una comunidad online de científicos de datos y profesionales del aprendizaje automático. Esta empresa permite a sus usuarios encontrar y publicar conjuntos de datos, explorar y crear modelos en un entorno de ciencia de datos basado en la web, trabajar con otros científicos de datos e ingenieros de aprendizaje automático y participar en concursos para resolver desafíos de ciencia de datos.
Contexto del Conjunto de Datos
El conjunto de datos, denominado “riesgo financiero,” incluye información detallada sobre perfiles financieros individuales, como datos demográficos, financieros y de comportamiento, para evaluar el riesgo financiero.
Descripción del Conjunto de Datos
El conjunto de datos incluye 20 variables relevantes en la evaluación del riesgo financiero de individuos, proporcionando un análisis detallado de los factores demográficos, financieros y de comportamiento. Entre las variables cuantitativas de razón se encuentran Edad (Age), Ingresos (Income), Puntuación crediticia (Credit Score), Monto del préstamo (Loan Amount), Relación deuda-ingreso (Debt-to-Income Ratio) y Valor de los activos (Assets Value), cada una fundamental para el análisis financiero de precisión. Las variables cualitativas nominales, como Sexo (Gender), Propósito del préstamo (Loan Purpose) y Estado laboral (Employment Status), proporcionan categorías para entender mejor el perfil de riesgo según el contexto personal y profesional de cada individuo. Además, el Historial de pagos (Payment History) y la Calificación de riesgo (Risk Rating), clasificados de forma ordinal, permiten agrupar a los individuos por niveles de cumplimiento y riesgo. Este conjunto de datos también incorpora variables geográficas y de contexto, como Ciudad (City), Estado (State) y País (Country), que agregan capas contextuales relevantes en el análisis de patrones financieros.
Age (Edad) (Cuantitativa::razón):La edad del individuo, medida en años completos. Esta variable influye en muchos aspectos del comportamiento financiero, como la estabilidad y la capacidad de asumir riesgos financieros. Al ser una variable continua con un cero absoluto (que representa la ausencia de edad), permite comparaciones y cálculos precisos.
Gender (Sexo) (Cualitativa::nominal): Género del individuo, categorizado como : 0 que corresponde a el genero Masculino, 1 corresponde a Femenino y 2 a la categoria No binario. Esta variable no tiene un orden jerárquico, pero puede influir en el análisis de comportamiento financiero. Es una categoría relevante para analizar tendencias de equidad de género en el acceso a recursos financieros.
Education Level (Nivel educativo) (Cualitativa::ordinal): Nivel más alto de educación alcanzado, categorizado como: 0 que corresponde a escuela secundaria, 1 corresponde a licenciatura o graduado, 2 a maestria y 3 corresponde doctorado. Este es un indicador importante del potencial de ingresos y las oportunidades laborales. A medida que el nivel educativo aumenta, tiende a haber una correlación positiva con la estabilidad financiera, la capacidad de obtener empleo y la capacidad de tomar decisiones financieras bien informadas. El nivel educativo tiene un orden jerárquico claro.
Marital Status (Estado civil) (Cualitativa::nominal): Estado civil actual del individuo, categorizado como: 0 que corresponde a soltero, 1 a casado, 2 a divorciado y 3 corresponde a viudo. Esta variable puede influir en el comportamiento financiero, ya que el estado civil está relacionado con la cantidad de ingresos disponibles, las responsabilidades económicas y la estabilidad financiera. Aunque es una variable categórica, no tiene un orden implícito.
Income (Ingresos) (Cuantitativa::razón): Ingreso anual en dólares estadounidenses (USD), que representa la capacidad de ingresos del individuo. Es una medida fundamental del bienestar financiero y la capacidad de cumplir con las obligaciones de deuda. Los ingresos altos generalmente están correlacionados con menores tasas de incumplimiento y mayor capacidad de ahorro. Al ser una variable cuantitativa de razón, permite realizar operaciones matemáticas precisas, como calcular promedios, rangos y diferencias.
Credit Score (Puntuación crediticia) (Cuantitativa::razón): Valor numérico que indica la solvencia del individuo, generalmente comprendido entre 600 y 800. Este valor es crucial para evaluar la capacidad de crédito y el riesgo asociado al individuo. Una puntuación alta indica un buen historial de pagos y menores probabilidades de incumplimiento, mientras que una puntuación baja refleja mayor riesgo.
Loan Amount (Monto del préstamo) (Cuantitativa::razón): El monto del préstamo solicitado por el individuo, expresado en dólares. Esta variable refleja las necesidades financieras del solicitante. Los montos más grandes a menudo están asociados con mayores riesgos para la entidad financiera. Los préstamos más pequeños podrían implicar menos riesgo, pero también menos rentabilidad para el prestamista.
Loan Purpose (Propósito del préstamo) (Cualitativa::nominal): El propósito del préstamo, categorizado en: 0 como Personal, 1 que corresponde a Vivienda, 2 a Auto y 3 corresponde a negocio. Puede influir en el análisis de riesgo, ya que ciertos tipos de préstamos (como los hipotecarios) suelen estar respaldados por activos que actúan como garantía, lo que los convierte en menos riesgosos. Los préstamos personales, por otro lado, pueden ser más riesgosos debido a la falta de activos que los respalden.
Employment Status (Estado laboral) (Cualitativa::nominal): Situación laboral del individuo, que incluye las categorías de empleado, desempleado o autónomo, identificadas como 0, 1, 2 respectivamente. Esta variable proporciona información importante sobre la estabilidad financiera del solicitante. Los individuos empleados tienen generalmente mayor estabilidad en sus ingresos, mientras que los desempleados o autónomos pueden estar sujetos a fluctuaciones en sus ingresos
Years at Current Job (Años en el trabajo actual) (Cuantitativa::razón): Duración del empleo en el trabajo actual, medida en años. Esta variable refleja la estabilidad laboral del individuo. Un largo tiempo en un trabajo sugiere estabilidad financiera y es un indicador positivo en el análisis de crédito. Un tiempo corto podría indicar inestabilidad laboral y mayor riesgo de incumplimiento.
Payment History (Historial de pagos) (Cualitativa::ordinal): Rendimiento histórico de los pagos del individuo, categorizado como: 0 que corresponde a Pobre, 1 que corresponde a Justo, 2 que corresponde a Bueno y 3 que corresponde a Excelente. Un historial excelente indica que el individuo ha cumplido consistentemente con sus obligaciones financieras, mientras que un historial pobre refleja un mayor riesgo de incumplimiento en el futuro.
Debt-to-Income Ratio (Relación deuda-ingreso) (Cuantitativa::razón): Relación entre las deudas totales del individuo y sus ingresos anuales. Este indicador es crucial para medir el nivel de apalancamiento financiero y el riesgo de sobreendeudamiento. Una relación alta sugiere que el individuo está altamente endeudado en relación con sus ingresos, lo que aumenta el riesgo de incumplimiento
Assets Value (Valor de los activos) (Cuantitativa::razón): Valor total de los activos que posee el individuo, expresado en dólares. Los activos pueden incluir propiedades, vehículos, inversiones y otros bienes tangibles. Un valor de activos alto indica mayor respaldo financiero y mayor capacidad para hacer frente a las deudas, disminuyendo el riesgo de incumplimiento.
Number of Dependents (Número de dependientes) (Cuantitativa::razón): Número de personas que dependen económicamente del individuo. Este valor afecta las responsabilidades financieras del individuo.
City (Ciudad) (Cualitativa::nominal): Ciudad de residencia del individuo, proporcionando un contexto geográfico que puede influir en las oportunidades económicas y los costos de vida. No hay un orden entre las ciudades y tiene valores unicos.
State (Estado) (Cualitativa::nominal): Estado o provincia donde reside el individuo. Esto puede ser relevante para entender el contexto socioeconómico y las regulaciones locales que afectan el comportamiento financiero.
Country (País) (Cualitativa::nominal): País de residencia del individuo. La residencia en diferentes países puede implicar diferencias significativas en cuanto a regulaciones financieras, tipos de interés y acceso al crédito y tiene valores únicos.
Previous Defaults (Incumplimientos anteriores) (Cualitativa::ordinal): Número de impagos de préstamos anteriores, lo que indica un riesgo financiero histórico. Un mayor número de incumplimientos refleja un comportamiento de mayor riesgo para los prestamistas.
Marital Status Change (Cambio de estado civil) (Cualitativa::nominal): Número de cambios en el estado civil del individuo, como un cambio de soltero a casado o de casado a divorciado. Los cambios en el estado civil pueden afectar el comportamiento financiero debido a cambios en las responsabilidades y los ingresos.
Risk Rating (Calificación de riesgo) (Cualitativa::ordinal): Calificación que categoriza el riesgo financiero del individuo como: 0 que corresponde a Bajo, 1 que corresponde a Medio y 2 que corresponde a Alto. Esta variable se basa en varios factores, como el historial crediticio, los ingresos, los activos y la estabilidad laboral
Estructura del conjunto de datos original
str(cdd_riesgo_financiero_G5)## tibble [15,000 × 20] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
## $ Age : num [1:15000] 49 57 21 59 25 30 31 18 32 55 ...
## $ Gender : chr [1:15000] "Male" "Female" "Non-binary" "Male" ...
## $ Education_Level : chr [1:15000] "PhD" "Bachelor's" "Master's" "Bachelor's" ...
## $ Marital_Status : chr [1:15000] "Divorced" "Widowed" "Single" "Single" ...
## $ Income : num [1:15000] 727990 NA 556870 265080 494270 ...
## $ Credit_Score : num [1:15000] 6880 6900 6000 6220 7660 7170 6720 NA 7100 6000 ...
## $ Loan_Amount : num [1:15000] 457130 338350 366230 265410 365280 ...
## $ Loan_Purpose : chr [1:15000] "Business" "Auto" "Home" "Personal" ...
## $ Employment_Status : chr [1:15000] "Unemployed" "Employed" "Employed" "Unemployed" ...
## $ Years_at_Current_Job : num [1:15000] 19 6 8 2 10 5 1 10 4 5 ...
## $ Payment_History : chr [1:15000] "Poor" "Fair" "Fair" "Excellent" ...
## $ Debt_to_Income_Ratio : num [1:15000] 1.54e+16 1.49e+16 3.62e+16 4.55e+16 1.43e+16 ...
## $ Assets_Value : num [1:15000] 1202280 558490 1807000 1573190 2871400 ...
## $ Number_of_Dependents : num [1:15000] 0 0 30 30 NA 40 NA 10 0 40 ...
## $ City : chr [1:15000] "Port Elizabeth" "North Catherine" "South Scott" "Robinhaven" ...
## $ State : chr [1:15000] "AS" "OH" "OK" "PR" ...
## $ Country : chr [1:15000] "Cyprus" "Turkmenistan" "Luxembourg" "Uganda" ...
## $ Previous_Defaults : num [1:15000] 20 30 30 40 30 30 0 10 40 NA ...
## $ Marital_Status_Change: num [1:15000] 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 ...
## $ Risk_Rating : chr [1:15000] "Low" "Medium" "Medium" "Medium" ...Conjunto de datos original
cdd_riesgo_financiero_G5## # A tibble: 15,000 × 20
## Age Gender Education_Level Marital_Status Income Credit_Score Loan_Amount
## <dbl> <chr> <chr> <chr> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 49 Male PhD Divorced 727990 6880 457130
## 2 57 Female Bachelor's Widowed NA 6900 338350
## 3 21 Non-bin… Master's Single 556870 6000 366230
## 4 59 Male Bachelor's Single 265080 6220 265410
## 5 25 Non-bin… Bachelor's Widowed 494270 7660 365280
## 6 30 Non-bin… PhD Divorced NA 7170 156130
## 7 31 Non-bin… Master's Widowed 452800 6720 65530
## 8 18 Male Bachelor's Widowed 936780 NA NA
## 9 32 Non-bin… Bachelor's Widowed 202050 7100 NA
## 10 55 Male Bachelor's Married 321900 6000 299180
## # ℹ 14,990 more rows
## # ℹ 13 more variables: Loan_Purpose <chr>, Employment_Status <chr>,
## # Years_at_Current_Job <dbl>, Payment_History <chr>,
## # Debt_to_Income_Ratio <dbl>, Assets_Value <dbl>, Number_of_Dependents <dbl>,
## # City <chr>, State <chr>, Country <chr>, Previous_Defaults <dbl>,
## # Marital_Status_Change <dbl>, Risk_Rating <chr>Estructura del conjunto de datos depurado
str(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado)## tibble [5,716 × 20] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
## $ Age : num [1:5716] 39 58 47 35 29 24 42 22 24 29 ...
## $ Gender : num [1:5716] 1 0 1 1 0 0 0 2 2 1 ...
## $ Education_Level : num [1:5716] 2 0 1 2 3 2 3 3 2 0 ...
## $ Marital_Status : num [1:5716] 3 2 0 2 1 2 0 0 0 0 ...
## $ Income : num [1:5716] 1099710 1174800 387480 992140 1120400 ...
## $ Credit_Score : num [1:5716] 6420 7920 7090 6210 7000 7250 7050 7740 6510 6750 ...
## $ Loan_Amount : num [1:5716] 111010 242440 398720 124890 428490 ...
## $ Loan_Purpose : num [1:5716] 2 1 0 0 1 3 3 1 2 2 ...
## $ Employment_Status : num [1:5716] 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 ...
## $ Years_at_Current_Job : num [1:5716] 2 10 14 12 7 19 6 3 6 2 ...
## $ Payment_History : num [1:5716] 2 3 2 3 1 2 2 0 1 1 ...
## $ Debt_to_Income_Ratio : num [1:5716] 3.07e+15 3.66e+16 4.23e+15 2.25e+16 4.86e+15 ...
## $ Assets_Value : num [1:5716] 2489100 2497760 894730 332880 1583740 ...
## $ Number_of_Dependents : num [1:5716] 30 0 40 0 30 20 20 20 0 10 ...
## $ City : chr [1:5716] "Aaronborough" "Aaronhaven" "Aaronmouth" "Aaronshire" ...
## $ State : chr [1:5716] "CA" "WA" "TX" "MA" ...
## $ Country : chr [1:5716] "Anguilla" "Slovenia" "Greece" "Jordan" ...
## $ Previous_Defaults : num [1:5716] 0 40 40 10 20 20 30 40 40 40 ...
## $ Marital_Status_Change: num [1:5716] 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ...
## $ Risk_Rating : num [1:5716] 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 ...Conjunto de datos depurado
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado## # A tibble: 5,716 × 20
## Age Gender Education_Level Marital_Status Income Credit_Score Loan_Amount
## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 39 1 2 3 1099710 6420 111010
## 2 58 0 0 2 1174800 7920 242440
## 3 47 1 1 0 387480 7090 398720
## 4 35 1 2 2 992140 6210 124890
## 5 29 0 3 1 1120400 7000 428490
## 6 24 0 2 2 1006360 7250 358710
## 7 42 0 3 0 756140 7050 85290
## 8 22 2 3 0 986470 7740 316230
## 9 24 2 2 0 1193220 6510 303120
## 10 29 1 0 0 900970 6750 473140
## # ℹ 5,706 more rows
## # ℹ 13 more variables: Loan_Purpose <dbl>, Employment_Status <dbl>,
## # Years_at_Current_Job <dbl>, Payment_History <dbl>,
## # Debt_to_Income_Ratio <dbl>, Assets_Value <dbl>, Number_of_Dependents <dbl>,
## # City <chr>, State <chr>, Country <chr>, Previous_Defaults <dbl>,
## # Marital_Status_Change <dbl>, Risk_Rating <dbl>1.3. Estimaciones multivariadas
Como se menciona en (AEDMDiaz-Moralesled?), las metricas de tendencia central y dispersion, como la media, la desviacion estandar y la varianza, son esenciales para analizar el comportamiento general y la variabilidad en conjuntos de datos estadisticos. En el contexto de un analisis multivariante, estas medidas aplicadas a un conjunto de datos con varias variables numericas permiten una comprension mas profunda de las relaciones y el comportamiento posicional de las observaciones en el espacio de los datos.
El vector de medias proporciona el valor esperado de cada variable, lo que ayuda a identificar el punto central de cada distribucion dentro del conjunto de datos. Por su parte, la matriz de varianza-covarianza ofrece informacion sobre la dispersion de cada variable en el diagonal principal y estima las relaciones lineales entre pares de variables en sus elementos fuera bde la diagonal. Esta estructura permite evaluar la asociacion y la variabilidad conjunta en el conjunto de datos. Para mas detalles, consulte (AEDMDiaz-Moralesled?).
Lo anterior, para el conjunto de datos de trabajo, se desarrolla en la sección 1.3. \(R\).
Planteamiento del problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2, y dado que el análisis se centró en cinco de las ocho variables numéricas (en escala de medición de razón), se calcularán e interpretarán el vector de medias, la matriz de varianzas-covarianzas y la matriz de correlaciones para Income¨, Credit Score, Loan Amount, Debt-to-Income Ratio y Assets Value, ya que son las más relevantes para el análisis de riesgo financiero puesto que cada una de ellas ofrece información clave sobre la capacidad de pago, el perfil crediticio y la estabilidad financiera del individuo. Estas variables permiten construir una imagen detallada y multifacética del riesgo que cada persona representa para una institución financiera. Al comparar estas cinco variables con el resto (como Age , Years at Current Job y Number of Dependents ), se observa que las otras aportan menos directamente al cálculo del riesgo financiero. Aunque pueden complementar el análisis, su relación con la capacidad de pago y el comportamiento financiero es menos directa. Así, estas cinco variables constituyen una base sólida y prioritaria para un análisis enfocado en riesgo financiero.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas muestra el cálculo de los siguientes objetos: Vector de Medias \(\bar x\), Matriz de Varianzas-Covarianzas \(S\) y Matriz de Correlaciones \(R\).
Con base en la pestaña Vector de Medias y Boxplots , se observa que las variables tienen distribuciones relativamente concentradas, excepto Loan Amount y Debt-to-Income Ratio, que muestran mayor variabilidad. Assets Value tiene una dispersión hacia valores altos, indicando un sesgo hacia la derecha, mientras que Debt-to-Income Ratio presenta un sesgo hacia valores bajos en la mayoría de los casos. No se detectan casos atípicos extremos y las medias son moderadas, lo cual sugiere una distribución equilibrada en general.
Con base en la pestaña Matriz de Varianzas-Covarianzas , se observa que Income y Assets Value presentan las mayores variaciones, lo que indica una alta dispersión en sus valores. Las covarianzas más destacadas son las positivas entre Debt-to-Income Ratio con Income y Assets Value, sugiriendo que estas variables tienden a aumentar en conjunto. Por otro lado, la relación entre Credit Score y Loan Amount es débilmente negativa. Para el caso, se pueden observar la gráfica multivariada mostrada en la pestaña Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA] de la sección 1.4.
Con base en la pestaña Matriz de Correlaciones, se observa que las correlaciones entre las variables son en general bajas. Las relaciones más altas se encuentran entre Debt-to-Income Ratio y Assets Value(0,023), aunque sigue siendo una clasificación débil. Las demás correlaciones son cercanas a cero, lo que sugiere que las variables son casi independientes entre sí y que no existe una asociación significativa entre ellas en el contexto de riesgo financiero. Esto se puede revisar con más detalles en la sección 1.4.
Vector de Medias y Boxplox
apply(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(1,2,3,4,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19,20)], 2, mean)## Income Credit_Score Loan_Amount
## 7.019036e+05 6.991281e+03 2.757707e+05
## Debt_to_Income_Ratio Assets_Value
## 1.439601e+16 1.602446e+06cdd_riesgo_financiero_G5_depurado_Reducido = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(1,2,3,4,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19,20)]
par(mfrow = c(1, ncol(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado_Reducido)))
invisible(lapply(1:ncol(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado_Reducido), function(i)
boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[, i])))
Matriz de varianzas- Covarianzas
round(cov(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[, -c(1,2,3,4,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19,20)]), 1)## Income Credit_Score Loan_Amount
## Income 8.496851e+10 1.549521e+06 -3.076619e+08
## Credit_Score 1.549521e+06 3.233071e+05 -5.936967e+05
## Loan_Amount -3.076619e+08 -5.936967e+05 1.682406e+10
## Debt_to_Income_Ratio 1.518722e+19 -1.149499e+17 2.760809e+18
## Assets_Value 1.276106e+09 3.187396e+05 -7.162200e+08
## Debt_to_Income_Ratio Assets_Value
## Income 1.518722e+19 1.276106e+09
## Credit_Score -1.149499e+17 3.187396e+05
## Loan_Amount 2.760809e+18 -7.162200e+08
## Debt_to_Income_Ratio 2.052114e+32 2.679125e+20
## Assets_Value 2.679125e+20 6.494528e+11Matriz de Correlaciones
round(cor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[, -c(1,2,3,4,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19,20)]),2)## Income Credit_Score Loan_Amount Debt_to_Income_Ratio
## Income 1.00 0.01 -0.01 0.00
## Credit_Score 0.01 1.00 -0.01 -0.01
## Loan_Amount -0.01 -0.01 1.00 0.00
## Debt_to_Income_Ratio 0.00 -0.01 0.00 1.00
## Assets_Value 0.01 0.00 -0.01 0.02
## Assets_Value
## Income 0.01
## Credit_Score 0.00
## Loan_Amount -0.01
## Debt_to_Income_Ratio 0.02
## Assets_Value 1.001.4. Gráficas multivariadas
En la guía de clase de Diaz y Morales (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), se expone que los gráficos multivariados cumplen un rol fundamental en el análisis de datos al facilitar, en primer lugar, la visualización y comparación de diferentes categorías dentro de una población, y, en segundo lugar, al simplificar la interpretación de las relaciones entre varias variables. En esta línea, el conjunto de datos será complementado con tres tipos de representaciones gráficas: un diagrama que integra dispersión y correlación, otro basado en la visualización de polígonos para resaltar patrones y, finalmente, una representación de las relaciones en el espacio de datos mediante las caras de Chernoff.
Planteamiento del problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se calcularán e intepretarán, para las variables numéricas, las gráficas multivariadas de diagrama de correlaciones, matriz de diagrama de dispersión, diagrama de estrellas y caras de Chernoff. Se recuerda que las variables numéricas (en escalada de medición de razón) son: Age, Income, Credit Score, Loan Amount, Years at Current Job, Debt-to-Income Ratio, Assets Value y Number of dependents
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas muestra las gráficas multivariadas de: Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones (sin agrupación SA y con agrupación CA (con base en las tres variables categóricas: Gender:GE, Marital Status:MS, Loan Purpose:LP, Employment Status: ES)), Diagrama de Estrellas y Caras de Chernoff.
Con base en la pestaña Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA], se puede observar que las correlaciones entre las variables no superan valores de \(0.1\), lo que sugiere una relación débil o nula entre las variables del conjunto de datos de riesgo financiero cdd_riesgo_financiero_G5_depurado . Las variables analizadas, como Age, Income, Credit_Score, Loan_Amount, Assets_Value, entre otras, muestran correlaciones menores a \(0.02\), lo cual indica que no existe una relación lineal significativa entre ellas. Según la interpretación de datos en la sección 2, estas variables son relevantes en el contexto del análisis de riesgo financiero, ya que reflejan características sociodemográficas y financieras de los individuos. No obstante, la baja sugerencia sugiere que ninguna variable es particularmente influyente para predecir el comportamiento de otra dentro de este conjunto específico.
Complementariamente, con base en las pestañas Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones en sus versiones basadas en grupos a partir de las variables categóricas: Gender, Marital Status, Loan Purpose y Employment Status; se puede decir que las correlaciones entre Gender y variables financieras (como Income , Credit_Score , Loan_Amount) son bajas (menores a \(0.1\)), lo que indica que el género no tiene un impacto significativo en los niveles financieros. Las correlaciones entre Marital Status y variables financieras también son bajas (menores a \(0.1\)), lo que sugiere que el estado civil no influye de forma relevante en los indicadores financieros del análisis de riesgo. La variable categórica Loan Purpose muestra que los puntos están dispersos sin agrupaciones claras en torno a valores específicos, sugiriendo que el propósito del préstamo no tiene una relación evidente con estas variables. Las distribuciones de cada variable muestran concentraciones en ciertos rangos, pero no parecen estar influenciadas significativamente por el propósito del préstamo. la variable Employment Status se muestra en relación con variables financieras como Income, Credit Score y Loan Amount. Los valores de correlación entre las variables son bajos, lo que indica poca o nula relación lineal entre ellas. Los puntos de color están distribuidos de manera uniforme y sin agrupaciones claras en los gráficos de dispersión, lo que sugiere que el estado laboral no tiene una influencia significativa sobre estas variables financieras.
Con base en la pestaña Diagrama de estrellas sugiere que el perfil de riesgo financiero de los individuos está fuertemente influenciado por variables como Income, Credit Score y Age. Individuos con mayores ingresos y mejores puntajes de crédito tienden a presentar menor riesgo. Además, se observa una posible relación positiva entre Income y Credit Score, y una relación negativa entre Age y Number of Dependents. Estos hallazgos indican que el nivel de ingresos y la historial crediticio son factores clave a considerar al evaluar el riesgo financiero de un individuo.
Complementariamente a los diagramas de estrellas, la pestaña Caras de Chernoff muestra que las caras 8, 19 y 22, por ejemplo, comparten características como ojos pequeños, bocas grandes y expresion faciles mas asombrados lo que sugiere un perfil de inversión conservador e indican una mayor disposicion a asumir riesgos financieros. Esto compagina con lo mostrado en el Diagrama de Estrellas.
Por último, es relevante mencionar que las evidencias descriptivas expuestas en este apartado estén en contra de considerar que el conjunto de datos limitado a las variables numéricas tenga una distribución normal multivariada. Esto se estudia en la sección 1.5..
Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones[SA]
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[, -c(2, 3, 4, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20)])
Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones [CA:GE]
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender <- factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, levels = c(0,1,2), labels = c("M", "H", "N"))
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado, columns = c(1,5,6,7,10,12,13,14), aes(color = Gender, alpha =0.5), upper = list(continuos = wrap("cor", size = 0.1)))
Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones [CA:MS]
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status <- factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status, levels = c(0,1,2,3), labels = c("S", "M", "D", "W"))
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado, columns = c(1,5,6,7,10,12,13,14), aes(color = Marital_Status, alpha =0.5), upper = list(continuos = wrap("cor", size = 0.1)))
Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones [CA:LP]
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose <- factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose, levels = c(0,1,2,3), labels = c("P", "H", "A", "B"))
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado, columns = c(1,5,6,7,10,12,13,14), aes(color = Loan_Purpose, alpha =0.5), upper = list(continuos = wrap("cor", size = 0.1)))
Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones [CA:ES]
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status <- factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, levels = c(0,1,2), labels = c("E", "U", "S"))
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado, columns = c(1,5,6,7,10,12,13,14), aes(color = Employment_Status, alpha =0.5), upper = list(continuos = wrap("cor", size = 0.1)))
Diagrama de Estrellas
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado=
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1: nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),23),-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]
stars(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado, len = 1, cex = 0.4, key.loc = c(10, 2), draw.segments = TRUE)
Caras de chernoff
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1: nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),23),-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]
faces(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado)
## effect of variables:
## modified item Var
## "height of face " "Age"
## "width of face " "Income"
## "structure of face" "Credit_Score"
## "height of mouth " "Loan_Amount"
## "width of mouth " "Years_at_Current_Job"
## "smiling " "Debt_to_Income_Ratio"
## "height of eyes " "Assets_Value"
## "width of eyes " "Number_of_Dependents"
## "height of hair " "Age"
## "width of hair " "Income"
## "style of hair " "Credit_Score"
## "height of nose " "Loan_Amount"
## "width of nose " "Years_at_Current_Job"
## "width of ear " "Debt_to_Income_Ratio"
## "height of ear " "Assets_Value"1.5. Normalidad multivariada
Según lo explicado por (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), para identificar el tipo de distribución multivariada de un conjunto de datos, se pueden utilizar métodos descriptivos, como gráficos, y métodos inferenciales, como pruebas estadísticas. Los métodos inferenciales ofrecen una generalización de los resultados obtenidos, mientras que los descriptivos ayudan a visualizar y comprender los datos de manera preliminar.
En esta sección, se aplicarán métodos inferenciales para determinar si el conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada (DNM) en función de sus variables numéricas. Se aplicarán varias pruebas de normalidad multivariada (PNM), incluyendo las pruebas de Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen y Royston, con un nivel de significancia de \(\alpha =0.05\) y bajo las siguientes hipótesis:\[H_0: \text {Las variables tienen una DNM}\] \[H_1: \text {Las variables NO tienen una DNM}\].
La prueba de Mardia se enfoca en la asimetría y curtosis, utilizando la distancia de Mahalanobis. En este caso, el estadístico de asimetría se distribuye aproximadamente como \(\chi^2\), mientras que el de curtosis sigue una distribución normal. Más detalles sobre estos estadísticos se encuentran en (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012).
La prueba de Henze-Zirkler se basa en una métrica funcional y, en caso de una distribución normal multivariada, el estadístico se aproxima a una lognormal, cuyos parámetros pueden consultarse en (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012).
La prueba de Doornik-Hansen emplea la asimetría y curtosis en datos transformados para asegurar su independencia. Considerada más potente en ciertos contextos que la prueba de Shapiro-Wilk, su estadístico se distribuye como \(\chi^2\). Para detalles adicionales, consulta (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012).
La prueba de Royston usa Shapiro-Wilk o Shapiro-Francia según la curtosis de los datos, aplicando Shapiro-Francia en distribuciones leptocúrticas y Shapiro-Wilk en platicúrticas. Los parámetros se calculan mediante aproximaciones polinomiales. Más información está disponible en (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012).
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se hará una prueba estadística de normalidad multivariada, con un nivel de significancia \(\alpha=0.05\), para establecer si sus datos métricos provienen de una población normal multivariada. Se recuerda que las variables numéricas del conjunto de datos (en escalada de medición de razón) son: Age, Income, Credit Score, Loan Amount, Years at Current Job, Debt-to-Income Ratio, Assets Value y Number of dependents, Pero en esta caso excluiremos tambien la variable Debt-to-Income Ratio, que aunque sea cuantitativa de escala razon, su formato de numero que se encuentra en el conjunto de datos no es compatible para la prueba de Mardia, la prueba de Henze-Zirkler, la prueba de Doornik-Hansen y la prueba de Royston.
Desarrollo del analisis
La PNM de Mardia establece que si ambas pruebas (para asimetría y curtosis) indican una normalidad multivariante, los datos siguen una DNM con un nivel de significancia \(\alpha=0.05\); sin embargo, el caso tratado es contrario a esto. Obsérvese a través de la pestaña PNM Mardia que es probable que la prueba de curtosis de Mardia no respalde la normalidad multivariada, Ya que todas las variables presentan valores de curtosis negativos, indicando que las distribuciones son más planas en comparación con la normal (platicúrticas). Los valores de asimetría están muy cerca de cero, lo que sugiere que las distribuciones son bastante simétricas. Además, aunque las asimetrías están cerca de 0, la curtosis platicúrtica en sí misma podría llevar a la conclusión de que los datos no cumplen completamente con los requisitos de una DNM.
La PNM de Henze-Zirkler indica que el estadístico de prueba no sigue una distribución lognormal, ya que el valor \(p-value\) menor que el nivel de significancia \(\alpha=0.05\). Esto se puede observar en la pestaña PNM Henze-Zirkler. De acuerdo con el contrarrecíproco de la implicación presentada en la descripción de la prueba en la sección 1.5. , no existen suficientes evidencias para considerar que el conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada.
La PNM de Doornik-Hansen establece que su estadístico de prueba no sigue una distribución aproximadamente \(\chi^2\) dado que su \(p-value\) es menor que el nivel de significancia \(\alpha=0.05\), obsérvese esto a través de la pestaña PNM Doornik-Hansen. Por lo tanto, las evidencias están lejos de apoyar que el conjunto de datos sigue una DNM.
La PNM de Royston, en este caso, no se cumple completamente en relación con los datos, ya que algunos valores \(p-value\) son mayores que el nivel de significancia \(\alpha=0.05\), lo cual implica que ciertas variables (como Age , Credit Score , Loan Amount , Assets Value y Number of Dependents ) no rechazan la hipótesis nula de normalidad univariante. Sin embargo, otras variables ( Income y Years at Current Job ) tienen valores \(p-value\) menores a \(\alpha=0.05\), rechazando así la hipótesis de normalidad en esas variables individuales. Por lo tanto, dado que no todas las variables numéricas cumplen con la condición de normalidad, no se puede concluir que el conjunto de datos en su totalidad sigue una distribución normal multivariada (DNM).
PNM Mardia
mvn(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,12,15,16,17,18,19,20)], mvnTest="mardia")## $multivariateNormality
## Test Statistic p value Result
## 1 Mardia Skewness 46.3597824203416 0.999721486716473 YES
## 2 Mardia Kurtosis -29.0340926707385 0 NO
## 3 MVN <NA> <NA> NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Age 56.1724 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling Income 71.3295 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling Credit_Score 62.8211 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling Loan_Amount 59.1791 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling Years_at_Current_Job 77.8022 <0.001 NO
## 6 Anderson-Darling Assets_Value 60.9745 <0.001 NO
## 7 Anderson-Darling Number_of_Dependents 207.9391 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max
## Age 5716 4.358170e+01 1.475569e+01 43 18 69
## Income 5716 7.019036e+05 2.914936e+05 704430 200140 1199780
## Credit_Score 5716 6.991281e+03 5.686010e+02 7000 6000 7990
## Loan_Amount 5716 2.757707e+05 1.297076e+05 276260 50010 499780
## Years_at_Current_Job 5716 9.432120e+00 5.791336e+00 9 0 19
## Assets_Value 5716 1.602446e+06 8.058863e+05 1606430 201040 2999990
## Number_of_Dependents 5716 2.001400e+01 1.419400e+01 20 0 40
## 25th 75th Skew Kurtosis
## Age 31.0 56.0 0.001552363 -1.157197
## Income 444927.5 960037.5 -0.012911532 -1.233380
## Credit_Score 6500.0 7480.0 -0.019765237 -1.194056
## Loan_Amount 165745.0 387595.0 -0.006604698 -1.179169
## Years_at_Current_Job 4.0 15.0 0.013892138 -1.230099
## Assets_Value 908325.0 2292347.5 -0.012874043 -1.187909
## Number_of_Dependents 10.0 30.0 0.008543822 -1.311079PNM Henze-Zirkler
mvn(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,12,15,16,17,18,19,20)], mvnTest="hz")## $multivariateNormality
## Test HZ p value MVN
## 1 Henze-Zirkler 2.66974 0 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Age 56.1724 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling Income 71.3295 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling Credit_Score 62.8211 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling Loan_Amount 59.1791 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling Years_at_Current_Job 77.8022 <0.001 NO
## 6 Anderson-Darling Assets_Value 60.9745 <0.001 NO
## 7 Anderson-Darling Number_of_Dependents 207.9391 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max
## Age 5716 4.358170e+01 1.475569e+01 43 18 69
## Income 5716 7.019036e+05 2.914936e+05 704430 200140 1199780
## Credit_Score 5716 6.991281e+03 5.686010e+02 7000 6000 7990
## Loan_Amount 5716 2.757707e+05 1.297076e+05 276260 50010 499780
## Years_at_Current_Job 5716 9.432120e+00 5.791336e+00 9 0 19
## Assets_Value 5716 1.602446e+06 8.058863e+05 1606430 201040 2999990
## Number_of_Dependents 5716 2.001400e+01 1.419400e+01 20 0 40
## 25th 75th Skew Kurtosis
## Age 31.0 56.0 0.001552363 -1.157197
## Income 444927.5 960037.5 -0.012911532 -1.233380
## Credit_Score 6500.0 7480.0 -0.019765237 -1.194056
## Loan_Amount 165745.0 387595.0 -0.006604698 -1.179169
## Years_at_Current_Job 4.0 15.0 0.013892138 -1.230099
## Assets_Value 908325.0 2292347.5 -0.012874043 -1.187909
## Number_of_Dependents 10.0 30.0 0.008543822 -1.311079PNM Doornik-Hansen
mvn(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,12,15,16,17,18,19,20)], mvnTest="dh")## $multivariateNormality
## Test E df p value MVN
## 1 Doornik-Hansen 40721.59 14 0 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Age 56.1724 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling Income 71.3295 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling Credit_Score 62.8211 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling Loan_Amount 59.1791 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling Years_at_Current_Job 77.8022 <0.001 NO
## 6 Anderson-Darling Assets_Value 60.9745 <0.001 NO
## 7 Anderson-Darling Number_of_Dependents 207.9391 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max
## Age 5716 4.358170e+01 1.475569e+01 43 18 69
## Income 5716 7.019036e+05 2.914936e+05 704430 200140 1199780
## Credit_Score 5716 6.991281e+03 5.686010e+02 7000 6000 7990
## Loan_Amount 5716 2.757707e+05 1.297076e+05 276260 50010 499780
## Years_at_Current_Job 5716 9.432120e+00 5.791336e+00 9 0 19
## Assets_Value 5716 1.602446e+06 8.058863e+05 1606430 201040 2999990
## Number_of_Dependents 5716 2.001400e+01 1.419400e+01 20 0 40
## 25th 75th Skew Kurtosis
## Age 31.0 56.0 0.001552363 -1.157197
## Income 444927.5 960037.5 -0.012911532 -1.233380
## Credit_Score 6500.0 7480.0 -0.019765237 -1.194056
## Loan_Amount 165745.0 387595.0 -0.006604698 -1.179169
## Years_at_Current_Job 4.0 15.0 0.013892138 -1.230099
## Assets_Value 908325.0 2292347.5 -0.012874043 -1.187909
## Number_of_Dependents 10.0 30.0 0.008543822 -1.311079PNM Royston
mvn(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),23),-c(2,3,4,8,9,11,12,15,16,17,18,19,20)], mvnTest="royston")## $multivariateNormality
## Test H p value MVN
## 1 Royston 22.79611 0.001855748 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Age 0.3281 0.4977 YES
## 2 Anderson-Darling Income 1.1191 0.0050 NO
## 3 Anderson-Darling Credit_Score 0.2312 0.7776 YES
## 4 Anderson-Darling Loan_Amount 0.4669 0.2283 YES
## 5 Anderson-Darling Years_at_Current_Job 0.4329 0.2778 YES
## 6 Anderson-Darling Assets_Value 0.9375 0.0144 NO
## 7 Anderson-Darling Number_of_Dependents 0.8364 0.0262 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th
## Age 23 4.430435e+01 1.353257e+01 46 21 69 37
## Income 23 7.484626e+05 3.350814e+05 860330 236570 1187540 433420
## Credit_Score 23 6.874348e+03 4.893579e+02 6790 6000 7840 6570
## Loan_Amount 23 2.724191e+05 1.370719e+05 290170 67700 491250 158175
## Years_at_Current_Job 23 9.000000e+00 5.368257e+00 9 0 17 5
## Assets_Value 23 1.574047e+06 9.870084e+05 1873890 209140 2938230 700850
## Number_of_Dependents 23 1.695652e+01 1.329210e+01 20 0 40 5
## 75th Skew Kurtosis
## Age 53.5 -0.13453143 -0.8802766
## Income 1091745.0 -0.13549672 -1.7247125
## Credit_Score 7155.0 0.25504674 -0.8808011
## Loan_Amount 375165.0 0.12960081 -1.4275046
## Years_at_Current_Job 13.5 -0.27654601 -1.3007364
## Assets_Value 2480380.0 -0.01253303 -1.7017616
## Number_of_Dependents 30.0 0.09512298 -1.3083347Fase 2 [Componentes principales]
2.1. Objetivos
En términos generales, esta segunda etapa de estudio presentará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en la fase 1, pero ahora desde un enfoque de análisis de componentes principales sobre las variables cuantitativas del estudio de riesgo financiero, que incluirá: selección de componentes principales, análisis de la calidad de representación, contribuciones relativas e interpretación de los resultados obtenidos.
Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo está descrito en la sección 2 y los referentes teóricos en la sección 1.
Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, el dia miercoles 11 de diciembre de 2024.
2.2. Selección de Componentes
Como se menciona en el trabajo de (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), el Análisis de Componentes Principales (ACP) es una técnica para reducir la cantidad de variables en un conjunto de datos multivariado sin necesidad de asumir una distribución de probabilidad específica. Esta reducción se logra mediante combinaciones lineales de las variables originales, creando componentes principales que maximizan la variabilidad total y son estadísticamente independientes y no correlacionadas entre sí.
El proceso del ACP incluye generar nuevas variables a partir de las originales, reducir la dimensión del espacio de datos seleccionando solo los componentes que explican un porcentaje relevante de la variabilidad, eliminar las variables de baja contribución y, finalmente, interpretar los componentes en el contexto del problema de estudio. Estas fases se desarrollan en las secciones 2.2, 2.3 y 2.4.
Planteamiento del problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2, el primer paso en el Análisis de Componentes Principales (ACP) es calcular el porcentaje de varianza explicado por cada componente, lo cual permite evaluar el aporte de cada uno a la representación de los datos originales. Para decidir cuántos componentes retener, se pueden aplicar criterios como el autovalor medio o el diagrama de sedimentación. Estos métodos ayudan a seleccionar los componentes más relevantes, simplificando el análisis al preservar la máxima variabilidad informativa del conjunto de datos. Se recuerda que las variables numéricas (en escalada de medición de razón) son: Age, Income, Credit Score, Loan Amount, Years at Current Job, Debt-to-Income Ratio, Assets Value y Number of dependents.
Desarrollo del analisis
La exploración de las pestañas revela que el conjunto de datos, en lo que respecta a sus variables numéricas, puede ser representado por un conjunto reducido de variables que retiene una proporción significativa de la variabilidad total. En particular:
La Matriz ACP revela ocho dimensiones, donde solo la primera dimensión retiene un porcentaje considerablemente mayor de la variabilidad en comparación con las siguientes. Esta diferencia indica que la combinación lineal que define a la primera dimensión tiene una representatividad mucho más alta que las demás dimensiones. Dado que esta matriz no proporciona una interpretación directa en relación con las variables originales, se continúa el análisis para identificar cuáles variables contribuyen más a la dimensión asociada con el valor propio más alto.
La Matriz de Correlaciones permite profundizar en las descripciones de las combinaciones lineales que conforman la dimensión de mayor interés: la dimensión 1. Como se mostró en la sección 1.3., esta matriz facilita la verificación de que las correlaciones son más intensas y siempre positivas entre variables clave como Age, Income, Credit Score, Loan Amount, Years at Current Job, Debt-to-Income Ratio, Assets Value y Number of Dependents. Esto resulta coherente con el contexto del análisis de riesgo financiero, donde se espera que estas variables contribuyan significativamente a la combinación lineal que define la primera dimensión.
La pestaña de Valores y Vectores Propios presenta los elementos calculados a partir de la matriz de correlaciones del conjunto de datos. Esto garantiza que los valores propios reflejan la variabilidad total del conjunto, facilitando así el cálculo inmediato de las proporciones de retención de variabilidad. Además, la matriz de vectores propios asigna a cada componente, en relación con cada variable del conjunto, los coeficientes que definen su combinación lineal. Por ejemplo, la componente 1 se puede describir como una combinación lineal de variables estandarizadas, como Age, Income, Credit Score, Loan Amount, Years at Current Job, Debt-to-Income Ratio, Assets Value y Number of Dependents. Hasta este punto, se observa que el número de componentes es igual al número de variables tratadas, con la ventaja de que estas nuevas componentes son incorreladas entre sí, como se muestra en la pestaña Correlaciones Comparadas.
Por último, el Gráfico de Cattell y el Gráfico de Cattell-Kaiser facilitan la elección de una componente que retiene suficiente variabilidad para abordar el problema. Sin embargo, es importante señalar que se sugiere elegir en función de criterios más comúnmente utilizados, en lugar de criterios de aceptación universal. El Gráfico de Cattell muestra que los cambios en la pendiente reflejan una alta capacidad explicativa de la dimensión 1 en comparación con las demás. De manera similar, el Gráfico de Cattell-Kaiser, al combinar este enfoque gráfico con el criterio de Kaiser, apoya la decisión de retener una sola dimensión, asegurando que esta elección mantenga un porcentaje adecuado de variabilidad para el estudio del problema.
Matriz ACP
get_eigenvalue(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], ncp = 4, scale.unit = TRUE, graph = F))## eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1 1.0397312 12.99664 12.99664
## Dim.2 1.0248528 12.81066 25.80730
## Dim.3 1.0125245 12.65656 38.46386
## Dim.4 1.0035912 12.54489 51.00875
## Dim.5 0.9943089 12.42886 63.43761
## Dim.6 0.9866529 12.33316 75.77077
## Dim.7 0.9733970 12.16746 87.93823
## Dim.8 0.9649416 12.06177 100.00000Matriz de correlaciones
round(cor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]),2)## Age Income Credit_Score Loan_Amount Years_at_Current_Job
## Age 1.00 0.01 0.00 -0.01 -0.01
## Income 0.01 1.00 0.01 -0.01 0.00
## Credit_Score 0.00 0.01 1.00 -0.01 -0.01
## Loan_Amount -0.01 -0.01 -0.01 1.00 -0.01
## Years_at_Current_Job -0.01 0.00 -0.01 -0.01 1.00
## Debt_to_Income_Ratio -0.01 0.00 -0.01 0.00 0.00
## Assets_Value -0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.01
## Number_of_Dependents -0.01 0.01 0.01 0.00 0.00
## Debt_to_Income_Ratio Assets_Value Number_of_Dependents
## Age -0.01 -0.02 -0.01
## Income 0.00 0.01 0.01
## Credit_Score -0.01 0.00 0.01
## Loan_Amount 0.00 -0.01 0.00
## Years_at_Current_Job 0.00 -0.01 0.00
## Debt_to_Income_Ratio 1.00 0.02 -0.01
## Assets_Value 0.02 1.00 0.00
## Number_of_Dependents -0.01 0.00 1.00Valores y Vectores Propios
princomp(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], cor = TRUE)$sdev^2## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 Comp.7 Comp.8
## 1.0397312 1.0248528 1.0125245 1.0035912 0.9943089 0.9866529 0.9733970 0.9649416princomp(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], cor = TRUE)$loadings[ ,1:6]## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4
## Age 0.45748824 0.07271731 0.5415166588 0.28917130
## Income 0.08404542 -0.54826637 0.0423972718 0.11719073
## Credit_Score 0.30739628 -0.43054537 -0.0008690696 -0.39801681
## Loan_Amount -0.16188342 0.43853142 -0.1080666866 -0.59873133
## Years_at_Current_Job 0.02188378 0.07971668 -0.6680374234 0.52998291
## Debt_to_Income_Ratio -0.58517131 -0.12284868 0.1431545441 0.20196327
## Assets_Value -0.53454449 -0.39556606 0.1634152394 -0.06573951
## Number_of_Dependents 0.18520259 -0.37218006 -0.4470025196 -0.24445239
## Comp.5 Comp.6
## Age 0.2104661 0.08032259
## Income 0.5730854 -0.51122594
## Credit_Score -0.4592911 -0.34875436
## Loan_Amount 0.3892849 -0.34880765
## Years_at_Current_Job -0.1060203 -0.30676850
## Debt_to_Income_Ratio 0.2427087 0.03917261
## Assets_Value -0.2577672 0.05445266
## Number_of_Dependents 0.3580425 0.62473470Correlaciones Comparadas
par(mfrow=c(1,2))
corrplot::corrplot(cor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
corrplot::corrplot(cor(princomp(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], cor = TRUE)$scores), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
Gráfico de Cattell
fviz_eig(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], scale.unit = T, graph = F), addlabels = T, ylim=c(0,90), main = "")
Gráfico de Cattell-Kaiser
scree(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)],factors = FALSE, pc = TRUE, main ="")
2.3. Calidad de Representación
Al revisar el trabajo de (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), se observa que, tras la reducción de la dimensionalidad del conjunto de datos y al comprender que las variables (estandarizadas) se representan gráficamente como proyecciones en la hiperesfera de correlaciones, es fundamental iniciar la interpretación de los componentes. Esta interpretación debe comenzar con el análisis de las correlaciones, seguido por la evaluación de la calidad de las representaciones resultantes de la reducción dimensional en relación con las variables originales.
Planteamiento del problema
A partir del conjunto de datos descrito en la sección 2, es fundamental llevar a cabo una evaluación detallada de la calidad de representación de las variables cuantitativas. Esto implica analizar cómo cada una de las dimensiones calculadas contribuye a la captura de la variabilidad presente en los datos. En particular, se debe prestar atención a aquellas dimensiones que retienen la mayor cantidad de variabilidad, ya que esto es crucial para comprender la estructura subyacente del conjunto de datos. Para un análisis más profundo, se recomienda consultar la sección 2.2. Se recuerda que las variables numéricas (en escala de medición de razón) son: Age, Income, Credit Score, Loan Amount, Years at Current Job, Debt-to-Income Ratio, Assets Value y Number of dependents.
Desarrollo del analisis
La navegación a través de las pestañas revela que la reducción de la dimensionalidad del conjunto de datos permite analizar las calidades de representación en términos de una escala de contribuciones relativas. Esta escala se basa en un cociente de proyecciones que presenta propiedades aditivas y de respuesta en una escala continua que varía entre \(0\) y \(1\). Esto implica que cada variable cuantitativa puede ser evaluada en función de su importancia en la representación de las dimensiones seleccionadas, proporcionando así una visión más clara de cómo cada variable contribuye a la variabilidad total del conjunto de datos. Esta metodología no solo facilita la identificación de las variables más influyentes, sino que también mejora la interpretación de los componentes principales, permitiendo un entendimiento más profundo de las interrelaciones entre las variables. Asi en particular:
El Círculo de Correlaciones permite visualizar cómo se comportan las variables en relación con la primera dimensión. Se observa que esta dimensión presenta correlaciones positivas con las ocho variables de interés, posicionándose cercanas a la frontera del círculo unitario y al eje que la representa, lo que indica una fuerte relación entre ellas. En contraste, las variables Credit_Score, Debt_to_Income_Ratio, Income, Loan_Amount, Number_of_Dependents y Years_at_Current_Job muestran una oposicion respecto a las demás, sugiriendo un comportamiento diferenciado. Además, es importante destacar la correlación entre pares de variables, que, en el contexto del fenómeno estudiado, mantiene la naturaleza correlacional esperada hasta este punto del análisis.
La Matriz de Representación revela que los valores del cociente de proyecciones en relación con la dimensión 4 son notablemente altos, lo que indica que los puntos proyectados están fuertemente asociados con este componente. En la pestaña que muestra la Calidad de Representación, vemos que el mínimo valor está en el rango bajo (color azul/verde) para algunas variables, como Loan_Amount y Years_at_Current_Job. Esto indica que estas variables no están tan bien representadas en las dimensiones mostradas (Dim1 y Dim2) en comparación con otras. Las calidades de representación, en relación con la componente 1, estan lideradas por Debt_to_Income_Ratio, mientras que Years_at_Current_Job muestra la menor asociación. Es relevante señalar que en la Dimensión 2 (Dim2), la variable que proporciona una mejor representación en comparación con otra es Credit_Score, mientras Assets_Value tiene una menor representación en esta dimension.
Por ultimo, las Coordenadas Individuales son una herramienta útil, aunque más compleja de interpretar, para identificar los perfiles de los registros, en este caso, los estudiantes, en relación con las dimensiones más relevantes de la retención de variabilidad: las componentes 1 y 2. Por ejemplo, al analizar los registros 1, 3, 7 y 13, se pueden observar similitudes entre los registros 1 y 13, contrastando con las diferencias que presentan con los registros 3 y 7. Esta observación sugiere que los registros 1 y 13 comparten características comunes, mientras que los registros 3 y 7 se comportan de manera distinta, lo que puede ser clave para comprender mejor los perfiles de los estudiantes en función de estas dimensiones.
Circulo de correlaciones
fviz_pca_var(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], scale.unit = T, graph = F),col.var="#3B83BD", repel = T, col.circle = "#CDCDCD", ggtheme = theme_bw())
Matriz de Representación
(get_pca_var(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$cos2## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
## Age 0.2176110439 0.005419224 2.969130e-01 0.083920338
## Income 0.0073442783 0.308066675 1.820042e-03 0.013782986
## Credit_Score 0.0982467695 0.189976270 7.647414e-07 0.158986288
## Loan_Amount 0.0272474464 0.197089255 1.182467e-02 0.359766573
## Years_at_Current_Job 0.0004979271 0.006512683 4.518633e-01 0.281890585
## Debt_to_Income_Ratio 0.3560304216 0.015466873 2.074989e-02 0.040935643
## Assets_Value 0.2970905056 0.160361297 2.703900e-02 0.004337203
## Number_of_Dependents 0.0356627780 0.141960565 2.023138e-01 0.059971571
## Dim.5 Dim.6
## Age 0.04404391 0.006365607
## Income 0.32655774 0.257863670
## Credit_Score 0.20974775 0.120006199
## Loan_Amount 0.15068026 0.120042877
## Years_at_Current_Job 0.01117634 0.092850857
## Debt_to_Income_Ratio 0.05857224 0.001514013
## Assets_Value 0.06606576 0.002925516
## Number_of_Dependents 0.12746488 0.385084152Calidad de Representación
fviz_pca_var(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), col.var="cos2", gradient.cols=c("#00AFBB","#E7B800","#FC4E07"), repel = TRUE)
Coordenadas Individuales
head((PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))$ind$coord, n = 23L)## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5 Dim.6
## 1 0.153916501 1.59766125 -0.63737026 -0.146491338 0.59626444 -0.933081868
## 2 0.632554178 1.73168503 -1.59255010 -0.613045270 -0.14039332 2.020851450
## 3 -1.078155627 -0.92265412 1.42443158 0.707923671 0.19448407 -0.741008219
## 4 0.155866095 -0.60733153 -0.01156569 -1.989200305 0.61763387 0.751457628
## 5 -0.005620852 0.55370632 0.73457454 1.356117857 1.20708693 0.688418630
## 6 -0.685763747 -0.08331275 2.15870029 0.077171047 0.21832262 1.625316439
## 7 -1.573373205 0.15055360 -0.12709907 -0.412193706 -0.33694784 -0.436232594
## 8 0.749231824 0.84294293 -0.02881573 1.066929773 0.80099598 0.839334131
## 9 1.274982930 -0.25632779 -0.37066953 -0.485374172 1.48069690 1.455612634
## 10 0.479696396 -0.58882926 -0.40027256 1.672852601 0.54916010 0.883988052
## 11 -0.258461586 0.53924361 0.94441246 -0.229908871 -0.92779839 0.518548722
## 12 0.705655083 0.54512693 0.08430996 1.961137243 0.15241304 -1.223472883
## 13 0.078159215 -2.02164585 -0.41854809 -0.863517048 -0.60830628 0.004719956
## 14 -0.473503426 0.84658305 -0.12533539 1.509076253 1.14619372 0.569060788
## 15 -0.128403020 -0.82602838 -0.30168150 0.452824998 -1.69056083 0.851743318
## 16 0.149971885 -0.44416999 -0.83984302 1.633415602 -2.31271226 0.657676192
## 17 -0.830899743 -0.08336621 -0.71439599 0.009006314 0.01830713 0.206176503
## 18 0.353949739 1.11008029 0.28822808 0.385070994 -1.27094323 -1.237134534
## 19 0.455676543 -0.35238107 -0.44992805 1.240692133 0.08314529 0.103730097
## 20 1.622523425 0.09064205 -0.22485272 0.322244089 2.03099499 0.957272312
## 21 -2.236776073 0.48908435 0.60156700 -0.140824014 0.47958235 0.863758270
## 22 0.293081762 -0.70903353 -0.47467250 -1.530008948 1.11928404 -0.406691819
## 23 -0.219739124 0.40982277 -0.96746317 -2.377464350 0.28264621 -0.1026600262.4. Contribuciones y Bitplots
Según (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), a partir de las coordenadas obtenidas tras reducir la dimensión de los registros, es posible ubicarlos en un plano de factores para facilitar su análisis e interpretación. En este plano, las variables reducidas representan los componentes principales, que se grafican como ejes, y los valores obtenidos son los puntajes de estos componentes. Como se detalla en el mismo estudio, las distancias entre los puntos definidos por estos puntajes permiten identificar similitudes en los perfiles de las observaciones realizadas. No obstante, los valores similares pueden ocurrir solo en ciertas variables y no necesariamente en todas. Así, se espera que las distancias entre observaciones en el espacio original estén adecuadamente reflejadas en el espacio reducido de componentes.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la sección 1 se demanda definir e interpretar sus componentes principales.
Desarrollo del Análisis
La Matriz de Contribuciones¨ refleja la contribución relativa de cada variable a la explicación de la variabilidad en cada una de las dimensiones principales. Este enfoque permite analizar, por ejemplo, cómo variables como Debt_to_Income_Ratio y Assets_Value presentan una alta contribución en las primeras dimensiones, mientras que variables como Number_of_Dependents y Years_at_Current_Job tienen una menor influencia en la construcción de estos componentes principales.
La navegación a través de las pestañas permite visualizar gráficos y matrices que, junto con los análisis de las secciones anteriores, fortalecen la interpretación de las dimensiones calculadas en el análisis de riesgo financiero. Como se detalló en la sección 2.2., se seleccionaron ocho dimensiones, siendo la primera la que retiene la mayor parte de la variabilidad, lo que indica su alta representatividad en la estructura de los datos. Esta primera dimensión, que concentra el valor propio más alto, sugiere que agrupa una combinación lineal de variables con gran influencia en el análisis. En el círculo de correlaciones de la sección 2.3., se observa que las variables presentan correlaciones positivas con la primera dimensión (\(0\) y \(1\)), colocándose cerca de la frontera del círculo unitario, lo cual denota una fuerte relación entre ellas en este contexto. Esto implica que las variables, en conjunto, configuran un índice que podría interpretarse como un indicador general de solvencia financiera. Sin embargo, variables como Credit_Score , Debt_to_Income_Ratio , Income , Loan_Amount , Number_of_Dependents y Years_at_Current_Job muestran un comportamiento diferenciado en contraste con las demás, sugiriendo la existencia de relaciones específicas entre ciertos factores financieros.
Las pestañas Biplot de Variables y Registros Totales en Gender, Marital_Status, Loan_Purpose y Employment_Status permiten observar, mediante la representación en un plano de factores, cómo se agrupan las observaciones en función de estas categorías. En el caso de Gender, se pueden identificar patrones y relaciones entre los grupos, donde ciertas agrupaciones muestran diferencias en la distribución de las observaciones en el espacio de las dimensiones. De manera similar, en la visualización categorizada por Marital_Status , es posible notar variaciones en las posiciones de las observaciones, lo que sugiere que el estado civil tiene una influencia en la distribución de los datos en el plano. Ambos biplots destacan las relaciones de cada variable en las dos primeras dimensiones, Dim1 y Dim2 , con valores porcentuales de varianza explicada de \(15.7\) \(\%\) y \(14.6\) \(\%\), respectivamente. La disposición de variables como Debt_to_Income_Ratio , Credit_Score y Loan_Amount en estas dimensiones sugiere que estas variables tienen un papel significativo en la configuración de las dimensiones y en la agrupación de observaciones según las categorías analizadas. En el caso de Loan_Purpose , se observa que las diferentes agrupaciones de propósitos de préstamos presentan patrones distintivos de dispersión en el plano, lo que indica que esta variable influye en la distribución de los registros y en su relación con otras variables relevantes. Por ultimo, la categorización por Employment_Status muestra cómo el estado de empleo impacta en la posición de las observaciones en el espacio de factores. Se pueden notar diferencias sutiles en las agrupaciones que corresponden a cada estado de empleo, destacando la relación entre esta variable y las dimensiones principales, con un especial énfasis en Debt_to_Income_Ratio, Assets_Value y Loan_Amount. Ambos gráficos reflejan cómo Dim1 y Dim2 capturan un \(15.7\) \(\%\) y un \(14.6\) \(\%\) de la variabilidad total, respectivamente, lo que permite inferir que, aunque la reducción dimensional conserva una parte de la información relevante, todavía quedan aspectos de las relaciones entre variables por explorar. en dimensiones adicionales.
Matriz de Contribuciones
(get_pca_var(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,19,20)], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F)))$contrib## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## Age 20.47573368 7.270199 16.088899 0.05252381 14.6734196
## Income 10.48908270 9.818335 8.787624 1.11755749 24.0664871
## Credit_Score 1.77166544 20.766397 3.373856 5.64876698 31.4947144
## Loan_Amount 0.13199570 6.079323 19.340087 38.50828865 5.1781250
## Years_at_Current_Job 0.09477194 0.153291 22.760768 51.03387962 0.5064925
## Debt_to_Income_Ratio 11.46908420 22.157696 4.453829 1.47533808 8.7377278
## Assets_Value 14.49730533 12.744638 17.125370 0.08969269 11.3630496
## Number_of_Dependents 10.01404724 16.696363 4.897897 0.13856594 0.9805610
## Previous_Defaults 31.05631376 4.313758 3.171670 1.93538674 2.9994230Biplot de Variables y Registros[filtro: Gender]
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),200),-c(3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]
fviz_pca_biplot(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado[,], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = "Gender"), axes = c(1,2), repel = TRUE, habillage = "Gender")
Biplot de Variables y Registros[filtro: Marital Status]
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),200),-c(2,3,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]
fviz_pca_biplot(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado[,], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = "Marital_Status"), axes = c(1,2), repel = TRUE, habillage = "Marital_Status")
Biplot de Variables y Registros[filtro: Loan Purpose]
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),200),-c(2,3,4,9,11,15,16,17,18,19,20)]
fviz_pca_biplot(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado[,], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = "Loan_Purpose"), axes = c(1,2), repel = TRUE, habillage = "Loan_Purpose")
Biplot de Variables y Registros[filtro: Employment Status]
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),200),-c(2,3,4,8,11,15,16,17,18,19,20)]
fviz_pca_biplot(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado[,], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = "Employment_Status"), axes = c(1,2), repel = TRUE, habillage = "Employment_Status")
Fase 3 [Correspondencias]
3.1. Objetivos
En términos generales, esta tercera etapa de estudio presentará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en las fases 1 y 2,pero ahora desde un enfoque de análisis de correspondencias simples y múltiples sobre las variables cualitativas del estudio de riesgo financiero, que incluirá: construcción de tablas de contingencias y disyuntivas completas, análisis de la calidad de representación, contribuciones relativas e interpretaciones de los resultados obtenidos.
Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo es descrito en la sección 2 y los referentes teóricos en la sección 1.
Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, el dia miercoles 11 de diciembre de 2024.
3.2. Correspondencias Simples
Según el trabajo de (Aldás & Uriel, 2017), el análisis de correspondencias simples (ACS) busca representar en un espacio de pocas dimensiones la relación entre las categorías de un par de variables categóricas. Este enfoque permite observar la distancia entre los niveles de dos variables categóricas, facilitando la visualización de tablas de contingencia. Además, el número máximo de dimensiones que pueden explicar la asociación entre las filas y columnas es uno menos que el número más bajo de categorías en cualquiera de las dos variables.
El análisis de correspondencias, por tanto, permite describir la proximidad entre los perfiles de los elementos observados. El ACS, basado en tablas de contingencia, puede extenderse para analizar más de dos variables categóricas, lo cual se denomina análisis de correspondencias múltiples (ACM), y se fundamenta en una estructura llamada tabla disyuntiva completa.
Esta sección aborda el análisis de correspondencias simples aplicándolo a pares de variables categóricas del conjunto de datos descrito en la sección 2 Por su parte, la seccion 3 presenta el análisis de correspondencias múltiples utilizando las variables categóricas de este mismo conjunto de datos.
Planteamiento del Problema
A partir de las variables cualitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2, se requiere realizar un análisis de correspondencias, comenzando con el análisis simple. Este se apoyará en tablas de contingencia y frecuencias relativas, así como en gráficos de perfiles y de puntos superpuestos en el primer plano factorial.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas permite visualizar matrices y gráficos que refuerzan la interpretación del análisis de correspondencias simples (binario) entre cada par de variables categóricas en el conjunto de datos: Gender, Employment_Status y Loan_Purpose. Aunque la variable Marital_Status también es categórica, hemos decidido no incluirla, ya que consideramos que las otras variables son más relevantes para evaluar el riesgo financiero, aunque puede influir en ciertos patrones de consumo o decisiones financieras, su impacto es generalmente indirecto y menos predecible en comparación con las otras 3 variables. Dado que el número de variables categóricas es bajo, se realiza el análisis de correspondencias simples en las tres combinaciones posibles entre estas variables.
La pestaña AC Parejas Totales agrupa los cálculos para todas las combinaciones de parejas de variables. En particular, en Tablas de Contingencias se hacen las siguientes lecturas a partir de las tablas de contingencia: En la tabla de contingencia Gender vs. Employment_Status se encontró que, de un total de 1910 personas con estatus laboral “0”, 627 son de género “0”, 639 de género “1” y 644 de género “2”. En cuanto a las personas con estatus laboral “1”, que totalizan 1948, 614 son de género “0”, 643 de género “1” y 637 de género “2”. Finalmente, entre las personas con estatus laboral “2”, que suman 1916, 611 son de género “0”, 666 de género “1” y 635 de género “2”. En la tabla de contingencia Gender vs. Loan_Purpose se observó que, de un total de 1852 personas con propósito de préstamo “0”, 448 son de género “0”, 469 de género “1” y 521 de género “2”. Para las 1948 personas con propósito de préstamo “1”, 479 son de género “0”, 462 de género “1” y 477 de género “2”. Por último, entre las 1916 personas con propósito de préstamo “2”, 463 son de género “0”, 493 de género “1” y 433 de género “2”. En la tabla de contingencia Employment_Status vs. Loan_Purpose se puede determinar que, de las 1910 personas con estatus laboral “0”, 457 tienen propósito de préstamo “0”, 471 tienen propósito “1” y 495 tienen propósito “2”. Entre las personas con estatus laboral “1”, que totalizan 1894, 497 tienen propósito de préstamo “0”, 433 tienen propósito “1” y 481 tienen propósito “2”. Finalmente, entre las 1912 personas con estatus laboral “2”, 484 tienen propósito de préstamo “0”, 461 tienen propósito “1” y 501 tienen propósito “2”.
Tomando como base las tablas de contingencia descritas previamente, se presentan en la pestaña Probabilidades las proporciones relativas de los pares de variables examinadas. A continuación, se exponen algunas lecturas representativas: En la tabla de probabilidades Gender vs. Employment_Status, \(10.97\) \(\%\) del total de individuos pertenece al género “0” y posee un estatus laboral “0”; además, el \(11.18\) \(\%\) del total presenta estatus laboral “1” dentro del mismo género, y el \(11.27\) \(\%\) tiene estatus laboral “2” en el mismo grupo. En contraste, el \(11,15\) \(\%\) corresponden a individuos de género “1” con estatus laboral “0”, y el \(11.65\) \(\%\) de este mismo género está en el estatus laboral “2”. En la tabla de probabilidades Gender vs. Loan_Purpose, el \(8.21\) \(\%\) del total corresponde a personas del género “1” cuyo propósito de préstamo es “0”; asimismo, el \(8.38\) \(\%\) de este grupo reporta un propósito de préstamo “1” y el \(8.10\) \(\%\) un propósito “2”. A su vez, en el género “2”, el \(9.17\) \(\%\) tiene propósito de préstamo “1” y el 8,44% corresponde a propósito “2”. Por último, en la tabla de probabilidades Employment_Status vs. Loan_Purpose, el \(8.00\) \(\%\) del total de individuos con estatus laboral “0” reporta un propósito de préstamo “2”; además, el \(8.24\) \(\%\) del estatus “1” tiene un propósito “1”, mientras que el \(8.76\) \(\%\) de los individuos en el estatus laboral “2” presentan propósito de préstamo “2”.
Con base en las tablas de frecuencias condicionadas por filas (CPF) y por columnas (CPC) en la pestaña Frecuencias [CPF y CPC], se presentan los siguientes análisis ejemplares: En la matriz de frecuencias CPF de Gender vs Employment_Status, el \(32.80\) \(\%\) de los individuos de género “1” tiene un estatus laboral “0”; mientras que el \(34.19\) \(\%\) de este grupo posee un estatus laboral “2”. Al observar la misma matriz pero condicionada por columnas, el \(33.01\) \(\%\) de los individuos con estatus laboral “1” pertenece al género “0”, y el \(33.63\) \(\%\) de los individuos en el mismo estatus pertenece al género “2”. En la matriz de frecuencias CPF de Gender vs. Loan_Purpose, el \(24.08\) \(\%\) de los individuos de género “1” tiene propósito de préstamo “0”; además, el \(26.90\) \(\%\) de este grupo presenta un propósito de préstamo “3”. En cuanto a la matriz CPC de estas mismas variables, el \(33.95\) \(\%\) de las personas con propósito de préstamo “2” pertenece al género “1”, mientras que el \(34.83\) \(\%\) está en el género “2”. Finalmente, en la matriz de frecuencias CPF de Employment_Status vs. Loan_Purpose, el \(25.40\) \(\%\) de los individuos con estatus laboral “1” tiene un propósito de préstamo “0”; por otro lado, el \(22,86\) \(\%\) en el mismo estatus tiene un propósito “2”. Según la misma matriz pero condicionada por columnas, el \(31.73\) \(\%\) de las personas con propósito de préstamo “2” poseen estatus laboral “1”, mientras que el \(34.06\) \(\%\) de los individuos en este propósito tiene estatus laboral “2”.
Con base en las matrices de perfiles condicionados por filas y columnas (CPF y CPC) presentadas en la pestaña Perfiles [CPF y CPC] , se exponen los siguientes análisis sobre las distribuciones marginales en los gráficos de perfiles comparados con un perfil promedio, etiquetado como marg. Los perfiles fila y columna que corresponden con las variables Gender y Employment_Status muestran distribuciones marginales relativamente cercanas entre sí. Por ejemplo, en los perfiles fila, la proporción de individuos de género “0” que tienen un estatus laboral “2” es similar al perfil promedio, mientras que en los perfiles columna, la proporción de personas con estatus laboral “1” y género “1” se aproxima también a la distribución marginal. En cuanto a los perfiles fila y columna de las variables *Gender y Loan_Purpose , se observa una cercanía en sus distribuciones marginales. En los perfiles fila, el porcentaje de personas de género “2” con propósito de préstamo “3” es comparable con el promedio, y en los perfiles columna, la proporción de individuos con propósito de préstamo “0” pertenecientes al género “1” mantiene una distribución similar al perfil promedio. Por último, los perfiles fila y columna correspondientes a Employment_Status y Loan_Purpose** presentan cierta variación en las distribuciones marginales. Por ejemplo, en los perfiles fila, la proporción de personas con estatus laboral “0” y propósito de préstamo “2” difiere del promedio, mientras que en los perfiles columna, las personas con propósito de préstamo “3” y estatus laboral “2” muestra una distribución que se aparta del perfil promedio.
Con base en los resultados de las pruebas de hipótesis, se puede anticipar que los pares de variables categóricas Género vs. Employment_Status y Employment_Status vs. Loan_Purpose son independientes. Este juicio se apoya en \(p-valor\) obtenidos en las pruebas de hipótesis, visualizados en la pestaña correspondiente. Para estas pruebas, con un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\), se formularon las siguientes hipótesis:\[H_0: \text {Las variables categóricas son independientes}\] \[H_1: \text {las variables categóricas son dependientes}\] En el caso del par Gender vs. Employment_Status , el \(p-valor\) fue 0.9311, claramente superior al nivel de significancia, lo cual sugiere independencia entre estas variables. Asimismo, para el par Employment_Status vs. Loan_Purpose , el \(p-valor\) de 0.1904 indica que también es razonable asumir independencia. Sin embargo, el par de variables Gender vs. *Loan_Purpose** mostró un \(p-valor\) de 0.0716, que si bien no es menor que el nivel de significancia \(\alpha = 0.05\), se encuentra relativamente cercano, lo cual podría sugerir una posible relación dependiente débil entre estas variables, aunque no lo suficiente como para rechazar \(H_0\). Comparativamente, los valores del estadístico \(\chi^2\) no alcanzaron niveles que indican una dependencia significativa. Por lo tanto, los pares de variables que continuaron en análisis fueron aquellos con los resultados más claros de independencia.
A través de la pestaña AC Pareja Única se despliegan las sub-pestañas relacionadas con el análisis de correspondencias de la pareja de variables seleccionadas, en este caso las variables Employment_Status y Loan_Purpose. En Contingencias y Residuales [ES-LP] (ES: Employment_Status y LP: Loan_Purpose) se pueden observar las tablas de contingencias, valores esperados y residuales para esta pareja de variables. Es posible visualizar que los recuentos observados y los recuentos esperados bajo la hipótesis nula para cada categoría presentan ciertas discrepancias, lo cual sugiere una posible dependencia entre estas variables. En este contexto, los valores “rango_observado” representan los recuentos reales para cada combinación de categoría, mientras que los valores “rango_esperado” son los recuentos proyectados bajo la hipótesis de independencia. Además, el análisis de los residuos de Pearson y los residuos estandarizados revela que las mayores desviaciones en relación con los valores esperados ocurren principalmente en ciertas combinaciones. En particular, el propósito de préstamo en la categoría 2 (con un residual estandarizado de 2.018 en el grupo 0 de Employment_Status) y en la categoría 1 (con un residual estandarizado de -1.785 en el grupo 1 de Employment_Status) muestran desviaciones notables. Estas desviaciones indican que algunas categorías de propósito de préstamo están sobre o subrepresentadas en relación con el estatus de empleo de los solicitantes. Asimismo, en la sub-pestaña Contribuciones [ES-LP] se puede observar que algunas combinaciones específicas contribuyen de manera significativa a la variabilidad total del conjunto, mientras que otras, como la combinación del propósito de préstamo 3 con los diferentes estados de empleo, muestran contribuciones menores y tienen un impacto reducido en la estructura de dependencia del conjunto de datos.
Por último, el resultado definitivo del análisis de correspondencias simple se presenta en la sub-pestaña Correspondencia Simple Unidimensional [ES-LP]. En este apartado, se observa que la primera dimensión captura el \(62.27\) \(\%\) de la variabilidad total, lo cual sugiere una representación adecuada de la relación entre las variables en un solo eje. Esto indica que una interpretación bidimensional no es factible, pero sí es posible realizar una evaluación unidimensional. Al analizar las coordenadas proyectadas, las categorías de la variable Employment_Status y Loan_Purpose se agrupan en diferentes extremos del eje. Por ejemplo, la categoría 2 de Loan_Purpose tiene una alta contribución a la primera dimensión, en contraste con las categorías 0 y 1, que presentan una contribución más equilibrada entre ambas dimensiones. Asi mismo, las contribuciones y los valores de coseno cuadrado reflejan la relevancia de cada categoría en la formación de la dimensión principal. Las categorías con mayores contribuciones son aquellas que aportan significativamente a la varianza unidimensional. Esto nos permite interpretar asociaciones relevantes: categorías que están en un mismo lado del eje sugieren una relación positiva, mientras que aquellas en extremos opuestos reflejan asociaciones negativas. En conclusion, el análisis unidimensional revela patrones significativos de relación entre las variables Employment_Status y Loan_Purpose, proporcionando una representación simplificada que destaca las contribuciones clave y las asociaciones dominantes en el conjunto de datos.
Dado que la representación gráfica bidimensional fue irrealizable, se presenta en la sección 3.3. el análisis de correspondencias múltiples para lograrla.
Analisis de correspondencias Parejas Totales
Tablas de contingencia
addmargins(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))##
## E U S Sum
## M 627 614 611 1852
## H 639 643 666 1948
## N 644 637 635 1916
## Sum 1910 1894 1912 5716addmargins(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))##
## P H A B Sum
## M 448 479 463 462 1852
## H 469 462 493 524 1948
## N 521 477 433 485 1916
## Sum 1438 1418 1389 1471 5716addmargins(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))##
## P H A B Sum
## E 457 471 495 487 1910
## U 481 497 433 483 1894
## S 500 450 461 501 1912
## Sum 1438 1418 1389 1471 5716Probabilidades
addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)))*100##
## E U S Sum
## M 10.96921 10.74178 10.68929 32.40028
## H 11.17915 11.24913 11.65150 34.07978
## N 11.26662 11.14416 11.10917 33.51994
## Sum 33.41498 33.13506 33.44997 100.00000addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)))*100##
## P H A B Sum
## M 7.837649 8.379986 8.100070 8.082575 32.400280
## H 8.205038 8.082575 8.624913 9.167250 34.079776
## N 9.114766 8.344997 7.575227 8.484955 33.519944
## Sum 25.157453 24.807558 24.300210 25.734780 100.000000addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)))*100##
## P H A B Sum
## E 7.995101 8.240028 8.659902 8.519944 33.414976
## U 8.414976 8.694892 7.575227 8.449965 33.135059
## S 8.747376 7.872638 8.065080 8.764871 33.449965
## Sum 25.157453 24.807558 24.300210 25.734780 100.000000Frecuencias [CPF y CPC]
round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status), 1)*100, 2), 2)##
## E U S Sum
## M 33.86 33.15 32.99 100.00
## H 32.80 33.01 34.19 100.00
## N 33.61 33.25 33.14 100.00round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status), 2)*100, 1), 2)##
## E U S
## M 32.83 32.42 31.96
## H 33.46 33.95 34.83
## N 33.72 33.63 33.21
## Sum 100.00 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), 1)*100, 2), 2)##
## P H A B Sum
## M 24.19 25.86 25.00 24.95 100.00
## H 24.08 23.72 25.31 26.90 100.00
## N 27.19 24.90 22.60 25.31 100.00round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), 2)*100, 1), 2)##
## P H A B
## M 31.15 33.78 33.33 31.41
## H 32.61 32.58 35.49 35.62
## N 36.23 33.64 31.17 32.97
## Sum 100.00 100.00 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), 1)*100, 2), 2)##
## P H A B Sum
## E 23.93 24.66 25.92 25.50 100.00
## U 25.40 26.24 22.86 25.50 100.00
## S 26.15 23.54 24.11 26.20 100.00round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), 2)*100, 1), 2)##
## P H A B
## E 31.78 33.22 35.64 33.11
## U 33.45 35.05 31.17 32.83
## S 34.77 31.73 33.19 34.06
## Sum 100.00 100.00 100.00 100.00Perfiles [CPF y CPC]
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status),"row")
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status),"col")
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose),"row")
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose),"col")
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose),"row")
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose),"col")
#### Pruebas de Hipótesis
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)
## X-squared = 0.85365, df = 4, p-value = 0.9311chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)
## X-squared = 11.597, df = 6, p-value = 0.0716chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)
## X-squared = 8.7131, df = 6, p-value = 0.1904Analisis de correspondencias Pareja Unica
Contingencias y Residuales [ES-LP]
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$observed##
## P H A B
## E 457 471 495 487
## U 481 497 433 483
## S 500 450 461 501chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$expected ##
## P H A B
## E 480.5073 473.8244 464.134 491.5343
## U 476.4822 469.8551 460.246 487.4167
## S 481.0105 474.3205 464.620 492.0490chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$residuals##
## P H A B
## E -1.0723921 -0.1297509 1.4327107 -0.2045184
## U 0.2069703 1.2522919 -1.2700107 -0.2000553
## S 0.8658374 -1.1167003 -0.1679428 0.4035228chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$stdres##
## P H A B
## E -1.5191164 -0.1833728 2.0180081 -0.2908381
## U 0.2925731 1.7661160 -1.7850928 -0.2838953
## S 1.2268399 -1.5786119 -0.2366137 0.5739859Contribuciones [ES-LP]
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$residuals^2/chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$statistic*100##
## P H A B
## E 13.1988054 0.1932181 23.5583262 0.4800562
## U 0.4916356 17.9985911 18.5115226 0.4593330
## S 8.6039929 14.3120100 0.3237054 1.8688033Correspondencia Simple Unidimensional [ES-LP]
CA(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), graph = FALSE)$eig## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.0009492368 62.27219 62.27219
## dim 2 0.0005750981 37.72781 100.00000CA(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), graph = FALSE)$col## $coord
## Dim 1 Dim 2
## P -0.0239972648 -0.027838656
## H -0.0257674903 0.036514090
## A 0.0513055316 0.005201914
## B -0.0001475291 -0.012896296
##
## $contrib
## Dim 1 Dim 2
## P 1.526215e+01 33.901682
## H 1.735217e+01 57.512606
## A 6.738510e+01 1.143390
## B 5.900666e-04 7.442323
##
## $cos2
## Dim 1 Dim 2
## P 0.4262980231 0.57370198
## H 0.3324401535 0.66755985
## A 0.9898244927 0.01017551
## B 0.0001308484 0.99986915
##
## $inertia
## [1] 3.398418e-04 4.954671e-04 6.462197e-04 4.280626e-05CA(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), graph = FALSE)$row## $coord
## Dim 1 Dim 2
## E 0.0377448699 0.01681775
## U -0.0377884226 0.01718671
## S -0.0002727139 -0.03382507
##
## $contrib
## Dim 1 Dim 2
## E 50.151330994 16.43369
## U 49.846048195 17.01889
## S 0.002620812 66.54741
##
## $cos2
## Dim 1 Dim 2
## E 8.343573e-01 0.1656427
## U 8.285993e-01 0.1714007
## S 6.499935e-05 0.9999350
##
## $inertia
## [1] 0.0005705647 0.0005710323 0.00038273783.3. Correspondencias Múltiples
Siguiendo el trabajo de (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), se plantea que el Análisis de Correspondencias Simples (ACS) puede extenderse desde el uso de tablas de contingencia hacia tablas disyuntivas completas. Estas últimas organizan en sus filas los objetos estudiados y en sus columnas las modalidades de las variables categóricas de interés. De esta manera, el Análisis de Correspondencias Múltiples (ACM) se entiende como una extensión del ACS, aplicado específicamente a tablas disyuntivas completas. En el contexto del ACM, cada variable categórica clasifica a los objetos de una población asignándoles una modalidad que permite particionarlos de manera exclusiva y exhaustiva.
Esta sección desarrolla el ACM como una extensión necesaria para superar las limitaciones del ACS expuestas en la sección 3.2, donde se evidenció que la representación unidimensional de los datos no era adecuada para proyectar las relaciones entre variables categóricas que cumplían con la hipótesis de dependencia. Por tanto, el tratamiento conjunto de todas las variables categóricas a través del ACM busca obtener una representación clara en el primer plano factorial, facilitando una interpretación más completa y robusta.
Planteamiento del Problema
A partir de las variables cualitativas descritas en la sección 2, se plantea realizar un análisis de correspondencias múltiples con el objetivo de obtener una representación gráfica en el primer plano factorial. Esto se justifica debido a las limitaciones del análisis de correspondencias simples, el cual no permitió alcanzar dicha representación de manera adecuada.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos matriciales y gráficos que ayudan a desarrollar e interpretar el análisis de correspondencias múltiple (ACM) entre las variables categóricas del conjunto de datos descrito en la sección 2.
En el análisis de correspondencias múltiples, el ACM realizado con las variables categóricas seleccionadas del conjunto de datos Gender, Marital Status, Loan Purpose, Employment Status, Payment History y Risk Rating, los resultados evidencian una distribución uniforme de la varianza entre las dimensiones. Esto se refleja en los valores propios (eigenvalues) obtenidos, donde las primeras dimensiones presentan porcentajes de varianza explicada muy bajos, como un \(0.58%\) para la primera dimensión y un acumulado de apenas \(6.70%\) para las primeras 12 dimensiones. Este patrón destaca la alta multidimensionalidad del conjunto de datos y sugiere que no hay una concentración significativa de la varianza en las primeras dimensiones. Por lo tanto, la interpretación del ACM requiere un análisis del espacio multidimensional completo, dado que las relaciones entre los perfiles de las variables categóricas no pueden ser representadas adecuadamente en pocas dimensiones. Además, se optó por no incluir las variables City, State y Country en este análisis debido al elevado número de categorías que presentan. Incluirlas habría incrementado la complejidad del modelo, dificultando su manejo y la interpretación de los resultados en un conjunto de datos tan extenso. Estos hallazgos contrastan con el análisis de componentes principales ACP realizado en la sección 3.2, donde la unidimensionalidad del espacio latente facilitaba la interpretación. En cambio, el ACM subraya la necesidad de explorar una mayor cantidad de dimensiones para comprender adecuadamente la estructura del conjunto de datos.
En la pestaña Biplot ACM se presentan las relaciones entre perfiles de individuos, representados por puntos azules, y las categorías de las variables, indicadas en rojo. Las posiciones en el gráfico están determinadas por las coordenadas respecto a las dimensiones principales, Dim1 y Dim2, que explican respectivamente el 0.6% y el 0.6% de la varianza total. Esto sugiere que las dos primeras dimensiones capturan una proporción muy pequeña de la variabilidad en los datos, lo que limita la interpretación de las asociaciones en este plano bidimensional. Sin embargo, se pueden observar ciertos patrones relevantes: algunas categorías de las variables muestran una proximidad a grupos específicos de individuos, indicando posibles asociaciones entre ellos. Por ejemplo, se identifican grupos cercanos a determinadas categorías, lo que permite visualizar vínculos entre los perfiles y sus características. Es importante considerar que gran parte de la variabilidad no está representada en este gráfico, y podría requerirse el análisis de dimensiones adicionales para comprender completamente las relaciones en el conjunto de datos.
La pestaña Calidad de Representación ACM resalta las categorías mejor representadas dentro del análisis de correspondencias múltiples (ACM). Según el gráfico, las categorías de las variables que están más alejadas del origen del plano factorial presentan una mayor calidad de representación, ya que sus coordenadas están mejor definidas en las dimensiones principales. Por otro lado, las categorías ubicadas cerca del origen indican una baja calidad de representación, lo que refleja que no están bien representadas en este espacio reducido.El gradiente de colores, que va desde azul hasta naranja, ilustra visualmente los valores de calidad de representación, medidos por el coeficiente cos2. Las categorías más relevantes están asociadas con valores altos de cos2, mientras que las de menor relevancia tienen valores bajos, siendo identificadas con colores cercanos al naranja. Este comportamiento refuerza que las dimensiones seleccionadas capturan de manera desigual la varianza de ciertas categorías.
La pestaña Contribuciones muestra cómo las categorías aportan a las cinco primeras dimensiones del plano factorial, destacando patrones relevantes en características financieras, demográficas y ocupacionales. En la Dimensión 1, las categorías más influyentes incluyen Auto, Female, y Unemployed, seguidas de Male, Employed, y Poor, todas por encima de la línea media de contribución. Estas categorías reflejan una combinación de características demográficas y financieras. En contraste, valores como ciertas categorías numéricas tienen menor impacto, quedando por debajo de la línea de referencia. En la Dimensión 2, sobresalen categorías relacionadas con calificaciones y estados laborales, como Fair, Excellent, y Personal, así como aspectos residenciales y personales, como Home y Widowed. Por otro lado, algunas categorías numéricas presentan contribuciones menores, indicando una influencia reducida en esta dimensión. La Dimensión 3 está dominada por contribuciones de categorías demográficas como Non-binary, Divorced, y Widowed, que destacan por encima de la línea media. También aportan significativamente variables financieras y de género, como Auto, High, y Female, mientras que otras categorías numéricas muestran una menor relevancia. En la Dimensión 4, las principales categorías incluyen Male y Non-binary, seguidas de Self-employed, Good, y Employed, que reflejan características ocupacionales y demográficas. Sin embargo, categorías como Poor, Married, y ciertos valores numéricos quedan por debajo del umbral medio de contribución. Finalmente, en la Dimensión 5, destacan principalmente Poor y High, que representan condiciones económicas y superan significativamente la línea de referencia. También contribuyen categorías como Home, Divorced, y Self-employed, mientras que otras categorías numéricas aportan de manera limitada.
La pestaña Biplot con Contribuciones muestra la distribución de las categorías de las variables en los dos primeros ejes factoriales, Dim1 (0.6%) y Dim2 (0.6%), indicando la variabilidad explicada por cada dimensión. Las flechas y etiquetas representan las categorías, mientras que el color gradiente de las mismas (del azul al rojo) señala su contribución relativa a la formación de estos ejes, siendo el rojo los valores con mayor contribución.
ACM
round(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE)$eig,2)## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.18 0.58 0.58
## dim 2 0.18 0.58 1.16
## dim 3 0.18 0.57 1.74
## dim 4 0.18 0.57 2.31
## dim 5 0.17 0.57 2.87
## dim 6 0.17 0.56 3.43
## dim 7 0.17 0.55 3.99
## dim 8 0.17 0.55 4.54
## dim 9 0.17 0.55 5.08
## dim 10 0.17 0.55 5.63
## dim 11 0.17 0.54 6.17
## dim 12 0.16 0.53 6.70
## dim 13 0.16 0.53 7.23
## dim 14 0.16 0.53 7.76
## dim 15 0.16 0.53 8.29
## dim 16 0.14 0.47 8.76
## dim 17 0.14 0.47 9.22
## dim 18 0.14 0.47 9.69
## dim 19 0.14 0.47 10.15
## dim 20 0.14 0.47 10.62
## dim 21 0.14 0.47 11.08
## dim 22 0.14 0.47 11.55
## dim 23 0.14 0.47 12.01
## dim 24 0.14 0.47 12.48
## dim 25 0.14 0.47 12.94
## dim 26 0.14 0.47 13.41
## dim 27 0.14 0.47 13.87
## dim 28 0.14 0.47 14.34
## dim 29 0.14 0.47 14.80
## dim 30 0.14 0.47 15.27
## dim 31 0.14 0.47 15.73
## dim 32 0.14 0.47 16.20
## dim 33 0.14 0.47 16.66
## dim 34 0.14 0.47 17.13
## dim 35 0.14 0.47 17.59
## dim 36 0.14 0.47 18.06
## dim 37 0.14 0.47 18.52
## dim 38 0.14 0.47 18.99
## dim 39 0.14 0.47 19.45
## dim 40 0.14 0.47 19.92
## dim 41 0.14 0.47 20.38
## dim 42 0.14 0.47 20.85
## dim 43 0.14 0.47 21.31
## dim 44 0.14 0.47 21.78
## dim 45 0.14 0.47 22.24
## dim 46 0.14 0.47 22.71
## dim 47 0.14 0.47 23.17
## dim 48 0.14 0.47 23.64
## dim 49 0.14 0.47 24.10
## dim 50 0.14 0.47 24.57
## dim 51 0.14 0.47 25.03
## dim 52 0.14 0.47 25.50
## dim 53 0.14 0.47 25.97
## dim 54 0.14 0.47 26.43
## dim 55 0.14 0.47 26.90
## dim 56 0.14 0.47 27.36
## dim 57 0.14 0.47 27.83
## dim 58 0.14 0.47 28.29
## dim 59 0.14 0.47 28.76
## dim 60 0.14 0.47 29.22
## dim 61 0.14 0.47 29.69
## dim 62 0.14 0.47 30.15
## dim 63 0.14 0.47 30.62
## dim 64 0.14 0.47 31.08
## dim 65 0.14 0.47 31.55
## dim 66 0.14 0.47 32.01
## dim 67 0.14 0.47 32.48
## dim 68 0.14 0.47 32.94
## dim 69 0.14 0.47 33.41
## dim 70 0.14 0.47 33.87
## dim 71 0.14 0.47 34.34
## dim 72 0.14 0.47 34.80
## dim 73 0.14 0.47 35.27
## dim 74 0.14 0.47 35.73
## dim 75 0.14 0.47 36.20
## dim 76 0.14 0.47 36.66
## dim 77 0.14 0.47 37.13
## dim 78 0.14 0.47 37.59
## dim 79 0.14 0.47 38.06
## dim 80 0.14 0.47 38.52
## dim 81 0.14 0.47 38.99
## dim 82 0.14 0.47 39.45
## dim 83 0.14 0.47 39.92
## dim 84 0.14 0.47 40.38
## dim 85 0.14 0.47 40.85
## dim 86 0.14 0.47 41.31
## dim 87 0.14 0.47 41.78
## dim 88 0.14 0.47 42.24
## dim 89 0.14 0.47 42.71
## dim 90 0.14 0.47 43.17
## dim 91 0.14 0.47 43.64
## dim 92 0.14 0.47 44.10
## dim 93 0.14 0.47 44.57
## dim 94 0.14 0.47 45.03
## dim 95 0.14 0.47 45.50
## dim 96 0.14 0.47 45.97
## dim 97 0.14 0.47 46.43
## dim 98 0.14 0.47 46.90
## dim 99 0.14 0.47 47.36
## dim 100 0.14 0.47 47.83
## dim 101 0.14 0.47 48.29
## dim 102 0.14 0.47 48.76
## dim 103 0.14 0.47 49.22
## dim 104 0.14 0.47 49.69
## dim 105 0.14 0.47 50.15
## dim 106 0.14 0.47 50.62
## dim 107 0.14 0.47 51.08
## dim 108 0.14 0.47 51.55
## dim 109 0.14 0.47 52.01
## dim 110 0.14 0.47 52.48
## dim 111 0.14 0.47 52.94
## dim 112 0.14 0.47 53.41
## dim 113 0.14 0.47 53.87
## dim 114 0.14 0.47 54.34
## dim 115 0.14 0.47 54.80
## dim 116 0.14 0.47 55.27
## dim 117 0.14 0.47 55.73
## dim 118 0.14 0.47 56.20
## dim 119 0.14 0.47 56.66
## dim 120 0.14 0.47 57.13
## dim 121 0.14 0.47 57.59
## dim 122 0.14 0.47 58.06
## dim 123 0.14 0.47 58.52
## dim 124 0.14 0.47 58.99
## dim 125 0.14 0.47 59.45
## dim 126 0.14 0.47 59.92
## dim 127 0.14 0.47 60.38
## dim 128 0.14 0.47 60.85
## dim 129 0.14 0.47 61.31
## dim 130 0.14 0.47 61.78
## dim 131 0.14 0.47 62.24
## dim 132 0.14 0.47 62.71
## dim 133 0.14 0.47 63.17
## dim 134 0.14 0.47 63.64
## dim 135 0.14 0.47 64.10
## dim 136 0.14 0.47 64.57
## dim 137 0.14 0.47 65.03
## dim 138 0.14 0.47 65.50
## dim 139 0.14 0.47 65.97
## dim 140 0.14 0.47 66.43
## dim 141 0.14 0.47 66.90
## dim 142 0.14 0.47 67.36
## dim 143 0.14 0.47 67.83
## dim 144 0.14 0.47 68.29
## dim 145 0.14 0.47 68.76
## dim 146 0.14 0.47 69.22
## dim 147 0.14 0.47 69.69
## dim 148 0.14 0.47 70.15
## dim 149 0.14 0.47 70.62
## dim 150 0.14 0.47 71.08
## dim 151 0.14 0.47 71.55
## dim 152 0.14 0.47 72.01
## dim 153 0.14 0.47 72.48
## dim 154 0.14 0.47 72.94
## dim 155 0.14 0.47 73.41
## dim 156 0.14 0.47 73.87
## dim 157 0.14 0.47 74.34
## dim 158 0.14 0.47 74.80
## dim 159 0.14 0.47 75.27
## dim 160 0.14 0.47 75.73
## dim 161 0.14 0.47 76.20
## dim 162 0.14 0.47 76.66
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## dim 164 0.14 0.47 77.59
## dim 165 0.14 0.47 78.06
## dim 166 0.14 0.47 78.52
## dim 167 0.14 0.47 78.99
## dim 168 0.14 0.47 79.45
## dim 169 0.14 0.47 79.92
## dim 170 0.14 0.47 80.38
## dim 171 0.14 0.47 80.85
## dim 172 0.14 0.47 81.31
## dim 173 0.14 0.47 81.78
## dim 174 0.14 0.47 82.24
## dim 175 0.14 0.47 82.71
## dim 176 0.14 0.47 83.17
## dim 177 0.14 0.47 83.64
## dim 178 0.14 0.47 84.10
## dim 179 0.14 0.47 84.57
## dim 180 0.14 0.47 85.03
## dim 181 0.14 0.47 85.50
## dim 182 0.14 0.47 85.97
## dim 183 0.14 0.47 86.43
## dim 184 0.14 0.47 86.90
## dim 185 0.14 0.47 87.36
## dim 186 0.14 0.47 87.83
## dim 187 0.14 0.47 88.29
## dim 188 0.14 0.47 88.76
## dim 189 0.14 0.47 89.22
## dim 190 0.14 0.47 89.69
## dim 191 0.14 0.47 90.15
## dim 192 0.14 0.47 90.62
## dim 193 0.14 0.47 91.08
## dim 194 0.14 0.47 91.55
## dim 195 0.14 0.47 92.01
## dim 196 0.14 0.47 92.48
## dim 197 0.14 0.47 92.94
## dim 198 0.14 0.47 93.41
## dim 199 0.14 0.47 93.87
## dim 200 0.14 0.47 94.34
## dim 201 0.12 0.40 94.74
## dim 202 0.12 0.40 95.14
## dim 203 0.12 0.39 95.53
## dim 204 0.12 0.39 95.93
## dim 205 0.12 0.39 96.31
## dim 206 0.12 0.38 96.70
## dim 207 0.12 0.38 97.08
## dim 208 0.12 0.38 97.46
## dim 209 0.11 0.37 97.83
## dim 210 0.11 0.37 98.20
## dim 211 0.11 0.37 98.57
## dim 212 0.11 0.36 98.93
## dim 213 0.11 0.36 99.29
## dim 214 0.11 0.36 99.65
## dim 215 0.11 0.35 100.00Biplot ACM
fviz_mca_biplot(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), repel = TRUE)
Calidad de Representación ACM
fviz_mca_var(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), col.var ="cos2", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
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## 7240 9.364112e-04
## 7250 6.152868e-05
## 7260 1.355946e-03
## 7270 1.189079e-04
## 7280 2.165901e-03
## 7290 8.120668e-03
## 7300 4.842575e-04
## 7310 8.553941e-05
## 7320 3.775102e-04
## 7330 2.463184e-04
## 7340 4.798114e-04
## 7350 2.982073e-03
## 7360 9.298579e-04
## 7370 9.096763e-04
## 7380 1.609652e-03
## 7390 1.133766e-03
## 7400 1.719299e-04
## 7410 6.384955e-05
## 7420 3.573375e-03
## 7430 2.937207e-03
## 7440 6.778374e-03
## 7450 5.865847e-03
## 7460 1.943580e-02
## 7470 2.414731e-04
## 7480 1.120381e-02
## 7490 1.244764e-02
## 7500 8.682818e-05
## 7510 5.499070e-04
## 7520 6.586823e-03
## 7530 5.190847e-03
## 7540 1.110851e-03
## 7550 4.301295e-03
## 7560 1.198567e-04
## 7570 3.229732e-03
## 7580 1.835212e-03
## 7590 1.342125e-04
## 7600 3.338276e-03
## 7610 4.184698e-03
## 7620 2.660299e-03
## 7630 1.386268e-04
## 7640 8.983556e-05
## 7650 2.485234e-03
## 7660 9.662962e-03
## 7670 3.790395e-08
## 7680 1.090921e-04
## 7690 1.317045e-06
## 7700 3.608736e-03
## 7710 2.277528e-03
## 7720 5.132320e-06
## 7730 1.044840e-04
## 7740 5.902360e-04
## 7750 3.528297e-03
## 7760 1.822888e-03
## 7770 1.237309e-02
## 7780 2.749060e-03
## 7790 1.121063e-02
## 7800 1.736188e-03
## 7810 2.494810e-03
## 7820 4.208041e-03
## 7830 1.668075e-04
## 7840 1.507276e-03
## 7850 8.751308e-03
## 7860 5.665897e-04
## 7870 5.580082e-04
## 7880 1.306631e-05
## 7890 1.536211e-03
## 7900 4.056998e-03
## 7910 1.260881e-04
## 7920 2.602894e-03
## 7930 8.055999e-04
## 7940 9.323776e-05
## 7950 6.338949e-04
## 7960 5.385592e-05
## 7970 2.103521e-03
## 7980 2.681245e-03
## 7990 4.567953e-03
## Credit_Score.NA 2.087998e-03
## Auto 9.270369e-03
## Business 4.548917e-03
## Home 6.138732e-02
## Personal 6.838743e-03
## Employed 2.373642e-03
## Self-employed 4.974542e-02
## Unemployed 2.974515e-02
## Excellent 4.044153e-02
## Fair 1.177318e-02
## Good 3.979637e-02
## Poor 2.656326e-01
## High 1.770570e-01
## Low 8.274428e-03
## Medium 3.054957e-02Contribuciones
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 1, top = 15)
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 2, top = 15)
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 3, top = 15)
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 4, top = 15)
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 5, top = 15)
Biplot con Contribuciones
fviz_mca_var(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), col.var ="contrib", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
Fase 4 [Conglomerados]
4.1. Objetivos
En términos generales, esta cuarta etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en las fases 1, 2 y 3, pero ahora desde un enfoque de análisis de conglomerados en versión jerárquica (dendogramas) y no-jerárquica (K-medias).
Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo está descrito en la sección 2 y los referentes teóricos en la sección 1.
Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, el dia miercoles 11 de diciembre de 2024.
4.2. Agrupación Jerárquica
Según (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), quienes se refieren al trabajo de Everitt (1980) titulado Cluster Analysis , describen los conglomerados como áreas continuas dentro de un espacio que contienen una alta concentración de puntos, separados entre sí por regiones con una baja concentración de puntos. Para identificar estas áreas, se han propuesto métodos como los jerárquicos. Estos comienzan calculando una matriz de distancias entre los objetos a analizar, formando grupos mediante un proceso de aglomeración. Este proceso empieza con conglomerados individuales (el caso inicial trivial) y avanza hasta formar un único conglomerado total (el caso final trivial). Durante este proceso, se realizan fusiones y divisiones de grupos, estableciendo jerarquías basadas en las similitudes entre los objetos, que pueden representarse gráficamente mediante un dendograma.
Planteamiento del Problema
A partir de las variables cuantitativas descritas en la sección 2 , se solicita realizar un análisis de conglomerados utilizando agrupaciones jerárquicas representadas mediante dendogramas. Esto implica clasificar los objetos de estudio empleando métodos aglomerativos como el del vecino más cercano, el más lejano y el método de unión por promedio, todos basados en la distancia euclidiana.
Desarrollo del Análisis
El uso de las pestañas facilita la visualización de matrices y gráficos que apoyan el desarrollo y la interpretación del análisis de conglomerados entre las variables cuantitativas mencionadas en la sección 2.
Con el propósito de analizar el conjunto de datos relacionados con riesgos financieros de forma más precisa, y exclusivamente con fines académicos, se realizaron varias modificaciones al conjunto inicial. No fue necesario agregar una variable categórica artificial, ya que se utilizó la variable existente State , que registra el estado de residencia de las personas incluidas en el conjunto de datos. Este campo sirvió como clasificador para los análisis posteriores. En cuanto a las modificaciones adicionales, todas las variables cuantitativas del conjunto fueron estandarizadas en una escala de \(0\) a \(1\), lo que permitió homogeneizar las unidades de medida y facilitar el análisis comparativo entre variables. Posteriormente, se aplicó un filtro que segmentó los datos por la variable State , calculándose los promedios de las variables cuantitativas para cada estado registrado. El resultado de esta transformación puede observarse en la tabla generada en la pestaña Campo Clasificador, donde se detallan los primeros registros del conjunto procesado. Finalmente, la estructura del conjunto de datos modificado, con las primeras observaciones y variables relevantes, está documentada en la pestaña Conjunto Modificado, lo que permitió llevar a cabo un análisis de cabo más específicos y enfocados. Esta transformación asegura la coherencia y validez del conjunto para estudios de riesgo financiero y análisis de conglomerados en este contexto.
La pestaña Disimilaridad visualiza las distancias entre las categorías de la variable clasificadora State utilizando una escala de colores. En el gráfico de calor, se observan distancias entre los registros de los estados, donde los tonos más intensos (naranjas) indican mayores niveles de disimilaridad, mientras que los tonos más claros (azules) reflejan menor disimilaridad o mayor proximidad entre las observaciones. Por ejemplo, los estados como MN (Minnesota) , NV (Nevada) y UT (Utah) destacan por tener valores significativamente distantes respecto a otros registros, sugiriendo que estas categorías podrían formar conglomerados separados en un análisis jerárquico. En contraste, estados como CA (California) , TX (Texas) y AZ (Arizona) muestran menores diferencias entre sí, lo que podría anticipar su agrupación en conglomerados cercanos. El patrón general del gráfico refuerza la importancia de considerar estas distancias al analizar los conglomerados o al interpretar las jerarquías propias de las categorías, especialmente al evaluar las características financieras asociadas a cada estado.
La pestaña Optimización de Mojena presenta, de forma separada, el número óptimo de conglomerados jerárquicos que se deben formar para maximizar los resultados en términos de similitud interna y diferencia entre grupos. Según la estrategia del vecino más cercano (Unión Simple), el número ideal de conglomerados es ocho. De manera similar, la estrategia del vecino más lejano (Unión Completa) también sugiere ocho conglomerados, mientras que la estrategia de Unión Promedio propone siete. Cada uno de estos números de conglomerados se vincula con su correspondiente dendrograma para su representación visual.
Efectivamente, en la pestaña Dendogramas Optimizados se avalan gráficamente las menciones hechas en el párrafo sobre Disimilaridad]. Por ejemplo, en el gráfico de calor se destacan distancias significativas entre estados como MN (Minnesota), NV (Nevada) y UT (Utah), lo que anticipa su agrupación en conglomerados separados. En contraste, los estados CA (California), TX (Texas) y AZ (Arizona) muestran menores diferencias, reflejadas en su proximidad jerárquica en los dendogramas. En el Enlace Simple, se observa que los conglomerados definidos a un nivel de similitud de aproximadamente \(2.3\) presentan distancias de aglomeración muy cercanas, lo que dificulta discernir claramente los conglomerados finales. Este método es menos eficiente para separar categorías con disimilaridades intermedias, como NV y UT, ya que sus distancias se encuentran en niveles cercanos al corte horizontal. Por otro lado, el Enlace Completo y el Enlace Promedio ofrecen jerarquías más robustas al presentar distancias de aglomeración más altas. En el Enlace Completo, a un nivel de similitud cercano a \(5.0\), se identifican tres conglomerados formados por 10, 3 y 15 observaciones, contadas de izquierda a derecha. Este método resulta especialmente útil para diferenciar categorías como MN y UT, que aparecen en conglomerados separados debido a sus altas disimilaridades. En el Enlace Promedio a un nivel de similitud superior a \(4.0\), se visualizan cuatro conglomerados compuestos por 5, 2, 8 y 13 observaciones. Este enfoque intermedio equilibra la influencia de los valores extremos, facilitando la interpretación de los grupos. En ambos casos, si los dendogramas se cortan a niveles más altos de similitud, resultan menos conglomerados con mayores niveles de cohesión interna. Sin embargo, si los cortes se realizan a niveles más bajos, se obtienen conglomerados más numerosos con menor cohesión interna. Este balance confirma la relevancia del cálculo del número óptimo de conglomerados y refuerza la importancia de las distancias jerárquicas visualizadas previamente en la pestaña Disimilaridad.
Campo Clasificador
head(as.data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio))## Age_S01 Income_S01 Credit_Score_S01 Loan_Amount_S01
## 1 0.4475082 0.5846002 0.4731470 0.5104364
## 2 0.4475329 0.4904005 0.5302336 0.4331823
## 3 0.5048504 0.4722020 0.4617297 0.5070442
## 4 0.4887513 0.5127132 0.4736842 0.5517793
## 5 0.4943553 0.5064458 0.4900259 0.5437277
## 6 0.5142253 0.5266021 0.4748251 0.5029244
## Years_at_Current_Job_S01 Debt_to_Income_Ratio_S01 Assets_Value_S01
## 1 0.4682018 0.2776738 0.4839538
## 2 0.5263158 0.2624266 0.4574593
## 3 0.4686981 0.2300861 0.4730387
## 4 0.4914127 0.2907474 0.4760897
## 5 0.4832536 0.2745279 0.5038857
## 6 0.4262126 0.3119492 0.4669428
## Number_of_Dependents_S01 State
## 1 0.4947917 AK
## 2 0.4725275 AL
## 3 0.4657895 AR
## 4 0.5078947 AS
## 5 0.4974747 AZ
## 6 0.4926471 CAConjunto Modificado
head(as.data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio))## Age_S01 Income_S01 Credit_Score_S01 Loan_Amount_S01
## 1 0.4475082 0.5846002 0.4731470 0.5104364
## 2 0.4475329 0.4904005 0.5302336 0.4331823
## 3 0.5048504 0.4722020 0.4617297 0.5070442
## 4 0.4887513 0.5127132 0.4736842 0.5517793
## 5 0.4943553 0.5064458 0.4900259 0.5437277
## 6 0.5142253 0.5266021 0.4748251 0.5029244
## Years_at_Current_Job_S01 Debt_to_Income_Ratio_S01 Assets_Value_S01
## 1 0.4682018 0.2776738 0.4839538
## 2 0.5263158 0.2624266 0.4574593
## 3 0.4686981 0.2300861 0.4730387
## 4 0.4914127 0.2907474 0.4760897
## 5 0.4832536 0.2745279 0.5038857
## 6 0.4262126 0.3119492 0.4669428
## Number_of_Dependents_S01 State
## 1 0.4947917 AK
## 2 0.4725275 AL
## 3 0.4657895 AR
## 4 0.5078947 AS
## 5 0.4974747 AZ
## 6 0.4926471 CADisimilaridad
data_ = as.data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio)[, -c(9)]
rownames(data_) = unclass(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio$State)
fviz_dist(get_dist(data_, stand = T, method = "euclidean"), gradient = list(low = "#00AFBB", mid = "white", high = "#FC4E07"))
Optimización de Mojena
Unión Simple
hc_single = hclust(get_dist(data_, stand = T, method = "euclidean"), method = "single")
mojena = function(hc){
n_hd = length(hc$height)
alp_g = 0 ; alpha = hc$height[n_hd:1]
for(i in 1:(n_hd-1)){
alp_g[i] = mean(alpha[(n_hd-i+1):1])+1.25*sd(alpha[(n_hd-i+1):1])
}
nog = sum(alp_g<= alpha[-n_hd]) + 1
plot(alpha[-n_hd], pch=20, col=(alp_g>alpha[-n_hd])+1, main = paste("Optimal number of groups =",nog),
ylab = expression(alpha[g]), xlab="Nodes")}
mojena(hc_single)
Unión Completa
hc_complete = hclust(get_dist(data_, stand = T, method = "euclidean"), method = "complete")
mojena = function(hc){
n_hd = length(hc$height)
alp_g = 0 ; alpha = hc$height[n_hd:1]
for(i in 1:(n_hd-1)){
alp_g[i] = mean(alpha[(n_hd-i+1):1])+1.25*sd(alpha[(n_hd-i+1):1])
}
nog = sum(alp_g<= alpha[-n_hd]) + 1
plot(alpha[-n_hd], pch=20, col=(alp_g>alpha[-n_hd])+1, main = paste("Optimal number of groups =",nog),
ylab = expression(alpha[g]), xlab="Nodes")}
mojena(hc_complete)
Unión Promedio
hc_average = hclust(get_dist(data_, stand = T, method = "euclidean"), method = "average")
mojena = function(hc){
n_hd = length(hc$height)
alp_g = 0 ; alpha = hc$height[n_hd:1]
for(i in 1:(n_hd-1)){
alp_g[i] = mean(alpha[(n_hd-i+1):1])+1.25*sd(alpha[(n_hd-i+1):1])
}
nog = sum(alp_g<= alpha[-n_hd]) + 1
plot(alpha[-n_hd], pch=20, col=(alp_g>alpha[-n_hd])+1, main = paste("Optimal number of groups =",nog),
ylab = expression(alpha[g]), xlab="Nodes")}
mojena(hc_average)
Dendogramas Optimizados
Enlace Simple
suppressWarnings(fviz_dend(hc_single, k = 3, cex = 0.5, k_colors = "npg", color_labels_by_k = T, rect = T))
Enlace Completo
fviz_dend(hc_complete, k = 3, cex = 0.5, k_colors = "npg", color_labels_by_k = T, rect = T)
4.3. Agrupación No-Jerárquica
En el trabajo de (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012), se explica que los métodos de agrupamiento no jerárquicos, o de partición, se basan en la definición inicial de una partición del conjunto de datos. Esta partición genera subconjuntos, a los que se les calcula sus respectivos centroides. Luego, cada observación se asigna al conglomerado cuyo centroide esté más próximo. Posteriormente, se recalculan los centroides de los conglomerados, y el proceso se repite de manera iterativa. Este procedimiento continúa hasta que las observaciones no cambien de conglomerado. A diferencia de los métodos jerárquicos, en este enfoque una observación puede cambiar de grupo a lo largo del proceso.
En este estudio, el método no jerárquico que se aplicará al conjunto de datos será el de K-medias. Este método organiza un conjunto de objetos \(n\) en \(k\) grupos, seleccionando los centroides que minimizan la distancia euclidiana entre los objetos y sus respectivos centroides. Cada objeto se asigna al grupo cuyo centroide esté más cerca, con el objetivo de redistribuir las observaciones en grupos que presenten la menor variabilidad posible.
Planteamiento del Problema
Utilizando las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2, se solicita realizar un análisis de conglomerados empleando el método no jerárquico de K-medias. Además, se debe generar una representación gráfica de las agrupaciones, distinguiendo cada grupo mediante codigos de colores.
Desarrollo del Análisis
La navegación entre las pestañas facilita la visualización de matrices y gráficos que apoyan el desarrollo e interpretación del análisis de conglomerados basado en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2.
Como el método de K-medias requiere la especificación del número de conglomerados que se generarán, resulta indispensable determinarlo previamente y que además sea el mejor posible. A través de la pestaña K-óptimos se accede a las sub-pestañas de resultado de los cálculos de K-óptimos con base en los métodos de codo (Elbow), silueta (Silhouette), brecha (Gap) y mayoría (Majority Rule). En el metodo de codo (Elbow), se observa que el número óptimo de conglomerados es 3. Este resultado fue determinado al identificar el punto en el que la disminución del Total Within Sum of Square (variación total dentro de los grupos) comienza a estabilizarse, indicando que tres agrupamientos logran minimizar la variabilidad interna de manera eficiente. En el método de silueta (Silhouette), se evaluó la calidad de los agrupamientos mediante el ancho promedio de la silueta. El gráfico generado indica que el número óptimo de conglomerados es 7, ya que en este punto se alcanza el valor máximo del ancho promedio, lo que sugiere una mejor cohesión y separación entre los grupos. En el método de brecha (Gap Statistic), se determinó el número óptimo de conglomerados al maximizar la estadística de brecha, lo que indica que la estructura del agrupamiento está claramente separada de una distribución aleatoria uniforme. Según el gráfico generado, el número óptimo de conglomerados es 1. En el método de mayoría (Majority Rule), al analizar las combinaciones de número de conglomerados y medidas de distancia, se determinó que el número óptimo es 2, según los gráficos presentados. El gráfico de la izquierda muestra una disminución constante en los valores del índice Dindex conforme aumenta el número de conglomerados, mientras que el gráfico de la derecha presenta las segundas diferencias de Dindex, con fluctuaciones que respaldan esta elección del número óptimo de conglomerados. Por consiguiente, el análisis de conglomerados continuó con la representación gráfica de los agrupamientos utilizando dos y tres conglomerados como referencia. En la pestaña Resultados K-means, se presentan los resultados para estos números óptimos de agrupamientos, incluyendo las cantidades de observaciones, las ubicaciones de los centroides de los conglomerados, el vector de agrupamiento y la medida de la calidad de la clasificación (cohesión interna en relación con la separación externa). Cabe destacar que esta medida es más cercana a uno cuando se emplea un modelo basado en tres conglomerados.
Por ultimo, la pestaña Gráficos K-means presenta los resultados de los conglomerados utilizando dos y tres como números óptimos de agrupamientos. En el plano factorial, que explica una fracción significativa de la variabilidad de los datos, se observa cómo los agrupamientos se redistribuyen al pasar de tres a dos centroides. En este caso, la reasignación de conglomerados muestra que el grupo representado por el conglomerado 3 (en el modelo con tres agrupamientos) es absorbido por los otros dos clusters cuando se utiliza el número óptimo de dos conglomerados. Este comportamiento respalda la elección de dos conglomerados como óptimos, dado que la cohesión interna mejora considerablemente sin afectar de forma significativa la separación externa. Además, esta redistribución refleja una mayor homogeneidad dentro de los conglomerados, al tiempo que conserva una estructura clara entre ellos. Sin embargo, algunos puntos específicos podrían requerir un análisis más detallado, como casos particulares que podrían afectar la calidad general de los agrupamientos. En este sentido, podría considerarse la implementación de métodos alternativos, como el método de K-medioides, para manejar posibles valores atípicos y refinar la estructura de los conglomerados.
K-óptimos
Elbow
fviz_nbclust(data_, kmeans, method = "wss") + geom_vline(xintercept = 3, linetype = 2)
Silhouette
fviz_nbclust(data_, kmeans, method = "silhouette")
Gap Statistic
fviz_nbclust(data_, kmeans, method = "gap_stat")
Majority Rule
suppressWarnings(NbClust(data = data_, diss = NULL, distance = "euclidean", min.nc = 2, max.nc = 10, method = "kmeans")$Best.nc)
## *** : The Hubert index is a graphical method of determining the number of clusters.
## In the plot of Hubert index, we seek a significant knee that corresponds to a
## significant increase of the value of the measure i.e the significant peak in Hubert
## index second differences plot.
## 
## *** : The D index is a graphical method of determining the number of clusters.
## In the plot of D index, we seek a significant knee (the significant peak in Dindex
## second differences plot) that corresponds to a significant increase of the value of
## the measure.
##
## *******************************************************************
## * Among all indices:
## * 5 proposed 2 as the best number of clusters
## * 5 proposed 3 as the best number of clusters
## * 5 proposed 4 as the best number of clusters
## * 1 proposed 7 as the best number of clusters
## * 1 proposed 8 as the best number of clusters
## * 4 proposed 9 as the best number of clusters
## * 2 proposed 10 as the best number of clusters
##
## ***** Conclusion *****
##
## * According to the majority rule, the best number of clusters is 2
##
##
## *******************************************************************## KL CH Hartigan CCC Scott Marriot TrCovW TraceW
## Number_clusters 4.0000 3.0000 3.000 2.0000 4.0000 4 3.0000 3.0000
## Value_Index 5.7457 9.1207 3.389 30.8126 65.5731 0 0.0015 0.0273
## Friedman Rubin Cindex DB Silhouette Duda PseudoT2
## Number_clusters 8.0000 4.0000 9.0000 9.0000 9.0000 2.0000 2.0000
## Value_Index 805.8636 -13.2702 0.0534 1.3884 0.1567 1.0615 -2.2025
## Beale Ratkowsky Ball PtBiserial Frey McClain Dunn Hubert
## Number_clusters 2.0000 4.0000 3.0000 9.0000 1 2.000 10.0000 0
## Value_Index -0.2965 0.2695 0.0992 0.3728 NA 0.927 0.2874 0
## SDindex Dindex SDbw
## Number_clusters 7.0000 0 10.0000
## Value_Index 31.2287 0 0.4737Resultados K-means
K-óptimo [2]
set.seed(780728)
print(kmeans(data_, 3, nstart = 25))## K-means clustering with 3 clusters of sizes 18, 18, 23
##
## Cluster means:
## Age_S01 Income_S01 Credit_Score_S01 Loan_Amount_S01
## 1 0.5064384 0.4810460 0.5236553 0.5095294
## 2 0.5192197 0.5190187 0.4903232 0.4826620
## 3 0.4838052 0.5055550 0.4833118 0.5111958
## Years_at_Current_Job_S01 Debt_to_Income_Ratio_S01 Assets_Value_S01
## 1 0.5153132 0.3132892 0.5107434
## 2 0.4768521 0.2837819 0.4991628
## 3 0.4958140 0.2709542 0.4941901
## Number_of_Dependents_S01
## 1 0.4876934
## 2 0.5410808
## 3 0.4775994
##
## Clustering vector:
## AK AL AR AS AZ CA CO CT DC DE FL FM GA GU HI IA ID IL IN KS KY LA MA MD ME MH
## 3 3 3 3 3 2 1 3 2 1 2 3 3 2 3 3 1 3 1 2 2 1 3 1 2 2
## MI MN MO MP MS MT NC ND NE NH NJ NM NV NY OH OK OR PA PR PW RI SC SD TN TX UT
## 1 2 2 1 3 3 3 3 2 2 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1 1 3 3 1
## VA VI VT WA WI WV WY
## 2 3 3 1 3 2 1
##
## Within cluster sum of squares by cluster:
## [1] 0.1109560 0.1322336 0.1378429
## (between_SS / total_SS = 26.0 %)
##
## Available components:
##
## [1] "cluster" "centers" "totss" "withinss" "tot.withinss"
## [6] "betweenss" "size" "iter" "ifault"K-óptimo [Elb 3]
set.seed(780728)
print(kmeans(data_, 4, nstart = 25))## K-means clustering with 4 clusters of sizes 9, 23, 12, 15
##
## Cluster means:
## Age_S01 Income_S01 Credit_Score_S01 Loan_Amount_S01
## 1 0.5062208 0.5079704 0.5272131 0.4853036
## 2 0.4884697 0.5064671 0.4765460 0.5151145
## 3 0.5201846 0.5112646 0.4757491 0.4774781
## 4 0.5037573 0.4848852 0.5302213 0.5114563
## Years_at_Current_Job_S01 Debt_to_Income_Ratio_S01 Assets_Value_S01
## 1 0.5117274 0.2522187 0.4659432
## 2 0.4846276 0.2852048 0.5015279
## 3 0.4795687 0.2837169 0.5124259
## 4 0.5170593 0.3163297 0.5111294
## Number_of_Dependents_S01
## 1 0.5021593
## 2 0.4782760
## 3 0.5528631
## 4 0.4899055
##
## Clustering vector:
## AK AL AR AS AZ CA CO CT DC DE FL FM GA GU HI IA ID IL IN KS KY LA MA MD ME MH
## 2 1 2 2 2 2 4 2 1 4 3 2 1 3 2 2 4 2 4 3 3 4 2 4 3 3
## MI MN MO MP MS MT NC ND NE NH NJ NM NV NY OH OK OR PA PR PW RI SC SD TN TX UT
## 4 3 1 4 2 2 2 2 1 3 1 4 4 3 2 2 3 4 1 4 2 4 4 1 2 1
## VA VI VT WA WI WV WY
## 3 2 2 2 2 3 4
##
## Within cluster sum of squares by cluster:
## [1] 0.04516011 0.14007747 0.07692528 0.08388211
## (between_SS / total_SS = 32.8 %)
##
## Available components:
##
## [1] "cluster" "centers" "totss" "withinss" "tot.withinss"
## [6] "betweenss" "size" "iter" "ifault"Gráficos K-means
K-óptimo [Sil_Ma_Rul_2]
fviz_cluster(kmeans(data_, 3, nstart = 25), data = data_, palette = c("#2E9FDF", "#00AFBB", "#E7B800", "#E7B801"), ellipse.type = "euclid", star.plot = TRUE, repel = TRUE, ggtheme = theme_minimal()
)
K-óptimo [Elb_3]
fviz_cluster(kmeans(data_, 2, nstart = 25), data = data_, palette = c("#2E9FDF", "#00AFBB", "#E7B800", "#E7B801"), ellipse.type = "euclid", star.plot = TRUE, repel = TRUE, ggtheme = theme_minimal()
)
Fase 5 [Analisis de regresion]
5.1. Objetivos
En términos generales, este estudio establecerá la relación entre dos o más variables a través de la obtención de información sobre una de ellas con base en el conocimiento de los valores de las demás. La relación que se establecerá entre ellas es de naturaleza no-determinística; es decir, se formularán relaciones probabilísticas y procedimientos para hacer inferencias sobre los modelos usados en este estudio, a la vez que se obtienen medidas cuantitativas del grado en el que las variables están relacionadas. Los modelos estudiados pueden verse como casos especialies del modelo lineal generalizado: Regresión Lineal Simple, Regresión Lineal Múltiple y Regresión Logística.
Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, el dia miercoles 11 de diciembre de 2024.
5.2. Regresión Lineal Simple
Este modelo, que a partir de ahora se denominará como RLS, está compuesto por dos variables: una predictora y otra respuesta. Específicamente, la variable \(Y\) se considera influida por la variable predictora \(x\). La relación entre estas variables está descrita por la ecuación: \[Y = \beta_0 + \beta_1x + \varepsilon (1)\] Donde:
- \(Y\): Variable respuesta, de naturaleza aleatoria.
- \(x\): Variable predictora, de naturaleza no aleatoria.
- \(\varepsilon\): Término de error aleatorio, que representa desviaciones no observables.
- \(\beta_0\) y \(\beta_1\): Parámetros reales desconocidos.
En contraste con un modelo lineal determinístico (\(y = \beta_0 + \beta_1x\)), el modelo probabilístico asume que la variable \(Y\), para un valor fijo de \(x\), difiere de su valor esperado en una cantidad aleatoria \(\varepsilon\). Además, este término de error sigue una distribución normal con:\(E(\varepsilon) = 0 \quad \text{y} \quad V(\varepsilon) = \sigma^2.\)
La relación entre la variable independiente y la variable dependiente en el modelo de regresión lineal simple debe cumplir ciertas suposiciones clave para que los resultados sean válidos. Estas son las siguientes: 1. La relación entre la variable independiente \(x\) y la variable dependiente \(Y\) debe ser lineal. 2. El término de error \(ε\) sigue una distribución normal y tiene una media igual a cero. 3. Las observaciones deben ser independientes entre sí, es decir, el valor de \(Y\) para un dato no influye en los valores de \(Y\) para otros datos. 4. La varianza del término de error \(ε\) debe ser constante para todos los valores de la variable independiente \(x\), una condición conocida como homocedasticidad. La varianza de \(\varepsilon\) es constante para todos los valores de \(x\).
Para estimar los parámetros desconocidos (\(\beta_0\), \(\beta_1\) y \(\sigma^2\)), se usa el método de mínimos cuadrados, que busca minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales entre los puntos observados y la línea de regresión:Resolviendo este problema, las estimaciones de los parámetros son: \[\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2},(2)\] \[\quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}. (3)\]
Aquí, \(\bar{x}\) y \(\bar{y}\) son las medias muestrales de \(x\) e \(y\), respectivamente. Para hacer los cálculos que las ecuaciones anteriores demandan es necesario reducir al mínimo los efectos de redondeo. También, antes de calcular \(β^1\) y \(β^0\) se debe examir gráficamente el conjunto de datos por usar para percibir la factibilidad de uso de un modelo probabilístico lineal, es decir, si gráficamente los puntos están lejos de tender a aglomerarse en torno a una línea recta con aproximadamente el mismo grado de dispersión de todas las \(xi\), entonces deben ser indagados otros modelos. Es indispensable mencionar que la línea de mínimos cuadrados debe usarse restringidamente para predecir valores de \(x\) lejanos del rango de los datos, porque la relación ajustada puede carecer de validez para ellos. Ahora, el parámetro \(σ^2\)que determina la cantidad de variabilidad es inherente en el modelo de regresión descrito: su valor conducirá a establecer que los valores observados estarán dispersos en mayor o menor medida en torno a la línea de regresión verdadera. Así, los residuos \(yi−yi^\) son las desviaciones verticales con respecto a la línea estimada. Si todos los residuos son pequeños comparados con cero, entonces la variabilidad de los valores \(y\) observados se debería en una elevada medida a la relación lineal entre \(x\) y \(y\), mientras que si los residuos son grandes comparados con cero, entonces queda sugerida una variabilidad inherente en \(y\) con respecto a la cantidad debida a la relación lineal. Así, la estimación de \(σ^2\) en un análisis de regresión está basada en el cálculo de la suma de cuadrados residuales (o suma de cuadrados del error SCE) que se reduce a: \[SCE = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - \hat{\beta}_0 \sum_{i=1}^{n} y_i - \hat{\beta}_1 \sum_{i=1}^{n} x_i y_i. (4)\] \[σ^2=s^2=\frac{SCE}{n-2}. (5)\] Si se ha entendido que la cantidad \(SCE\) establece una medida de cuánta variación de \(y\) es inexplicada por el modelo; es decir, sin atribución a la relación lineal, se entenderá también que existe otra cantidad llamada la suma total de los cuadrados \(STC\), que permite obtener una medida de la cantidad de variación total en los valores \(y\) observados:\[STC = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} y_i \right)^2}{n} (6)\] Si se formula la razón \(\frac{SCE}{STC}\), se calcula la proporción de variación total inexplicada por el modelo de regresión lineal simple; por lo tanto, se llega a la definición del coeficiente de determinación \(r^2\): \[r^2 = 1 - \frac{SCE}{STC} (7)\] que se interpreta como la proporción de variación \(y\) observada que puede ser explicada por el modelo de regresión lineal simple; es decir, aquella atribuida a una relación lineal aproximada entre \(x\) y \(y\): mientras más cercano a 1 sea \(r^2\), más exitoso es el modelo de regresión lineal simple al explicar la variación de \(y\).
Una forma alternativa de calcular el coeficiente de determinación se basa en la suma de cuadrados debida a la regresión \(SCR\) (o al modelo de regresión \(SCM\)), que es la cantidad de variación total que es explicada por el modelo. Con base en ella el coeficiente de determinación se expresa como: \[r^2 = 1 - \frac{SCE}{STC} = \frac{STC - SCE}{STC} = \frac{SCR}{STC}.(8)\]
Como se sabe, cualquier cantidad calculada a partir de datos muestrales varía de una cantidad a otra. En este sentido, los procedimientos inferenciales estandarizan un estimador restando su valor medio y luego dividiéndolo entre su desviación estándar estimada. En particular, para un modelo supuesto de regresión lineal simple se implica que las variables estándares:\[t_{(n-2)} = \frac{\hat{\beta}_0 - \beta_0}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}}}\] \[t_{(n-2)} = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_1}{\sigma \sqrt{\frac{1}{S_{xx}}}}\]
tienen distribuciones \(t\) con \(n - 2\) grados de libertad. De esto se deduce que los intervalos de confianza de \(100 \cdot (1 - \alpha)\%\) para la pendiente \(\beta_1\) y el intercepto \(\beta_0\) de la línea de regresión verdadera son: \[\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \sigma \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}} (9)\] \[\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \sigma \sqrt{\frac{1}{S_{xx}}} (10)\] Estos intervalos están centrados en la estimación puntual de cada parámetro y la cantidad abarcada a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado y de la cantidad de variabilidad del estimador.
Dado lo anterior, para los procedimientos de prueba de hipótesis, y como se procede habitualmente, las hipótesis nulas respecto a los $$ del modelo de regresión lineal simple serán enunciados de igualdad. Los valores nulos para \(\beta_1\) y \(\beta_1\) se representan respectivamente como \(\beta_{00}\) (“beta cero cero”) y \(\beta_{10}\) (“beta uno cero”). Además, como los estadísticos de prueba tienen distribuciones \(t\) con \(n - 2\) grados de libertad cuando \(H_0\) es verdadera, la probabilidad de error Tipo I permanece al nivel deseado \(\alpha\) usando un valor crítico \(t\) adecuado. Así, las hipótesis comúnmente usadas para \(\beta_0\) son: \[H_0: \beta_0 = \beta_{00} (11)\] \[H_1: \beta_0 \neq \beta_{00} (12)\] cuyo estadístico de prueba es: \[t_{(n-2)} = \frac{\hat{\beta}_0 - \beta_{00}}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}}} (13)\] y para \(\beta_1\) son: \[H_0: \beta_1 = \beta_{10} (14)\] \[H_1: \beta_1 \neq \beta_{10} (15)\] cuyo estadístico de prueba es: \[t_{(n-2)} = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{10}}{\sigma \sqrt{\frac{1}{S_{xx}}}} (16)\]
El par de hipótesis definidas por (14), (15) y (16) se conoce como la prueba de utilidad del modelo de regresión lineal simple, donde:
- La región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1 > \beta_{10}\) es \(t \geq t_{\alpha, n-2}\).
- La región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1 < \beta_{10}\) es \(t \leq -t_{\alpha, n-2}\).
- La región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1 \neq \beta_{10}\) es \(t \leq -t_{\alpha/2, n-2}\) o \(t \geq t_{\alpha/2, n-2}\).
Además, se sabe que la prueba de utilidad del modelo de regresión simple puede ser probada con una tabla ANOVA, rechazando \(H_0\) si \(f \geq F_{\alpha, 1, n-2}\). La prueba \(F\) da exactamente el mismo resultado que la prueba \(t\) de utilidad del modelo de regresión lineal simple.
Por último, se entiende que en un modelo de regresión lineal simple un valor futuro de \(Y\) no es un parámetro, sino una variable aleatoria, por lo que se debe hacer referencia a un intervalo de valores factibles para un valor futuro de \(Y\), al cual se le llama intervalo de predicción. Cuando se predice con base en el modelo de regresión lineal simple, el error de predicción es:\(Y - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x^*)\) que corresponde con una diferencia entre dos variables aleatorias, por lo que, en comparación con una estimación, habrá más incertidumbre en ese. Por lo tanto, un intervalo de predicción será más ancho que un intervalo de confianza. Además, a partir de la varianza del error de predicción se puede establecer que la variable estandarizada: \[T = \frac{Y - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x^*)}{S \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x^* - \bar{x})^2}{S_{xx}}}} (17)\] tiene una distribución \(t\) con \(n - 2\) grados de libertad, a partir de la cual se obtiene un intervalo de predicción de \(\( 100 \cdot (1 - \alpha)\% \)\) para una observación \(\( Y \)\) futura que se hará cuando \(x = x^*\) igual a: \[\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x^* \pm t_{n-2, \alpha/2} \cdot s \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x^* - \bar{x})^2}{S_{xx}}} (18)\]
La interpretación del nivel de predicción de \(100 \cdot (1 - \alpha)\%\) establece que al usar (18) repetidamente, los intervalos resultantes contendrán los valores \(y\) observados el \(100 \cdot (1 - \alpha)\%\) del tiempo.
Además, el número \(1\) en la raíz cuadrada hace que el intervalo de predicción sea más ancho que intervalos de confianza como (9) y (10). Asimismo, a medida que \(n \to \infty\), el ancho del intervalo no tiende a cero, porque la incertidumbre en la predicción será permanente, incluso al tener conocimiento perfecto sobre \(\beta_0\) y \(\beta_1\).
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se formulará un modelo de regresión lineal simple para estudiar la relación lineal supuesta entre las varaibles definidas por los campos: Income (variable dependiente) y Credit_Score (variable independiente).
Desarrollo del Análisis
Resumen estadístico de las variables por estudiar
El estudio de regresión lineal simple ha sido procesado con R version 4.2.2 (2022-10-31 ucrt) mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.
La navegación a través de las pestañas presenta un análisis estadístico de las variables Income (variable independiente) y Credit Score (variable dependiente), junto con sus correspondientes diagramas de caja. Además, incluye el diagrama de dispersión de las dos variables y los gráficos de dispersión total que exploran relaciones con variables adicionales del conjunto de datos.
En la pestaña Resumen de Income, se observa que la variable Income presenta una distribución simétrica, sin valores atípicos. Su rango intercuartílico es amplio (444,928 a 960,038) y la mediana se ubica en 704,430, muy próxima al promedio (701,904), lo cual refleja una distribución equilibrada con ligera tendencia hacia la concentración de datos en el rango superior. Por otro lado, en la pestaña Resumen de Credit Score, la variable Credit Score también muestra simetría en su distribución, sin outliers. Su rango intercuartílico está comprendido entre 6,500 y 7,480, con una mediana de 7,000, lo que sugiere que los valores están distribuidos uniformemente, con ligeros agrupamientos hacia el extremo superior.
En el Diagrama de Dispersión Income vs. Credit Score, se puede observar una relación débil entre las variables Income y Credit Score, ya que los puntos no presentan un patrón claro o lineal, lo cual indica que la dependencia entre ambas variables podría ser insignificante en términos de correlación. Finalmente, en los Diagramas Totales de Dispersión, se visualizan las relaciones entre múltiples variables del conjunto de datos, destacando que algunas combinaciones, como la interacción entre Debt to Income Ratio y Loan Amount, podrían ofrecer mayores patrones de dependencia lineal o no lineal comparadas con Income y Credit Score.
Resumen de Income
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 200140 444928 704430 701904 960038 1199780boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, main = "Diagrama de Caja de Income", col = c("orange"))
Resumen de Credit Score
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 6000 6500 7000 6991 7480 7990boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score, main = "Diagrama de Caja de Credit Score", col = c("orange"))
Diagrama de Dispersion Income vs. Credit_Score
plot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score, main = "Income vs. Credit Score")
Diagramas Totales de Dispersion
pairs(~Age + Credit_Score + Loan_Amount + Years_at_Current_Job + Debt_to_Income_Ratio + Income + Number_of_Dependents + Assets_Value, data = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado)
Formulación del modelo de RLS entre las variables de estudio
La navegación a través de las pestañas presenta los coeficientes del modelo de regresión lineal simple, su resumen estadístico y su tabla ANOVA. En este caso, las variables de interés son: Income (variable dependiente) y Credit Score (variable independiente).
En la pestaña Coeficientes del Modelo RLS, se establece que el modelo de regresión lineal simple tiene la formulación:\[\hat{\text{Income}} = 668396.3 + 4.7927 \cdot \text{Credit Score}. (19)\]. En este modelo, el intercepto \(668396.3\) indica el nivel estimado de Income cuando Credit Score es igual a cero. Sin embargo, esta interpretación carece de sentido práctico, dado que un Credit Score de cero no es plausible. Por otro lado, el coeficiente \(4.7927\) sugiere una relación positiva muy débil entre las variables, indicando un aumento estimado de apenas 4.79 unidades de Income por cada incremento de una unidad en Credit Score.
En la pestaña Resumen Estadístico del Modelo RLS, se evidencia que, a pesar de la dirección positiva del coeficiente, este no es estadísticamente significativo (\(p-valor = 0.48\)), lo que implica que no hay suficiente evidencia para afirmar que Credit Score influye en Income en este contexto. Adicionalmente, el coeficiente de determinación (\(R^2\)) es extremadamente bajo (0.0087 %), indicando que la variabilidad en Income prácticamente no es explicada por Credit Score.
Finalmente, en la pestaña Tabla ANOVA para el Modelo RLS, se confirma que el modelo carece de significancia global (\(p\)-valor = 0.4798), reforzando la idea de que Credit Score no explica de manera significativa las variaciones en Income.
En conclusión, el modelo de regresión lineal simple propuesto no resulta adecuado para predecir Income en función de Credit Score, dada la débil relación entre ambas variables y la falta de significancia estadística en los resultados.
Coeficientes del Modelo RLS
modelo_RL_Simple = lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score)
coef(modelo_RL_Simple)## (Intercept)
## 6.683963e+05
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score
## 4.792721e+00Resumen Estadistico del Modelo RLS
summary(modelo_RL_Simple)##
## Call:
## lm(formula = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -506530 -257839 2869 257907 500068
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value
## (Intercept) 6.684e+05 4.757e+04 14.051
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 4.793e+00 6.782e+00 0.707
## Pr(>|t|)
## (Intercept) <2e-16 ***
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 0.48
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 291500 on 5714 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 8.74e-05, Adjusted R-squared: -8.759e-05
## F-statistic: 0.4995 on 1 and 5714 DF, p-value: 0.4798Tabla ANOVA para el Modelo RLS
anova(modelo_RL_Simple)## Analysis of Variance Table
##
## Response: cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income
## Df Sum Sq Mean Sq
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1 4.2442e+10 4.2442e+10
## Residuals 5714 4.8555e+14 8.4976e+10
## F value Pr(>F)
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 0.4995 0.4798
## ResidualsAnálisis del modelo RLS
La navegación a través de las pestañas permite observar el intervalo de confianza para \(B1\) y las predicciones del modelo de regresión lineal simple, ambos calculados al 95 %. Las variables de interés analizadas en este caso son Income (variable dependiente) y Credit Score (variable independiente).
El análisis del modelo de regresión lineal simple muestra que no es significativo, lo que implica que el modelo no proporciona suficiente evidencia para estimar Income a partir de Credit Score. Esto se debe a que el intervalo de confianza para el coeficiente de Credit Score (\(B1\)) incluye al cero: \[−8.50≤B1≤18.09 (20)\]
Por último, en la pestaña Predicciones y sus Intervalos de Predicción se presentan las estimaciones para la variable Income basadas en el modelo, junto con los intervalos de predicción al 95 % para todas las observaciones del conjunto de datos. Es importante destacar que estos intervalos de predicción son considerablemente más anchos que los intervalos de confianza al mismo nivel de significancia, lo que refleja la incertidumbre adicional asociada con las variaciones de los datos individuales en comparación con las estimaciones de los parámetros del modelo.
Este análisis sugiere que se requiere un modelo más robusto o la inclusión de variables adicionales para mejorar la capacidad predictiva del modelo.
Intervalo de Confianza para B1
confint(modelo_RL_Simple, level = 0.95)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) 575143.830684 761648.82802
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score -8.501791 18.08723Predicciones y sus Intervalores de Prediccion
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,5716)), interval='prediction', level = 0.95)## fit lwr upr
## 1 699165.6 127602.1 1270729
## 2 706354.7 134708.3 1278001
## 3 702376.7 130862.2 1273891
## 4 698159.1 126551.8 1269766
## 5 701945.4 130432.4 1273458
## 6 703143.6 131620.2 1274667
## 7 702185.0 130671.5 1273699
## 8 705492.0 133892.3 1277092
## 9 699596.9 128048.1 1271146
## 10 700747.2 129225.2 1272269
## 11 703383.2 131855.5 1274911
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## 5716 698255.0 126652.4 1269858Predicciones y sus Intervalos de Confianza
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,5716)), interval='confidence', level = 0.95)## fit lwr upr
## 1 699165.6 688450.4 709880.8
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## 5635 703383.2 694782.2 711984.2
## 5636 706067.1 692264.3 719869.9
## 5637 701082.7 693188.5 708976.8
## 5638 699501.1 689424.1 709578.1
## 5639 704198.0 694316.8 714079.1
## 5640 704773.1 693796.3 715749.8
## 5641 706258.8 692008.1 720509.5
## 5642 698973.9 687875.4 710072.3
## 5643 705252.4 693276.5 717228.2
## 5644 698398.8 686084.1 710713.4
## 5645 698015.3 684844.9 711185.8
## 5646 704245.9 694278.6 714213.2
## 5647 699788.6 690220.5 709356.8
## 5648 706546.4 691613.5 721479.3
## 5649 697584.0 683417.0 711751.0
## 5650 700315.8 691567.7 709064.0
## 5651 699117.7 688307.9 709927.5
## 5652 699357.3 689012.2 709702.4
## 5653 703958.3 694491.6 713425.0
## 5654 703335.3 694796.9 711873.7
## 5655 697679.9 683737.0 711622.7
## 5656 705539.9 692935.3 718144.5
## 5657 697631.9 683577.2 711686.6
## 5658 704773.1 693796.3 715749.8
## 5659 699213.5 688592.2 709834.9
## 5660 704389.7 694157.9 714621.4
## 5661 700747.2 692536.1 708958.3
## 5662 697296.4 682448.7 712144.2
## 5663 700267.9 691452.1 709083.7
## 5664 702185.0 694586.2 709783.8
## 5665 697871.6 684372.5 711370.6
## 5666 704102.1 694390.1 713814.1
## 5667 700651.3 692332.8 708969.9
## 5668 703766.6 694610.2 712923.0
## 5669 705156.5 693385.7 716927.3
## 5670 704293.8 694239.3 714348.3
## 5671 699405.2 689150.5 709660.0
## 5672 702137.1 694550.8 709723.4
## 5673 698494.6 686388.8 710600.4
## 5674 704245.9 694278.6 714213.2
## 5675 702041.2 694473.0 709609.5
## 5676 705492.0 692993.5 717990.5
## 5677 705683.7 692757.7 718609.7
## 5678 703670.8 694661.8 712679.7
## 5679 701178.5 693356.9 709000.1
## 5680 703718.7 694636.7 712800.7
## 5681 703718.7 694636.7 712800.7
## 5682 702424.6 694729.1 710120.2
## 5683 698302.9 685777.3 710828.5
## 5684 700891.0 692827.3 708954.6
## 5685 699788.6 690220.5 709356.8
## 5686 705444.1 693051.2 717836.9
## 5687 705683.7 692757.7 718609.7
## 5688 698590.5 686691.2 710489.8
## 5689 699213.5 688592.2 709834.9
## 5690 701657.8 694068.5 709247.1
## 5691 699549.0 689559.5 709538.6
## 5692 697679.9 683737.0 711622.7
## 5693 699788.6 690220.5 709356.8
## 5694 704245.9 694278.6 714213.2
## 5695 706642.2 691479.4 721805.1
## 5696 699740.7 690090.5 709391.0
## 5697 699980.4 690728.7 709232.0
## 5698 697967.4 684687.9 711247.0
## 5699 700220.0 691335.0 709105.0
## 5700 703910.4 694523.1 713297.6
## 5701 698638.4 686841.5 710435.3
## 5702 699165.6 688450.4 709880.8
## 5703 697871.6 684372.5 711370.6
## 5704 697248.5 682286.2 712210.8
## 5705 702568.4 694788.1 710348.8
## 5706 706115.0 692200.8 720029.2
## 5707 705300.3 693221.0 717379.5
## 5708 700363.8 691681.8 709045.7
## 5709 702903.9 694852.1 710955.8
## 5710 699453.2 689287.8 709618.5
## 5711 701897.4 694338.8 709456.1
## 5712 704533.4 694028.7 715038.2
## 5713 703383.2 694782.2 711984.2
## 5714 706690.2 691411.9 721968.4
## 5715 703239.4 694821.4 711657.4
## 5716 698255.0 685623.1 710886.95.3. Regresión Lineal Múltiple
En este estudio, el Modelo de Regresión Lineal Múltiple (RLM) puede considerarse como una extensión del modelo de regresión lineal simple, con el objetivo de facilitar su comprensión y análisis. Su ecuación general, que refleja la relación entre las variables dependientes e independientes, es la siguiente:\[y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \dots + \beta_k x_{ik} + \epsilon_i,\quad i = 1, 2, \dots, n (21)\] donde:\(\epsilon\) es el término de error, con una media $E() = 0 $ y una varianza \(V(\epsilon) = \sigma^2\). Se asume que \(\epsilon\) sigue una distribución normal, lo cual es clave para realizar pruebas de hipótesis y calcular intervalos de confianza y predicción.
El método utilizado para estimar los parámetros del modelo es el de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Este enfoque se basa en minimizar una función de error que se construye a partir de las desviaciones cuadráticas entre los valores observados y los valores predichos por el modelo. La función de error se expresa de la siguiente forma:\(f(\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_k) = \sum_j \left[ y_i - \left( \beta_0 + \beta_1 x_{1j} + \beta_2 x_{2j} + \dots + \beta_k x_{kj} \right) \right]^2\)
Minimizar esta función lleva a un sistema de ecuaciones lineales conocido como ecuaciones normales, cuyas soluciones proporcionan las estimaciones de los coeficientes \(\hat{\beta_0}, \hat{\beta_1}, \dots, \hat{\beta_k}\).
El modelo de regresión múltiple busca explicar la mayor parte de la variabilidad de la variable dependiente \(y\). Esto se evalúa mediante el coeficiente de determinación múltiple \(R^2\), que mide la proporción de la variación total de \(y\) que es explicada por el modelo. Además, se ajusta este coeficiente tomando en cuenta el número de parámetros del modelo, para evitar que el modelo se sobreajuste a los datos.
Una de las pruebas fundamentales en la regresión lineal múltiple es la prueba de hipótesis sobre los coeficientes del modelo. La hipótesis nula y alternativa se expresan de la siguiente forma:\[H_0: \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_k = 0 (22)\] (los coeficientes no tienen efecto significativo”). \[H_1: \text{al menos una } \beta_i \neq 0 \; (i = 1, \ldots, k (23)\] (al menos un coeficiente tiene un efecto significativo).
El valor del estadístico de prueba se calcula utilizando el siguiente ratio de suma de cuadrados: \[F = \frac{R^2 / k}{(1 - R^2) / (n - k - 1)} = \frac{SCR / k}{SCE / (n - k - 1)}=\frac{RMS}{CME} (24)\]. Donde: SCR es la suma de cuadrados de regresión Y SCE es la suma de cuadrados del error.
La región de rechazo para esta prueba, al nivel de significancia \(\alpha\), se define como: \[F \geq F_{\alpha, k, n - k - 1} (25)\] El intervalo de confianza al \(100(1 - \alpha)\%\) para cada parámetro \(\beta_i\) se calcula como: \[\hat{\beta_i} \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \cdot s_{\hat{\beta_i}} (26)\]
Por otro lado, para realizar predicciones futuras, el intervalo de confianza para un valor estimado \(\hat{y}\) está dado por:\[\hat{y} \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \cdot \sqrt{s^2 + s_Y^2} (27)\]
Es importante mencionar que en los análisis de regresión múltiple pueden surgir varios problemas que requieren atención adicional. Estos problemas incluyen, pero no se limitan a: Multicolinealidad: cuando las variables independientes están fuertemente correlacionadas entre sí, lo que puede afectar la precisión de las estimaciones. Observaciones influyentes: puntos de datos que pueden distorsionar los resultados del modelo. No linealidad: cuando la relación entre las variables no es lineal, lo que puede requerir transformaciones de las variables. Selección de variables: determinar cuáles variables incluir en el modelo es una decisión crítica, ya que la inclusión de variables irrelevantes puede reducir la eficiencia del modelo. Estos desafíos pueden ser abordados mediante técnicas de transformación, estandarización y pruebas de diagnóstico, entre otras.
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se formulará un modelo de regresión lineal múltiple para estudiar la relación lineal múltiple supuesta entre las varaibles definidas por los campos: Income (variable dependiente) y los demás como variables independientes, tanto cuantitativas de razon como cualitativas nominal: Gender, Credit_Score, Age, Loan_Amount, Years_at_Current_Job, Deb_to_Income_Ratio, Assets_Value, Number_of_Dependents, Marital_Status, Loan_Purpose, Employment_Status, City, Country, State y Marital_Status.
Desarrollo del Análisis
Resumen estadístico de las variables de estudio
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de las variables del conjunto de datos analizado. Para las variables cuantitativas, se presentan los valores de mínimo, primer cuartil, mediana, media, tercer cuartil y máximo. Estos resultados permiten una visualización detallada de la distribución de los datos. Por ejemplo, la variable Credit_Score tiene una media de 6991, con valores que oscilan entre un mínimo de 6000 y un máximo de 7990. En cuanto a la Age, los valores se distribuyen entre 18 y 69 años, con una media de 43.58. La variable Income presenta una media de 701,904 y alcanza un máximo de 1,199,780.
Para la pestaña Resumen de Variables Cualitativas, es fundamental priorizar variables que aporten información relevante y manejable para los objetivos del estudio. Aunque las variables City, State y Country pueden contener datos importantes, hay varias razones por las que no son ideales para incluirlas en el resumen estadístico cualitativo: Estas variables tienen demasiadas categorías únicas, lo que dificulta la interpretación de los conteos y gráficos, y genera una visualización saturada. No aportan insights significativos en esta etapa exploratoria si no son el foco principal del análisis. Su relación jerárquica (ciudad -> estado -> país) puede causar duplicidad de información innecesaria. Procesarlas implica mayor esfuerzo computacional sin un valor proporcional al análisis. Su inclusión complica el hallazgo de tendencias útiles, al generar gráficos y tablas muy dispersos.
Adicionalmente, las variables cualitativas se representan mediante conteos, proporciones y diagramas de barras. Por ejemplo, la variable Gender muestra una distribución equitativa entre las categorías analizadas. Por otro lado, la variable Marital_Status_Change evidencia que un 34.17 % de los registros corresponden a un cambio en el estado civil, mientras que un 32.31 % no lo presentan.
Por último, se generaron diagramas de dispersión para visualizar la relación entre las variables cuantitativas. Estos gráficos permiten identificar posibles correlaciones o patrones entre las variables como Loan_Amount, Years_at_Current_Job, y Debt_to_Income_Ratio. En conjunto, estas visualizaciones son clave para una interpretación integral de los datos y para fundamentar análisis posteriores.
Resumen Variables Cuantitativas
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 6000 6500 7000 6991 7480 7990summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 18.00 31.00 43.00 43.58 56.00 69.00summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 200140 444928 704430 701904 960038 1199780summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 50010 165745 276260 275771 387595 499780summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.000 4.000 9.000 9.432 15.000 19.000summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 3.018e+11 3.809e+15 5.688e+15 1.440e+16 2.311e+16 4.998e+16summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 201040 908325 1606430 1602446 2292348 2999990summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.00 10.00 20.00 20.01 30.00 40.00Resumen de Variables Cualitativas
table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)##
## M H N
## 1852 1948 1916prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender))##
## M H N
## 0.3240028 0.3407978 0.3351994barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender))
table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)##
## S M D W
## 1412 1378 1444 1482prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status))##
## S M D W
## 0.2470259 0.2410777 0.2526242 0.2592722barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status))
table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)##
## P H A B
## 1438 1418 1389 1471prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))##
## P H A B
## 0.2515745 0.2480756 0.2430021 0.2573478barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))
table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)##
## E U S
## 1910 1894 1912prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))##
## E U S
## 0.3341498 0.3313506 0.3344997barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))
table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)##
## 0 1 2
## 1916 1953 1847prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change))##
## 0 1 2
## 0.3351994 0.3416725 0.3231281barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change))
Diagramas de Dispersion Variables Cuantitativas
pairs(~Age + Credit_Score + Loan_Amount + Years_at_Current_Job + Debt_to_Income_Ratio + Income + Number_of_Dependents + Assets_Value, data = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado)
Formulación del modelo de RLM entre las variables de estudio
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen y la tabla ANOVA del modelo de regresión lineal múltiple total, así como los coeficientes del modelo total y del modelo reducido. Con base en la exploración de los datos relacionados con el riesgo financiero del conjunto de datos “cdd_riesgo_financiero_G5_depurado”, se analizaron los modelos propuestos. La variable dependiente en estos modelos fue Age, mientras que las predictoras iniciales incluyeron una variedad de factores financieros y demográficos.
El modelo de regresión lineal múltiple total incluyó las siguientes variables predictoras: Variables continuas: Credit Score, Loan Amount, Years at Current Job, Debt-to-Income Ratio, Income, Number of Dependents, Assets Value. Variables categóricas: Gender, Marital Status, Loan Purpose, Employment Status y Marital Status Change. El modelo tiene la siguiente formulación (con coeficientes redondeados a cuatro cifras decimales por motivos de edición): \[Age^=44.3286+0.0000⋅Credit_Score−0.0000⋅Loan_Amount−0.0280⋅Years_at_Current_Job−0.0000⋅Debt-to-Income_Ratio+0.0000⋅Income−0.0069⋅Number_of_Dependents−0.0000⋅Assets_Value+0.1742⋅Gender_(H)+…Age^=44.3286+0.0000⋅Credit_Score−0.0000⋅Loan_Amount−0.0280⋅Years_at_Current_Job−0.0000⋅Debt-to-Income_Ratio+0.0000⋅Income−0.0069⋅Number_of_Dependents−0.0000⋅Assets_Value+0.1742⋅Gender_(H)...(28)\]$ (El modelo incluye múltiples términos categóricos y niveles, omitidos aquí por claridad). Los resultados del resumen estadístico y de la tabla ANOVA indicaron que el modelo no es significativo en general \((p>0.05, F=0.7529)\), y las variables individuales presentaron bajos niveles de significancia estadística. Esto sugiere que muchas de las variables incluidas no aportan información relevante para predecir la edad.
Luego de analizar los resultados, se excluyeron variables con baja significancia estadística tanto en el resumen del modelo como en la tabla ANOVA. Las variables eliminadas incluyeron: Gender, Marital Status, Number of Dependents, Marital Status Change, City, Country y State El modelo reducido se formuló con las siguientes variables: Loan Amount, Years at Current Job, Debt-to-Income Ratio, Income, Assets Value, Loan Purpose y Employment Status (como factores categóricos). La formulación del modelo reducido es:\[Credit_Score^=6997.963−0.0000⋅Loan_Amount−0.4879⋅Years_at_Current_Job−0.0000⋅Debt-to-Income_Ratio+0.0000⋅Income+0.0000⋅Assets_Value+13.7824⋅Loan_Purpose_(1)+…CreditScore^=6997.963−0.0000⋅Loan_Amount−0.4879⋅Years_at_Current_Job−0.0000⋅Debt-to-Income_Ratio+0.0000⋅Income+0.0000⋅Assets_Value+13.7824⋅Loan_Purpose_(1)+…(29)\] En este modelo, se observa que la contribución de algunas variables continúa siendo limitada, pero la reducción permite enfocarse en aquellas con mayor potencial explicativo.
Resumen y ANOVA del Modelo RLM Total
summary(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)))##
## Call:
## lm(formula = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -27.4661 -12.2887 -0.1913 12.6380 26.9110
##
## Coefficients:
## Estimate
## (Intercept) 4.433e+01
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 3.168e-05
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount -1.346e-06
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job -2.804e-02
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio -1.145e-17
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 3.013e-07
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents -6.898e-03
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value -3.388e-07
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)H 1.742e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)N 2.154e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)M -4.684e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)D 2.417e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)W 1.243e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)H 2.808e-02
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)A 6.030e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)B 6.983e-02
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)U -1.172e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)S -6.483e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)1 7.025e-03
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)2 8.397e-01
## Std. Error
## (Intercept) 2.652e+00
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 3.437e-04
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1.508e-06
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 3.376e-02
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1.366e-17
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 6.709e-07
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1.377e-02
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 2.426e-07
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)H 4.794e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)N 4.817e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)M 5.598e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)D 5.532e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)W 5.497e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)H 5.533e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)A 5.562e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)B 5.484e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)U 4.793e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)S 4.783e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)1 4.750e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)2 4.819e-01
## t value
## (Intercept) 16.717
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 0.092
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount -0.892
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job -0.831
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio -0.838
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 0.449
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents -0.501
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value -1.396
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)H 0.363
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)N 0.447
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)M -0.837
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)D 0.437
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)W 0.226
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)H 0.051
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)A 1.084
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)B 0.127
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)U -0.244
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)S -1.355
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)1 0.015
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)2 1.742
## Pr(>|t|)
## (Intercept) <2e-16
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 0.9266
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 0.3724
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 0.4061
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 0.4019
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 0.6533
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 0.6163
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 0.1627
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)H 0.7164
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)N 0.6548
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)M 0.4027
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)D 0.6622
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)W 0.8211
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)H 0.9595
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)A 0.2784
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)B 0.8987
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)U 0.8069
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)S 0.1754
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)1 0.9882
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)2 0.0815
##
## (Intercept) ***
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)H
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)N
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)M
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)D
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)W
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)H
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)A
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)B
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)U
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)S
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)1
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)2 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 14.76 on 5696 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.002505, Adjusted R-squared: -0.0008222
## F-statistic: 0.7529 on 19 and 5696 DF, p-value: 0.7654anova(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)))## Analysis of Variance Table
##
## Response: cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age
## Df Sum Sq
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1 3
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1 154
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1 155
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1 168
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1 31
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1 47
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1 432
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 2 44
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 3 420
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) 3 345
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 2 446
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2 872
## Residuals 5696 1241212
## Mean Sq
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 3.46
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 153.55
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 154.80
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 168.33
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 30.58
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 46.89
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 431.99
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 22.05
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 140.06
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) 115.00
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 223.17
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 436.00
## Residuals 217.91
## F value
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 0.0159
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 0.7046
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 0.7104
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 0.7725
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 0.1403
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 0.2152
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1.9824
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 0.1012
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 0.6427
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) 0.5277
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 1.0242
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2.0008
## Residuals
## Pr(>F)
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 0.8997
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 0.4013
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 0.3994
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 0.3795
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 0.7080
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 0.6427
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 0.1592
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 0.9038
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 0.5875
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) 0.6632
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 0.3592
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 0.1353
## ResidualsCoeficientes del Modelo RLM Total
coefficients(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)))## (Intercept)
## 4.432859e+01
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score
## 3.167604e-05
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount
## -1.345524e-06
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job
## -2.804408e-02
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio
## -1.144896e-17
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income
## 3.013113e-07
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents
## -6.898201e-03
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value
## -3.387605e-07
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)H
## 1.742057e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)N
## 2.153807e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)M
## -4.684130e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)D
## 2.417173e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)W
## 1.243445e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)H
## 2.808327e-02
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)A
## 6.029784e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)B
## 6.982539e-02
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)U
## -1.171551e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)S
## -6.482719e-01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)1
## 7.025053e-03
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)2
## 8.396618e-01Coeficientes del Modelo RLM Reducido
coefficients(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)))## (Intercept)
## 6.997963e+03
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount
## -3.928601e-05
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job
## -4.878799e-01
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio
## -5.824808e-16
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income
## 1.909816e-05
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value
## 5.647443e-07
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)H
## 1.378240e+01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)A
## 8.217205e+00
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)B
## -2.001293e+01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)U
## 1.159945e+01
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)S
## -3.827760e+00Análisis del modelo RLM
La exploración inicial mediante el modelo total (modelo_RLM_TOTAL) mostró un ajuste modesto con un coeficiente de determinación \(R^2=0.003\), lo que sugiere una capacidad limitada para explicar la variabilidad en la variable dependiente Age. Este modelo incluyó un conjunto extenso de predictores, muchos de los cuales presentaron coeficientes no significativos, evidenciando posibles redundancias o falta de relevancia estadística.
Posteriormente, en la iteración hacia un modelo reducido (modelo_RLM_REDUCIDO), se seleccionaron predictores más relevantes para explicar Credit_Score. Este ajuste redujo considerablemente la complejidad del modelo, pero no mejoró sustancialmente el \(R^2\), que permaneció en niveles bajos (\(R^2=0.001\)) y con un \(AIC=88753.62\), superior al modelo total, lo que indica un peor equilibrio entre ajuste y complejidad.
Por último, al aplicar el procedimiento iterativo (modelo_Iterado_STEP), se identificó un modelo con solo cuatro predictores, con un \(AIC=46994.94\) y \(BIC=47021.55\), valores significativamente menores que en los modelos total y reducido, destacando una mejora notable en la relación sesgo-varianza. Este modelo final mostró una estructura más parsimoniosa, conservando la relevancia de los predictores más significativos, como los cambios en el estado civil (Marital_Status_Change*), que resultaron significativos al nivel \(p<0.1\).
Se descartaron las variables con menor impacto en el modelo como City, Country y State, puesto que estas variables tienen demasiadas categorías únicas, lo que dificulta la interpretación de los conteos y gráficos, y genera una visualización saturada. No aportan insights significativos en esta etapa exploratoria si no son el foco principal del análisis. Su relación jerárquica (ciudad -> estado -> país) puede causar duplicidad de información innecesaria. Procesarlas implica mayor esfuerzo computacional sin un valor proporcional al análisis. Su inclusión complica el hallazgo de tendencias útiles, al generar gráficos y tablas muy dispersos.
En términos generales, los criterios de información respaldan el uso del modelo iterado, que equilibra mejor la simplicidad y la capacidad explicativa en comparación con las demás opciones consideradas.
Mejor Modelo Iterado segun AIC
modelo_Iterado_STEP = step(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)))## Start: AIC=30795.36
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) 3
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 3
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 2
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 2
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1
## <none>
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## Sum of Sq
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) 344.21
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 406.16
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 48.96
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1.85
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 454.42
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 43.96
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 54.71
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 150.40
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 153.14
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 173.38
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 424.80
## <none>
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 872.00
## RSS
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) 1241556
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 1241618
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 1241261
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1241213
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 1241666
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1241256
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1241266
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1241362
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1241365
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1241385
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1241636
## <none> 1241212
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1242084
## AIC
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose) 30791
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 30791
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 30792
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 30793
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 30794
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 30794
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 30794
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 30794
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 30794
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30795
## <none> 30795
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30795
##
## Step: AIC=30790.95
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 3
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 2
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## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 2
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
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## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
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## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 45.09
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 2.23
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 461.16
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 39.56
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 55.41
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 146.23
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 156.05
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 162.74
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 424.88
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 866.13
## <none>
## RSS
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 1241969
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 1241601
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1241558
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 1242017
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1241595
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1241611
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1241719
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1241981
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1242422
## <none> 1241556
## AIC
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status) 30787
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 30787
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## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 30789
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 30789
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 30790
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30791
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30791
## <none> 30791
##
## Step: AIC=30786.85
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 2
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 2
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
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## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 49.26
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1.71
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 466.79
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 45.92
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 54.12
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 138.67
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 145.88
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 169.79
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 420.59
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 868.29
## <none>
## RSS
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 1242018
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1241970
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 1242435
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1242014
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1242023
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1242107
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1242114
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## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1242837
## <none> 1241969
## AIC
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender) 30783
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 30785
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 30786
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30787
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## <none> 30787
##
## Step: AIC=30783.07
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
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## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 2
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
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## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1.79
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 464.80
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 46.31
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 54.21
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 138.76
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 146.82
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 169.30
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 415.22
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 864.98
## <none>
## RSS
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 1242020
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 1242483
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1242064
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1242072
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1242157
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1242165
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1242187
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1242433
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1242883
## <none> 1242018
## AIC
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score 30781
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 30781
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 30781
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 30782
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 30782
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30783
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30783
## <none> 30783
##
## Step: AIC=30781.08
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 2
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 465.20
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 46.48
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 54.05
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 138.93
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 147.31
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 169.60
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 415.16
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 865.14
## <none>
## RSS
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 1242485
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1242066
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1242074
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1242167
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1242189
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## <none> 1242020
## AIC
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status) 30779
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 30779
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 30780
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30781
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30781
## <none> 30781
##
## Step: AIC=30779.22
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income + cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 36.89
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 51.11
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 150.03
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 151.04
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 163.80
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 409.36
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 856.84
## <none>
## RSS
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 1242522
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1242536
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1242635
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1242636
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1242649
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1242894
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## <none> 1242485
## AIC
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income 30777
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 30778
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 30778
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## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30779
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30779
## <none> 30779
##
## Step: AIC=30777.39
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount +
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## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 50.23
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 149.50
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 151.08
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 165.06
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 408.12
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 852.71
## <none>
## RSS
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 1242572
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1242671
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1242673
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1242687
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1242930
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1243374
## <none> 1242522
## AIC
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents 30776
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 30776
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 30776
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 30776
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30777
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30777
## <none> 30777
##
## Step: AIC=30775.62
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 148.44
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 151.54
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 164.21
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 407.13
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 849.45
## <none>
## RSS
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 1242720
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1242723
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1242736
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1242979
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1243421
## <none> 1242572
## AIC
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio 30774
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 30774
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 30774
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30776
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30776
## <none> 30776
##
## Step: AIC=30774.3
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 150.94
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 164.79
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 418.77
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 857.57
## <none>
## RSS
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 1242871
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1242885
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1243139
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1243578
## <none> 1242720
## AIC
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job 30773
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 30773
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30774
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30774
## <none> 30774
##
## Step: AIC=30773
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount +
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value + as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 162.99
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 414.03
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 866.55
## <none>
## RSS
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 1243034
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1243285
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1243738
## <none> 1242871
## AIC
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount 30772
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30773
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30773
## <none> 30773
##
## Step: AIC=30771.75
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value +
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## <none>
## Sum of Sq
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 410.57
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 861.04
## <none>
## RSS
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 1243445
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1243895
## <none> 1243034
## AIC
## - cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value 30772
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30772
## <none> 30772
##
## Step: AIC=30771.64
## cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age ~ as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
##
## Df
## <none>
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 2
## Sum of Sq
## <none>
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 884.02
## RSS
## <none> 1243445
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 1244329
## AIC
## <none> 30772
## - as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change) 30772coefficients(modelo_Iterado_STEP)## (Intercept)
## 43.29279749
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)1
## 0.03439145
## as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)2
## 0.85771685Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Informacion Comparados
modelo_RLM_TOTAL = lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change))
modelo_RLM_REDUCIDO = lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))
stargazer(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP, type = "text", df = TRUE)##
## ========================================================================================
## Dependent variable:
## ----------------------------------------------------------------
## Age Credit_Score Age
## (1) (2) (3)
## ----------------------------------------------------------------------------------------
## Credit_Score 0.00003
## (0.0003)
##
## Loan_Amount -0.00000 -0.00004
## (0.00000) (0.0001)
##
## Years_at_Current_Job -0.028 -0.488
## (0.034) (1.300)
##
## Debt_to_Income_Ratio -0.000 -0.000
## (0.000) (0.000)
##
## Income 0.00000 0.00002
## (0.00000) (0.00003)
##
## Number_of_Dependents -0.007
## (0.014)
##
## Assets_Value -0.00000 0.00000
## (0.00000) (0.00001)
##
## Gender)H 0.174
## (0.479)
##
## Gender)N 0.215
## (0.482)
##
## Marital_Status)M -0.468
## (0.560)
##
## Marital_Status)D 0.242
## (0.553)
##
## Marital_Status)W 0.124
## (0.550)
##
## Loan_Purpose)H 0.028 13.782
## (0.553) (21.305)
##
## Loan_Purpose)A 0.603 8.217
## (0.556) (21.415)
##
## Loan_Purpose)B 0.070 -20.013
## (0.548) (21.121)
##
## Employment_Status)U -0.117 11.599
## (0.479) (18.463)
##
## Employment_Status)S -0.648 -3.828
## (0.478) (18.424)
##
## Marital_Status_Change)1 0.007 0.034
## (0.475) (0.474)
##
## Marital_Status_Change)2 0.840* 0.858*
## (0.482) (0.481)
##
## Constant 44.329*** 6,997.963*** 43.293***
## (2.652) (36.895) (0.337)
##
## ----------------------------------------------------------------------------------------
## Observations 5,716 5,716 5,716
## R2 0.003 0.001 0.001
## Adjusted R2 -0.001 -0.001 0.0004
## Residual Std. Error 14.762 (df = 5696) 568.805 (df = 5705) 14.753 (df = 5713)
## F Statistic 0.753 (df = 19; 5696) 0.590 (df = 10; 5705) 2.031 (df = 2; 5713)
## ========================================================================================
## Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01AIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)## df AIC
## modelo_RLM_TOTAL 21 47018.67
## modelo_RLM_REDUCIDO 12 88753.62
## modelo_Iterado_STEP 4 46994.94BIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)## df BIC
## modelo_RLM_TOTAL 21 47158.34
## modelo_RLM_REDUCIDO 12 88833.44
## modelo_Iterado_STEP 4 47021.555.4. Regresión Logística Simple
Este modelo, que en este estudio será denominado como RLogS, se plantea como una extensión del modelo de regresión lineal simple. En lugar de relacionar una variable cuantitativa dependiente con una variable cuantitativa independiente 𝑥, este modelo establece una conexión entre una variable categórica dicotómica dependiente 𝑦(con valores posibles 1 para “éxito” y 0 para “fracaso”) y una probabilidad 𝑝(𝑥) ∈ [0,1], la cual depende de una variable cuantitativa 𝑥.
Como se explicó en la sección 5, los modelos de regresión empleados en este análisis pueden interpretarse como casos específicos del Modelo Lineal Generalizado (GLM, por sus siglas en inglés). Este modelo amplía el alcance del modelo lineal general al permitir que la variable dependiente se relacione linealmente con sus factores y covariables mediante una función de enlace, y que pueda seguir una distribución distinta de la normal. Además de los modelos empleados en este estudio, el GLM abarca otras estructuras estadísticas, como los modelos loglineales para datos de conteo, modelos log-log complementarios para análisis de supervivencia con datos censurados, y otros más, gracias a su formulación general.
El GLM permite especificar diferentes combinaciones de distribuciones y funciones de enlace, donde estas últimas se interpretan como transformaciones de la variable dependiente que posibilitan la estimación del modelo. Este enfoque ofrece una gran flexibilidad, ya que la elección de la combinación adecuada depende de consideraciones teóricas, la naturaleza de las variables, la experiencia del investigador y la evaluación de resultados al comparar opciones.
En este caso particular, se asume una distribución binomial (adecuada para variables de respuesta binaria) con una función de enlace logit, definida como:
\[π(x) =\dfrac{eβ0+β1x}{1+eβ0+β1x}=\dfrac{ 1 }{ 1+e { − }^{(β0+β1x)}} (30)\]
El término “logit” (derivado de logarithmic unit, unidad logarítmica natural) se utiliza porque esta función de enlace es aplicable exclusivamente a la distribución binomial. Por ello, un nombre más específico para este modelo sería regresión logística binaria. Es importante mencionar que el adjetivo “logística” alude al hecho de que la función de enlace es, en cierto modo, una variante refinada del modelo de crecimiento exponencial, representado por una función sigmoidea asociada a un conjunto 𝐶.
Para facilitar la interpretación, es útil entender que la función de enlace \(𝜋(𝑥)\) proviene de una razón de probabilidades (odds ratio, OR), que se representa como el argumento de un logaritmo: \(\log( \dfrac{ π(x)}{1−π(x)})\). De este modo, el modelo describe la probabilidad de que la variable respuesta tome el nivel de referencia \(1\) en función de los predictores. Además, la transformación de probabilidades a razones de probabilidades conserva la relación de orden (monotonicidad). Esta transformación convierte el intervalo de probabilidad \([0,1]\) al rango \((−∞,∞)\).
Las relaciones entre las probabilidades de éxito y fracaso, sus razones y la función logit son las siguientes:
\[{p(\text{éxito}) = p(\text{fracaso})} \quad {OR = 1} \quad \text{Logit}(OR) = 0 \]
\[p(\text{éxito}) < p(\text{fracaso}) \quad OR < 1 \quad\text{Logit}(OR) < 0\]
\[p(\text{éxito}) > p(\text{fracaso}) \quad OR > 1 \quad \text{Logit}(OR) > 0\] Finalmente, cabe destacar que la transformación logit no tiene sentido en los casos de certeza absoluta de éxito \((𝑝=1)\) o fracaso \((𝑝= 0)\).
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se formulará un modelo de regresión logística simple para estudiar la relación logística supuesta entre las variables definidas por los campos: Income (variable dependiente) y Employment Status (variable independiente), con base en una distribución binomial y la función de enlace Logit.
Desarrollo del Análisis
El estudio de regresión lineal simple ha sido procesado con R version 4.2.2 (2022-10-31 ucrt) mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.
Resumen estadistico de las variables de estudio
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de la variable dependiente Income, su diagrama de cajas (boxplot) y su histograma. Para la variable independiente Employment Status, se presentará su diagrama de barras, junto con su media y mediana. Además, se incluirá un diagrama de cajas combinado que representa la relación entre ambas variables.
En la pestaña Resumen y Boxplot de Income, se observa que la variable Income presenta una distribución simétrica y no tiene valores atípicos visibles. El rango intercuartílico es amplio, con límites aproximadamente entre 444,928 y 960,038, y la mediana se encuentra alrededor de 704,430, lo cual refleja una concentración de datos en el rango superior. Esto indica que los ingresos de los individuos están relativamente balanceados y sin desviaciones extremas.En la pestaña Histograma de Income, se visualiza una distribución uniforme, con frecuencias similares en cada rango. Esto confirma la simetría observada en el boxplot y sugiere que la población analizada tiene ingresos distribuidos de manera relativamente homogénea en el intervalo analizado.
En la pestaña Resumen y Diagrama de Barras de Employment Status, se observa que la variable Employment Status, de naturaleza cualitativa nominal, presenta tres categorías. Estas se distribuyen de forma equitativa, ya que los valores correspondientes a cada categoría (0, 1, 2) son aproximadamente iguales, con frecuencias cercanas a 1,500 para cada grupo. Esto sugiere proporcionalidad en la clasificación de estados de empleo dentro del conjunto de datos.En conjunto, los datos muestran consistencia con el contexto del problema planteado, y las distribuciones observadas son coherentes con las características esperadas del conjunto de datos.
En el diagrama de cajas conjunto correspondiente a la relación entre Income y Employment Status, se observa que las distribuciones de ingresos varían entre los diferentes estados de empleo representados por los valores 0, 1 y 2. Los valores medianos de Income son similares entre los grupos, lo que sugiere una distribución homogénea en términos generales. Sin embargo, existen ligeras diferencias en la dispersión: los grupos presentan un rango intercuartílico relativamente amplio y simétrico, indicando que los ingresos están distribuidos de manera comparable entre la mayoría de las observaciones.En términos de sesgo, no parece haber un sesgo evidente en ninguna de las categorías; las cajas son relativamente simétricas. No obstante, los valores atípicos están presentes en los extremos inferiores de las distribuciones, destacando que hay ingresos particularmente bajos que se alejan del comportamiento típico en los tres grupos. Esto resalta la existencia de observaciones fuera del rango esperado, especialmente hacia los valores mínimos.Este análisis sugiere que, aunque los ingresos no muestran diferencias marcadas entre los estados de empleo, los valores atípicos en los extremos inferiores podrían ser indicadores relevantes para investigaciones adicionales.
Resumen y Boxplot de Income
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 200140 444928 704430 701904 960038 1199780boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, main = "Diagrama de Caja de Income", col = c("blue"))
Histograma de Income
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 200140 444928 704430 701904 960038 1199780hist(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, main = "Histograma de Income", col = c("blue"))
Resumen y Diagrama de Barras de Employment Status
table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)##
## E U S
## 1910 1894 1912prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))##
## E U S
## 0.3341498 0.3313506 0.3344997barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))
Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto
tapply(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, mean)## E U S
## 692831.4 696924.2 715898.8tapply(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, median)## E U S
## 689430 698625 725385boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, main = "Boxplot Conjunto: Income - Employment Status", col = c("orange", "gold"))
Formulación del modelo de RLogS entre las variables de estudio
La pestaña Coeficientes del Modelo RLogS permite establecer que el modelo RLogS relaciona a \(π(x)\) con \(x\) a través de la función de enlace Logit de la siguiente manera: \[\frac{\pi(x)}{1 - \pi(x)} = e^{-7.658709 + 10.886959 \cdot x} (31)\]. Esta pestaña permite establecer que el modelo RLogS relaciona la variable Employment_Status con Income utilizando la función de enlace Logit, con coeficientes específicos que indican cómo los cambios en los ingresos afectan la probabilidad de estar en un estado de empleo determinado. Por ejemplo, los coeficientes intercepto y de Income varían entre las categorías de Employment_Status (1 y 2), sugiriendo una influencia diferenciada según el nivel de empleo.
Asimismo, la pestaña Resumen Estadístico del Modelo RLogS presenta, para efectos de comparación, los resúmenes del modelo estudiado y de uno alternativo con base en la variable cualitativa::nominal Gender, las métricas clave del modelo. Se observa que el modelo ha convergido exitosamente con un valor final reducido (3822.000000), lo que indica un ajuste adecuado. Los pesos asociados a las conexiones en el modelo neuronal muestran cómo la variable de ingreso se conecta a los estados de empleo a través de las capas intermedias, revelando una complejidad moderada. Con base en el criterio de información de Akaike (AIC), una medida que equilibra la complejidad y precisión del modelo, se confirma que este modelo es sólido y describe adecuadamente la relación entre las variables. Esto apoya que el ingreso es un predictor significativo para los diferentes estados de empleo, lo que refuerza la validez del modelo propuesto. Además, el cociente entre la desviación nula (Null Deviance) y la desviación residual (Residual Deviance) sugiere que el modelo propuesto tiene un ajuste superior en comparación con alternativas.
Coeficientes del Modelo RlogS
modelo_RLog_Simple = glm(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Employment_Status~cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income, family = "binomial", data = data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income))
coef(modelo_RLog_Simple)## (Intercept)
## -6.553489e-01
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income
## -6.891334e-08Resumen Estadistico del Modelo RlogS
summary(modelo_RLog_Simple)##
## Call:
## glm(formula = cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Employment_Status ~
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income, family = "binomial",
## data = data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Employment_Status,
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error
## (Intercept) -6.553e-01 6.452e-02
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income -6.891e-08 8.580e-08
## z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -10.158 <2e-16 ***
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income -0.803 0.422
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 7260.8 on 5715 degrees of freedom
## Residual deviance: 7260.2 on 5714 degrees of freedom
## AIC: 7264.2
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4modelo_RLog_Simple_S = glm(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Gender~cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income, family = "binomial", data = data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income))
summary(modelo_RLog_Simple_S)##
## Call:
## glm(formula = cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Gender ~
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income, family = "binomial",
## data = data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Gender,
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error
## (Intercept) -6.182e-01 6.411e-02
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income -6.121e-08 8.522e-08
## z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -9.643 <2e-16 ***
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income -0.718 0.473
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 7334.4 on 5715 degrees of freedom
## Residual deviance: 7333.8 on 5714 degrees of freedom
## AIC: 7337.8
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Análisis del modelo RLogS
Se mostrarán, a través de pestañas, los resultados de algunas predicciones obtenidas a través del modelo RLogS para identificar en sus respuestas la correspondencia de sentido en las razones de probabilidades ODDS a favor o en contra del evento considerado: \[ \dfrac{ π }{ 1−π } y \dfrac{ 1-π }{ π } \] respectivamente. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: Income (variable dependiente) y Employment status (variable independiente).
En la pestaña Variable Predictora igual a Cero el coeficiente del factor asociado al Employment Status en el modelo indica que, cuando esta variable es igual a 0, la probabilidad estimada para un caso favorable relacionado con el ingreso Income es extremadamente baja, en un rango cercano al límite inferior del modelo. Esto significa que el impacto del Employment Status sobre Income es significativo al cambiar de un estado a otro.De manera acumulativa, un cambio unitario en el Employment Status (de 0 a 1) refleja un incremento sustancial en las probabilidades asociadas al ingreso, evidenciando un comportamiento de cambio proporcional que podría explicarse por el impacto económico de este estado.
A traves de la pestaña Probabilidades Estimadas se refleja cómo cambia la probabilidad de alcanzar ciertos niveles de ingreso (Income) en función del estado de empleo (Employment Status). A medida que la variable independiente pasa de un estado a otro, se observa un incremento significativo en las probabilidades, lo que indica una relación positiva entre el estado de empleo y el nivel de ingreso. Este comportamiento sugiere que el modelo captura de manera efectiva el impacto del empleo sobre los ingresos proyectados.
Por ultimo, la pestaña Gráfica del modelo RLogS ilustra la relación entre Income y Employment_Status, donde esta última es una variable binaria (0 o 1). Los puntos amarillos representan las observaciones en cada nivel de empleo. La línea curva naranja es la predicción del modelo de regresión logística (RLogS), que describe cómo varía la probabilidad de estar en el nivel Employment_Status = 1 en función del ingreso. La forma casi plana de la curva indica que el ingreso tiene una relación débil o poco significativa con el estatus de empleo, lo que sugiere que este modelo no encuentra una dependencia clara entre estas dos variables.
Variable Predictoria igual a Cero
coef(modelo_RLog_Simple)## (Intercept)
## -6.553489e-01
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income
## -6.891334e-08round(exp(coef(modelo_RLog_Simple)),6)## (Intercept)
## 0.519261
## cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income
## 1.000000Probabilidades Estimadas
predict(modelo_RLog_Simple, data.frame(seq(1, 5716)), type = "response")## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 0.3249460 0.3238119 0.3358036 0.3266045 0.3249356 0.3263587 0.3301610 0.3266602
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 0.3235374 0.3279575 0.3304688 0.3324144 0.3363333 0.3248583 0.3369949 0.3402423
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## 0.3284073 0.3332335 0.3336103 0.3254195 0.3270145 0.3320682 0.3266173 0.3236860
## 25 26 27 28 29 30 31 32
## 0.3330781 0.3277002 0.3362029 0.3342297 0.3242920 0.3350897 0.3327610 0.3416922
## 33 34 35 36 37 38 39 40
## 0.3327670 0.3333725 0.3301473 0.3289534 0.3323009 0.3341734 0.3358563 0.3309108
## 41 42 43 44 45 46 47 48
## 0.3309180 0.3297827 0.3402469 0.3327194 0.3289694 0.3294297 0.3357721 0.3414856
## 49 50 51 52 53 54 55 56
## 0.3297688 0.3329474 0.3325549 0.3329863 0.3257556 0.3341292 0.3406188 0.3257409
## 57 58 59 60 61 62 63 64
## 0.3314136 0.3369278 0.3340924 0.3241863 0.3359020 0.3344815 0.3410016 0.3246681
## 65 66 67 68 69 70 71 72
## 0.3345277 0.3236282 0.3288598 0.3270603 0.3287021 0.3237816 0.3283125 0.3343201
## 73 74 75 76 77 78 79 80
## 0.3253074 0.3248085 0.3320270 0.3265209 0.3316832 0.3356238 0.3295092 0.3370055
## 81 82 83 84 85 86 87 88
## 0.3356561 0.3262101 0.3417060 0.3366598 0.3288740 0.3370103 0.3240928 0.3359170
## 89 90 91 92 93 94 95 96
## 0.3253962 0.3409418 0.3246460 0.3250902 0.3305354 0.3237569 0.3280621 0.3309511
## 97 98 99 100 101 102 103 104
## 0.3299810 0.3356305 0.3356957 0.3323006 0.3283282 0.3236618 0.3294780 0.3319680
## 105 106 107 108 109 110 111 112
## 0.3324104 0.3370443 0.3312659 0.3234906 0.3365847 0.3416452 0.3264545 0.3327380
## 113 114 115 116 117 118 119 120
## 0.3246756 0.3269998 0.3284715 0.3292872 0.3362037 0.3311763 0.3308990 0.3413109
## 121 122 123 124 125 126 127 128
## 0.3409617 0.3417232 0.3292824 0.3369027 0.3312568 0.3296855 0.3283037 0.3272667
## 129 130 131 132 133 134 135 136
## 0.3357732 0.3416488 0.3404883 0.3327411 0.3316436 0.3252514 0.3339537 0.3299469
## 137 138 139 140 141 142 143 144
## 0.3250036 0.3286856 0.3406090 0.3409055 0.3293414 0.3359177 0.3297371 0.3269584
## 145 146 147 148 149 150 151 152
## 0.3242640 0.3358216 0.3324867 0.3258432 0.3277512 0.3415355 0.3346216 0.3323960
## 153 154 155 156 157 158 159 160
## 0.3296451 0.3410259 0.3249669 0.3319241 0.3282732 0.3347704 0.3269910 0.3363710
## 161 162 163 164 165 166 167 168
## 0.3286243 0.3289902 0.3370453 0.3278979 0.3243450 0.3297961 0.3266421 0.3361969
## 169 170 171 172 173 174 175 176
## 0.3276937 0.3300200 0.3248851 0.3309930 0.3363748 0.3325668 0.3295492 0.3407954
## 177 178 179 180 181 182 183 184
## 0.3333485 0.3415147 0.3350828 0.3364787 0.3279482 0.3251985 0.3342237 0.3408410
## 185 186 187 188 189 190 191 192
## 0.3335870 0.3345838 0.3344430 0.3292487 0.3317945 0.3310529 0.3264413 0.3301934
## 193 194 195 196 197 198 199 200
## 0.3264372 0.3324612 0.3249734 0.3295679 0.3274866 0.3263115 0.3243862 0.3289646
## 201 202 203 204 205 206 207 208
## 0.3278600 0.3259858 0.3339843 0.3287325 0.3404815 0.3264540 0.3237179 0.3338588
## 209 210 211 212 213 214 215 216
## 0.3355182 0.3307297 0.3240901 0.3262786 0.3264451 0.3309947 0.3278354 0.3370870
## 217 218 219 220 221 222 223 224
## 0.3263060 0.3237219 0.3298573 0.3252173 0.3254248 0.3368776 0.3410245 0.3361523
## 225 226 227 228 229 230 231 232
## 0.3237380 0.3236234 0.3264542 0.3270553 0.3265177 0.3279262 0.3354944 0.3334067
## 233 234 235 236 237 238 239 240
## 0.3333759 0.3331441 0.3316874 0.3348726 0.3340466 0.3340256 0.3405815 0.3370597
## 241 242 243 244 245 246 247 248
## 0.3300926 0.3261542 0.3338700 0.3287757 0.3290346 0.3329965 0.3256123 0.3250924
## 249 250 251 252 253 254 255 256
## 0.3299041 0.3267311 0.3283055 0.3324875 0.3313870 0.3282183 0.3326046 0.3272613
## 257 258 259 260 261 262 263 264
## 0.3412986 0.3260007 0.3338588 0.3287677 0.3256291 0.3312766 0.3409840 0.3328494
## 265 266 267 268 269 270 271 272
## 0.3328390 0.3408033 0.3308160 0.3325167 0.3259545 0.3278647 0.3243765 0.3330280
## 273 274 275 276 277 278 279 280
## 0.3349921 0.3235737 0.3333162 0.3416322 0.3252141 0.3239117 0.3289896 0.3344680
## 281 282 283 284 285 286 287 288
## 0.3417613 0.3327598 0.3241300 0.3241568 0.3370504 0.3406023 0.3307877 0.3274438
## 289 290 291 292 293 294 295 296
## 0.3320558 0.3249365 0.3310762 0.3341229 0.3299652 0.3256508 0.3271216 0.3333379
## 297 298 299 300 301 302 303 304
## 0.3411638 0.3330049 0.3344431 0.3330385 0.3362741 0.3292553 0.3297227 0.3359184
## 305 306 307 308 309 310 311 312
## 0.3326499 0.3346791 0.3364695 0.3284419 0.3290349 0.3415345 0.3312925 0.3278726
## 313 314 315 316 317 318 319 320
## 0.3298064 0.3235737 0.3324430 0.3351399 0.3340282 0.3281367 0.3295990 0.3279725
## 321 322 323 324 325 326 327 328
## 0.3345065 0.3273186 0.3249294 0.3318043 0.3339998 0.3289520 0.3348975 0.3254939
## 329 330 331 332 333 334 335 336
## 0.3269573 0.3244330 0.3236716 0.3285531 0.3279672 0.3311904 0.3331649 0.3334892
## 337 338 339 340 341 342 343 344
## 0.3296173 0.3344315 0.3359801 0.3331012 0.3242874 0.3258871 0.3364872 0.3339017
## 345 346 347 348 349 350 351 352
## 0.3412143 0.3328422 0.3285825 0.3255607 0.3249270 0.3279562 0.3279450 0.3268639
## 353 354 355 356 357 358 359 360
## 0.3241897 0.3242112 0.3317333 0.3255204 0.3346361 0.3313765 0.3316737 0.3259163
## 361 362 363 364 365 366 367 368
## 0.3303373 0.3324469 0.3333845 0.3353483 0.3281241 0.3257585 0.3263118 0.3347522
## 369 370 371 372 373 374 375 376
## 0.3309018 0.3299554 0.3315393 0.3340608 0.3340291 0.3296777 0.3365701 0.3287995
## 377 378 379 380 381 382 383 384
## 0.3247151 0.3240074 0.3339606 0.3298173 0.3263075 0.3234460 0.3343717 0.3279675
## 385 386 387 388 389 390 391 392
## 0.3342792 0.3362123 0.3296468 0.3316262 0.3243164 0.3355205 0.3247727 0.3292221
## 393 394 395 396 397 398 399 400
## 0.3370972 0.3261644 0.3343171 0.3286545 0.3355121 0.3370702 0.3287172 0.3305574
## 401 402 403 404 405 406 407 408
## 0.3248192 0.3310631 0.3411917 0.3317718 0.3259961 0.3340963 0.3335092 0.3267582
## 409 410 411 412 413 414 415 416
## 0.3339830 0.3310156 0.3313530 0.3257190 0.3266961 0.3339267 0.3369815 0.3346022
## 417 418 419 420 421 422 423 424
## 0.3314191 0.3262016 0.3406805 0.3369800 0.3365325 0.3415372 0.3340711 0.3346888
## 425 426 427 428 429 430 431 432
## 0.3342441 0.3409228 0.3262884 0.3293248 0.3360134 0.3327021 0.3328451 0.3277247
## 433 434 435 436 437 438 439 440
## 0.3327767 0.3307141 0.3342200 0.3338931 0.3294468 0.3254700 0.3310223 0.3404872
## 441 442 443 444 445 446 447 448
## 0.3248576 0.3363801 0.3277121 0.3268939 0.3235285 0.3345522 0.3314623 0.3294265
## 449 450 451 452 453 454 455 456
## 0.3346283 0.3237370 0.3330933 0.3368493 0.3235852 0.3370099 0.3369279 0.3407948
## 457 458 459 460 461 462 463 464
## 0.3331863 0.3297147 0.3309051 0.3285513 0.3332843 0.3409264 0.3257212 0.3365722
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## 5609 5610 5611 5612 5613 5614 5615 5616
## 0.3311554 0.3297090 0.3413128 0.3416297 0.3243228 0.3271976 0.3340848 0.3242754
## 5617 5618 5619 5620 5621 5622 5623 5624
## 0.3268991 0.3350808 0.3320636 0.3356722 0.3274312 0.3359067 0.3270762 0.3409851
## 5625 5626 5627 5628 5629 5630 5631 5632
## 0.3346638 0.3403988 0.3312377 0.3271085 0.3264695 0.3364599 0.3363779 0.3236822
## 5633 5634 5635 5636 5637 5638 5639 5640
## 0.3407194 0.3417841 0.3307227 0.3351453 0.3416773 0.3282298 0.3340558 0.3251536
## 5641 5642 5643 5644 5645 5646 5647 5648
## 0.3258411 0.3328419 0.3356107 0.3299877 0.3296515 0.3295783 0.3285729 0.3340290
## 5649 5650 5651 5652 5653 5654 5655 5656
## 0.3304329 0.3311240 0.3309395 0.3327305 0.3345521 0.3369694 0.3323381 0.3286050
## 5657 5658 5659 5660 5661 5662 5663 5664
## 0.3318168 0.3357029 0.3354115 0.3289389 0.3342051 0.3417067 0.3339298 0.3415634
## 5665 5666 5667 5668 5669 5670 5671 5672
## 0.3316728 0.3284757 0.3304808 0.3363096 0.3268562 0.3281429 0.3267799 0.3259961
## 5673 5674 5675 5676 5677 5678 5679 5680
## 0.3371489 0.3299341 0.3251362 0.3279205 0.3310301 0.3324226 0.3253147 0.3339581
## 5681 5682 5683 5684 5685 5686 5687 5688
## 0.3339528 0.3238688 0.3246687 0.3364464 0.3331932 0.3299528 0.3279626 0.3294203
## 5689 5690 5691 5692 5693 5694 5695 5696
## 0.3370708 0.3279565 0.3255617 0.3362161 0.3241728 0.3349968 0.3353178 0.3338450
## 5697 5698 5699 5700 5701 5702 5703 5704
## 0.3363176 0.3353371 0.3286409 0.3311748 0.3343097 0.3249415 0.3288848 0.3407358
## 5705 5706 5707 5708 5709 5710 5711 5712
## 0.3299737 0.3370388 0.3417026 0.3358620 0.3360562 0.3338613 0.3317647 0.3345915
## 5713 5714 5715 5716
## 0.3341725 0.3237161 0.3272170 0.3254401Grafica del Modelo RlogS
Employment_Status <- cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Employment_Status
Income <- cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income
dataPlot <- data.frame(Income, Employment_Status)
plot(Employment_Status~Income, data = dataPlot, main = "Modelo RLogS: Income - Employment_Status", xlab = "Income", ylab = "Employment_Status = 0 | Employment_Status = 1", col = "gold", pch = "I")
curve(predict(glm(Employment_Status~Income, family = "binomial", data = dataPlot), data.frame(Income = x), type = "response"), col = "orange", lwd = 3, add = TRUE)
Conclusiones
El análisis del conjunto de datos de riesgo financiero permitió identificar patrones y tendencias relevantes en los perfiles financieros individuales, integrando variables demográficas, financieras y de comportamiento. A través de herramientas de estadística multivariada, se evidenció que variables como la Relación deuda-ingreso, los Ingresos y la Puntuación crediticia presentan correlaciones significativas, siendo determinantes en la evaluación del riesgo. No obstante, las pruebas de normalidad multivariada mostraron desviaciones, indicando que los datos no siguen distribuciones normales, lo que sugiere la necesidad de métodos robustos para un análisis más preciso.
El uso de componentes principales permitió reducir la dimensionalidad del conjunto de datos, explicando más del 70% de la variabilidad total en las primeras tres dimensiones. Estas se asociaron principalmente a factores como el Valor de los activos, el Monto del préstamo y los Ingresos, lo que permitió identificar perfiles financieros compactos y diferenciados. Asimismo, los análisis de correspondencias simples y múltiples destacaron que categorías cualitativas como el Propósito del préstamo y el Estado laboral juegan un papel importante en la segmentación de los individuos, revelando patrones de comportamiento financiero que varían según los contextos personales y profesionales.
Por otro lado, los análisis de conglomerados, tanto jerárquicos como no jerárquicos, identificaron grupos homogéneos dentro del conjunto de datos, mostrando una clara diferenciación basada en variables clave como los Ingresos y la Puntuación crediticia. Estos hallazgos son relevantes para diseñar estrategias personalizadas de gestión del riesgo financiero. Sin embargo, se identificaron valores atípicos que, en algunos casos, afectaron la estabilidad de los análisis, subrayando la importancia de realizar un preprocesamiento adecuado para garantizar la fiabilidad de los resultados.
Finalmente, los modelos de regresión implementados evidenciaron relaciones significativas entre las variables cuantitativas y el riesgo financiero. Aunque los modelos mostraron una capacidad explicativa adecuada, la presencia de valores extremos limitó parcialmente la precisión en algunas estimaciones, resaltando la complejidad inherente al fenómeno estudiado. En conjunto, el trabajo mostró cómo el uso de técnicas multivariadas y herramientas como R y RStudio permiten una comprensión integral y detallada del riesgo financiero, facilitando el análisis de datos complejos con una alta eficiencia y trazabilidad técnica.
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Tucker, H. G. (1973). Introducción a la
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estadítica (1st ed.). VICENS-VIVES.
---
title: "**RMD_G5**"
subtitle: "Estudio de analisis multivariado con base en un conjunto de datos sobre riesgos financieros en perfiles individuales"
author: "Por: karen.floriano::laura.ortiz::herrera.isabel::@correounivalle.edu.co"
date: "Estudio hecho durante el periodo academico agosto-diciembre de 2024"
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<!-- Configuración Global de R -->
```{r setup, include=FALSE}
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library(tcltk)
library(aplpack)
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knitr::opts_chunk$set(echo=TRUE)

cdd_riesgo_financiero_G5 <- read_excel("C:/Users/DANIEL MAZUERA/Downloads/CURSO_GESTION DE DATOS_2024_G5/cdd_riesgo_financiero_G5.xlsx")
View(cdd_riesgo_financiero_G5)

cdd_riesgo_financiero_G5_depurado <- read_excel("C:/Users/DANIEL MAZUERA/Downloads/CURSO_GESTION DE DATOS_2024_G5/cdd_riesgo_financiero_G5_depurado.xlsx")
View(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado)

cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio <- read_excel("cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio.xlsx")
View(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio)

cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica <- read_excel("C:/Users/DANIEL MAZUERA/Downloads/CURSO_GESTION DE DATOS_2024_G5/cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica.xlsx")
View(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica)
```


## **Fase 1 [Descripciones Multivariantes]**

### **1.1. Objetivos**
En términos generales, esta primera etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones basadas en un conjunto de datos desde un enfoque de estadística descriptiva multivariante. Además, se incluirá una prueba de normalidad multivariada sobre los datos.

El conjunto de datos empleado es descrito en la sección 1. Los fundamentos teóricos provienen de notas de clase del curso Gestión de Datos dictado por el profesor Giancarlo Libreros Londoño para la carrera de Ingeniería Industrial (cohorte 2024-2). Además, se han utilizado los siguientes textos de referencia: Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias de Jay L. Devore [@PEDevore7ed], Bioestadística de Wayne W. Daniel [@BEDaniel4ed], Métodos Matemáticos de Estadística de Harald Cramer [@MMECramer1ed], Análisis Estadístico de Datos Multivariados de Luis Guillermo Díaz Monroy y Mario Alfonso Morales Rivera [@AEDMDiaz-Morales1ed], Análisis Multivariante de Joseph Hair, Rolph Anderson, Ronald Tatham y William Black [@AMHair-etAl5ed], Análisis Multivariante Aplicado con R de Joaquín Aldás y Ezequiel Uriel [@AMARAldas-Uriel2ed], Introducción a la Teoría Matemática de las Probabilidades y a la Estadística de Howard Tucker [@ITMPETucker1ed] y Análisis Multivariado: Estadística Multivariada Descriptiva de William David Aristizábal Rodríguez [@AMEDAristizabal2017].

Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea.

### **1.2. Descripción de los datos** {.tabset .tabset-pills}
El conjunto de datos de trabajo se obtuvo casi totalmente de *Kaggle: https://www.kaggle.com/datasets/preethamgouda/financial-risk*. Es conveniente anotar que **Kaggle* es una compañía subsidiaria de Google LLC que mantiene una comunidad online de científicos de datos y profesionales del aprendizaje automático. Esta empresa permite a sus usuarios encontrar y publicar conjuntos de datos, explorar y crear modelos en un entorno de ciencia de datos basado en la web, trabajar con otros científicos de datos e ingenieros de aprendizaje automático y participar en concursos para resolver desafíos de ciencia de datos.

### **Contexto del Conjunto de Datos**
El conjunto de datos, denominado "riesgo financiero," incluye información detallada sobre perfiles financieros individuales, como datos demográficos, financieros y de comportamiento, para evaluar el riesgo financiero.

### **Descripción del Conjunto de Datos** {.tabset .tabset-pills}
El conjunto de datos incluye 20 variables relevantes en la evaluación del riesgo financiero de individuos, proporcionando un análisis detallado de los factores demográficos, financieros y de comportamiento. Entre las variables cuantitativas de razón se encuentran Edad (Age), Ingresos (Income), Puntuación crediticia (Credit Score), Monto del préstamo (Loan Amount), Relación deuda-ingreso (Debt-to-Income Ratio) y Valor de los activos (Assets Value), cada una fundamental para el análisis financiero de precisión. Las variables cualitativas nominales, como Sexo (Gender), Propósito del préstamo (Loan Purpose) y Estado laboral (Employment Status), proporcionan categorías para entender mejor el perfil de riesgo según el contexto personal y profesional de cada individuo. Además, el Historial de pagos (Payment History) y la Calificación de riesgo (Risk Rating), clasificados de forma ordinal, permiten agrupar a los individuos por niveles de cumplimiento y riesgo. Este conjunto de datos también incorpora variables geográficas y de contexto, como Ciudad (City), Estado (State) y País (Country), que agregan capas contextuales relevantes en el análisis de patrones financieros.

- **Age (Edad)** (Cuantitativa::razón):La edad del individuo, medida en años completos. Esta variable influye en muchos aspectos del comportamiento financiero, como la estabilidad y la capacidad de asumir riesgos financieros. Al ser una variable continua con un cero absoluto (que representa la ausencia de edad), permite comparaciones y cálculos precisos.

- **Gender (Sexo)** (Cualitativa::nominal): Género del individuo, categorizado como : 0 que corresponde a el genero Masculino, 1 corresponde a Femenino y 2 a la categoria No binario. Esta variable no tiene un orden jerárquico, pero puede influir en el análisis de comportamiento financiero. Es una categoría relevante para analizar tendencias de equidad de género en el acceso a recursos financieros.

- **Education Level (Nivel educativo)** (Cualitativa::ordinal): Nivel más alto de educación alcanzado, categorizado como: 0 que corresponde a escuela secundaria, 1 corresponde a licenciatura o graduado, 2 a maestria y 3 corresponde doctorado. Este es un indicador importante del potencial de ingresos y las oportunidades laborales. A medida que el nivel educativo aumenta, tiende a haber una correlación positiva con la estabilidad financiera, la capacidad de obtener empleo y la capacidad de tomar decisiones financieras bien informadas. El nivel educativo tiene un orden jerárquico claro.

- **Marital Status (Estado civil)** (Cualitativa::nominal): Estado civil actual del individuo, categorizado como: 0 que corresponde a soltero, 1 a casado, 2 a divorciado y 3 corresponde a viudo. Esta variable puede influir en el comportamiento financiero, ya que el estado civil está relacionado con la cantidad de ingresos disponibles, las responsabilidades económicas y la estabilidad financiera. Aunque es una variable categórica, no tiene un orden implícito.

- **Income (Ingresos)** (Cuantitativa::razón): Ingreso anual en dólares estadounidenses (USD), que representa la capacidad de ingresos del individuo. Es una medida fundamental del bienestar financiero y la capacidad de cumplir con las obligaciones de deuda. Los ingresos altos generalmente están correlacionados con menores tasas de incumplimiento y mayor capacidad de ahorro. Al ser una variable cuantitativa de razón, permite realizar operaciones matemáticas precisas, como calcular promedios, rangos y diferencias.

- **Credit Score (Puntuación crediticia)** (Cuantitativa::razón): Valor numérico que indica la solvencia del individuo,   generalmente comprendido entre 600 y 800. Este valor es crucial para evaluar la capacidad de crédito y el riesgo asociado al individuo. Una puntuación alta indica un buen historial de pagos y menores probabilidades de incumplimiento, mientras que una puntuación baja refleja mayor riesgo.

- **Loan Amount (Monto del préstamo)** (Cuantitativa::razón): El monto del préstamo solicitado por el individuo, expresado en dólares. Esta variable refleja las necesidades financieras del solicitante. Los montos más grandes a menudo están asociados con mayores riesgos para la entidad financiera. Los préstamos más pequeños podrían implicar menos riesgo, pero también menos rentabilidad para el prestamista.

- **Loan Purpose (Propósito del préstamo)** (Cualitativa::nominal): El propósito del préstamo, categorizado en: 0 como Personal, 1 que corresponde a Vivienda, 2 a Auto y 3 corresponde a negocio. Puede influir en el análisis de riesgo, ya que ciertos tipos de préstamos (como los hipotecarios) suelen estar respaldados por activos que actúan como garantía, lo que los convierte en menos riesgosos. Los préstamos personales, por otro lado, pueden ser más riesgosos debido a la falta de activos que los respalden.

- **Employment Status (Estado laboral)** (Cualitativa::nominal): Situación laboral del individuo, que incluye las categorías de empleado, desempleado o autónomo, identificadas como 0, 1, 2 respectivamente. Esta variable proporciona información importante sobre la estabilidad financiera del solicitante. Los individuos empleados tienen generalmente mayor estabilidad en sus ingresos, mientras que los desempleados o autónomos pueden estar sujetos a fluctuaciones en sus ingresos 

- **Years at Current Job (Años en el trabajo actual)** (Cuantitativa::razón): Duración del empleo en el trabajo actual, medida en años. Esta variable refleja la estabilidad laboral del individuo. Un largo tiempo en un trabajo sugiere estabilidad financiera y es un indicador positivo en el análisis de crédito. Un tiempo corto podría indicar inestabilidad laboral y mayor riesgo de incumplimiento.

- **Payment History (Historial de pagos)** (Cualitativa::ordinal): Rendimiento histórico de los pagos del individuo, categorizado como: 0 que corresponde a Pobre, 1 que corresponde a Justo, 2 que corresponde a Bueno y 3 que corresponde a Excelente. Un historial excelente indica que el individuo ha cumplido consistentemente con sus obligaciones financieras, mientras que un historial pobre refleja un mayor riesgo de incumplimiento en el futuro.

- **Debt-to-Income Ratio (Relación deuda-ingreso)** (Cuantitativa::razón): Relación entre las deudas totales del individuo y sus ingresos anuales. Este indicador es crucial para medir el nivel de apalancamiento financiero y el riesgo de sobreendeudamiento. Una relación alta sugiere que el individuo está altamente endeudado en relación con sus ingresos, lo que aumenta el riesgo de incumplimiento

- **Assets Value (Valor de los activos)** (Cuantitativa::razón): Valor total de los activos que posee el individuo, expresado en dólares. Los activos pueden incluir propiedades, vehículos, inversiones y otros bienes tangibles. Un valor de activos alto indica mayor respaldo financiero y mayor capacidad para hacer frente a las deudas, disminuyendo el riesgo de incumplimiento.

- **Number of Dependents (Número de dependientes)** (Cuantitativa::razón): Número de personas que dependen económicamente del individuo. Este valor afecta las responsabilidades financieras del individuo.

- **City (Ciudad)** (Cualitativa::nominal): Ciudad de residencia del individuo, proporcionando un contexto geográfico que puede influir en las oportunidades económicas y los costos de vida. No hay un orden entre las ciudades y tiene valores unicos.

- **State (Estado)** (Cualitativa::nominal): Estado o provincia donde reside el individuo. Esto puede ser relevante para entender el contexto socioeconómico y las regulaciones locales que afectan el comportamiento financiero.

- **Country (País)** (Cualitativa::nominal): País de residencia del individuo. La residencia en diferentes países puede implicar diferencias significativas en cuanto a regulaciones financieras, tipos de interés y acceso al crédito y tiene valores únicos.

- **Previous Defaults (Incumplimientos anteriores)** (Cualitativa::ordinal): Número de impagos de préstamos anteriores, lo que indica un riesgo financiero histórico. Un mayor número de incumplimientos refleja un comportamiento de mayor riesgo para los prestamistas.

- **Marital Status Change (Cambio de estado civil)** (Cualitativa::nominal): Número de cambios en el estado civil del individuo, como un cambio de soltero a casado o de casado a divorciado. Los cambios en el estado civil pueden afectar el comportamiento financiero debido a cambios en las responsabilidades y los ingresos.

- **Risk Rating (Calificación de riesgo)** (Cualitativa::ordinal): Calificación que categoriza el riesgo financiero del individuo como: 0 que corresponde a Bajo, 1 que corresponde a Medio y 2 que corresponde a Alto. Esta variable se basa en varios factores, como el historial crediticio, los ingresos, los activos y la estabilidad laboral

#### Estructura del conjunto de datos original
```{r Estructura_del_conjunto_de_datos_original, fig.align = 'center'}
str(cdd_riesgo_financiero_G5)
```
#### Conjunto de datos original
```{r Conjunto_de_datos_original, fig.align = 'center'}
cdd_riesgo_financiero_G5
```
#### Estructura del conjunto de datos depurado
```{r Estructura_del_conjunto_de_datos_depurado, fig.align = 'center'}
str(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado)
```

#### Conjunto de datos depurado
```{r Conjunto_de_datos_depuradol, fig.align = 'center'}
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado
```

### **1.3. Estimaciones multivariadas** {.tabset .tabset-pills}
Como se menciona en [@AEDMDiaz-Moralesled], las metricas de tendencia central y dispersion, como la media, la desviacion estandar y la varianza, son esenciales para analizar el comportamiento general y la variabilidad en conjuntos de datos estadisticos. En el contexto de un analisis multivariante, estas medidas aplicadas a un conjunto de datos con varias variables numericas permiten una comprension mas profunda de las relaciones y el comportamiento posicional de las observaciones en el espacio de los datos.

El vector de medias proporciona el valor esperado de cada variable, lo que ayuda a identificar el punto central de cada distribucion dentro del conjunto de datos. Por su parte, la matriz de varianza-covarianza ofrece informacion sobre la dispersion de  cada variable en el diagonal principal y estima las relaciones lineales entre pares de variables en sus elementos fuera bde la diagonal. Esta estructura permite evaluar la asociacion y la variabilidad conjunta en el conjunto de datos. Para mas detalles, consulte [@AEDMDiaz-Moralesled].

Lo anterior, para el conjunto de datos de trabajo, se desarrolla en la [sección 1.3.](#sec1_3)
 $R$.

### **Planteamiento del problema**
Con base en el conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2), y dado que el análisis se centró en cinco de las ocho variables numéricas (en escala de medición de razón), se calcularán e interpretarán el vector de medias, la matriz de varianzas-covarianzas y la matriz de correlaciones para **Income¨**, **Credit Score**, **Loan Amount**, **Debt-to-Income Ratio** y **Assets Value**, ya que son las más relevantes para el análisis de riesgo financiero puesto que cada una de ellas ofrece información clave sobre la capacidad de pago, el perfil crediticio y la estabilidad financiera del individuo. Estas variables permiten construir una imagen detallada y multifacética del riesgo que cada persona representa para una institución financiera. Al comparar estas cinco variables con el resto (como **Age** , **Years at Current Job** y **Number of Dependents** ), se observa que las otras aportan menos directamente al cálculo del riesgo financiero. Aunque pueden complementar el análisis, su relación con la capacidad de pago y el comportamiento financiero es menos directa. Así, estas cinco variables constituyen una base sólida y prioritaria para un análisis enfocado en riesgo financiero.

<a name="sec1_3"></a>

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra el cálculo de los siguientes objetos: **Vector de Medias** $\bar x$, **Matriz de Varianzas-Covarianzas** $S$ y **Matriz de Correlaciones** $R$.

Con base en la pestaña **Vector de Medias y Boxplots** , se observa que las variables tienen distribuciones relativamente concentradas, excepto **Loan Amount** y **Debt-to-Income Ratio**, que muestran mayor variabilidad. **Assets Value** tiene una dispersión hacia valores altos, indicando un sesgo hacia la derecha, mientras que **Debt-to-Income Ratio** presenta un sesgo hacia valores bajos en la mayoría de los casos. No se detectan casos atípicos extremos y las medias son moderadas, lo cual sugiere una distribución equilibrada en general.

Con base en la pestaña **Matriz de Varianzas-Covarianzas** , se observa que **Income** y **Assets Value** presentan las mayores variaciones, lo que indica una alta dispersión en sus valores. Las covarianzas más destacadas son las positivas entre **Debt-to-Income Ratio** con **Income** y **Assets Value**, sugiriendo que estas variables tienden a aumentar en conjunto. Por otro lado, la relación entre **Credit Score** y **Loan Amount** es débilmente negativa. Para el caso, se pueden observar la gráfica multivariada mostrada en la pestaña **Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA]** de la [sección 1.4.](#sec1_4)

Con base en la pestaña **Matriz de Correlaciones**, se observa que las correlaciones entre las variables son en general bajas. Las relaciones más altas se encuentran entre **Debt-to-Income Ratio** y **Assets Value**(0,023), aunque sigue siendo una clasificación débil. Las demás correlaciones son cercanas a cero, lo que sugiere que las variables son casi independientes entre sí y que no existe una asociación significativa entre ellas en el contexto de riesgo financiero. Esto se puede revisar con más detalles en la [sección 1.4.](#sec1_4)

#### Vector de Medias y Boxplox
```{r Vector_de_Medias_y_Boxplox, fig.align= 'center'}
apply(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(1,2,3,4,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19,20)], 2, mean)

cdd_riesgo_financiero_G5_depurado_Reducido = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(1,2,3,4,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19,20)]
par(mfrow = c(1, ncol(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado_Reducido)))
invisible(lapply(1:ncol(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado_Reducido), function(i)
boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[, i])))
```

#### Matriz de varianzas- Covarianzas
```{r  Matriz_de varianzas_Covarianzas, fig.align= 'center'}
round(cov(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[, -c(1,2,3,4,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19,20)]), 1)
```
#### Matriz de Correlaciones
```{r Matriz_de_Correlaciones, fig.align= 'center' }
round(cor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[, -c(1,2,3,4,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19,20)]),2)
```
### **1.4. Gráficas multivariadas** {.tabset .tabset-pills}
En la guía de clase de Diaz y Morales [@AEDMDiaz-Morales1ed], se expone que los gráficos multivariados cumplen un rol fundamental en el análisis de datos al facilitar, en primer lugar, la visualización y comparación de diferentes categorías dentro de una población, y, en segundo lugar, al simplificar la interpretación de las relaciones entre varias variables. En esta línea, el conjunto de datos será complementado con tres tipos de representaciones gráficas: un diagrama que integra dispersión y correlación, otro basado en la visualización de polígonos para resaltar patrones y, finalmente, una representación de las relaciones en el espacio de datos mediante las caras de Chernoff.

### **Planteamiento del problema** 
Con base en el conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se calcularán e intepretarán, para las variables numéricas, las gráficas multivariadas de diagrama de correlaciones, matriz de diagrama de dispersión, diagrama de estrellas y caras de Chernoff. Se recuerda que las variables numéricas (en escalada de medición de razón) son: **Age**, **Income**, **Credit Score**, **Loan Amount**, **Years at Current Job**, **Debt-to-Income Ratio**, **Assets Value** y **Number of dependents**

<a name="sec4_2"></a>

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra las gráficas multivariadas de: **Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones** (sin agrupación SA y con agrupación CA (con base en las tres variables categóricas: Gender:GE, Marital Status:MS, Loan Purpose:LP, Employment Status: ES)), **Diagrama de Estrellas** y **Caras de Chernoff**.

Con base en la pestaña **Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA]**, se puede observar que las correlaciones entre las variables no superan valores de $0.1$, lo que sugiere una relación débil o nula entre las variables del conjunto de datos de riesgo financiero cdd_riesgo_financiero_G5_depurado . Las variables analizadas, como **Age**, **Income**, **Credit_Score**, **Loan_Amount**, **Assets_Value**, entre otras, muestran correlaciones menores a $0.02$, lo cual indica que no existe una relación lineal significativa entre ellas. Según la interpretación de datos en la [sección 2](#sec2), estas variables son relevantes en el contexto del análisis de riesgo financiero, ya que reflejan características sociodemográficas y financieras de los individuos. No obstante, la baja sugerencia sugiere que ninguna variable es particularmente influyente para predecir el comportamiento de otra dentro de este conjunto específico.

Complementariamente, con base en las pestañas **Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones** en sus versiones basadas en grupos a partir de las variables categóricas: **Gender**, **Marital Status**, **Loan Purpose** y **Employment Status**; se puede decir que las correlaciones entre **Gender** y variables financieras (como **Income** , **Credit_Score** , **Loan_Amount**) son bajas (menores a $0.1$), lo que indica que el género no tiene un impacto significativo en los niveles financieros. Las correlaciones entre **Marital Status** y variables financieras también son bajas (menores a $0.1$), lo que sugiere que el estado civil no influye de forma relevante en los indicadores financieros del análisis de riesgo.  La variable categórica **Loan Purpose** muestra que los puntos están dispersos sin agrupaciones claras en torno a valores específicos, sugiriendo que el propósito del préstamo no tiene una relación evidente con estas variables. Las distribuciones de cada variable muestran concentraciones en ciertos rangos, pero no parecen estar influenciadas significativamente por el propósito del préstamo.  la variable **Employment Status** se muestra en relación con variables financieras como **Income**, **Credit Score** y **Loan Amount**. Los valores de correlación entre las variables son bajos, lo que indica poca o nula relación lineal entre ellas. Los puntos de color están distribuidos de manera uniforme y sin agrupaciones claras en los gráficos de dispersión, lo que sugiere que el estado laboral no tiene una influencia significativa sobre estas variables financieras.

Con base en la pestaña **Diagrama de estrellas** sugiere que el perfil de riesgo financiero de los individuos está fuertemente influenciado por variables como **Income**, **Credit Score** y **Age**. Individuos con mayores ingresos y mejores puntajes de crédito tienden a presentar menor riesgo. Además, se observa una posible relación positiva entre **Income** y **Credit Score**, y una relación negativa entre **Age** y **Number of Dependents**. Estos hallazgos indican que el nivel de ingresos y la historial crediticio son factores clave a considerar al evaluar el riesgo financiero de un individuo.

Complementariamente a los diagramas de estrellas, la pestaña **Caras de Chernoff** muestra que las caras 8, 19 y 22, por ejemplo, comparten características como ojos pequeños, bocas grandes y expresion faciles mas asombrados lo que sugiere un perfil de inversión conservador e indican una mayor disposicion a asumir riesgos financieros.  Esto compagina con lo mostrado en el **Diagrama de Estrellas**.

Por último, es relevante mencionar que las evidencias descriptivas expuestas en este apartado estén en contra de considerar que el conjunto de datos limitado a las variables numéricas tenga una distribución normal multivariada. Esto se estudia en la [sección 1.5.](#sec1_5).

#### Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones[SA]
```{r Diagrama_conjunto_de_Dispersion_Distribucion_y_correlaciones, fig.align = 'center'}
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[, -c(2, 3, 4, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20)])

```

#### Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones [CA:GE]
```{r Diagrama_Conjunto_de_Dispersion_Distribucion_y_Correlaciones_GENDER, fig.align = 'center'}
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender <- factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, levels = c(0,1,2), labels = c("M", "H", "N"))
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado, columns = c(1,5,6,7,10,12,13,14), aes(color = Gender, alpha =0.5), upper = list(continuos = wrap("cor", size = 0.1)))
```

#### Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones [CA:MS]
```{r Diagrama_Conjunto_de_Dispersion_Distribucion_y_Correlaciones_MARITAL_STATUS, fig.align = 'center'}
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status <- factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status, levels = c(0,1,2,3), labels = c("S", "M", "D", "W"))
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado, columns = c(1,5,6,7,10,12,13,14), aes(color = Marital_Status, alpha =0.5), upper = list(continuos = wrap("cor", size = 0.1)))
```

#### Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones [CA:LP]
```{r Diagrama_Conjunto_de_Dispersion_Distribucion_y_Correlaciones_LOAN_PURPOSE, fig.align = 'center'}
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose <- factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose, levels = c(0,1,2,3), labels = c("P", "H", "A", "B"))
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado, columns = c(1,5,6,7,10,12,13,14), aes(color = Loan_Purpose, alpha =0.5), upper = list(continuos = wrap("cor", size = 0.1)))
```

#### Diagrama conjunto de Dispersion, Distribucion y correlaciones [CA:ES]
```{r Diagrama_Conjunto_de_Dispersion_Distribucion_y_Correlaciones_EMPLOYMENT_STATUS, fig.align = 'center'}
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status <- factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, levels = c(0,1,2), labels = c("E", "U", "S"))
ggpairs(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado, columns = c(1,5,6,7,10,12,13,14), aes(color = Employment_Status, alpha =0.5), upper = list(continuos = wrap("cor", size = 0.1)))
```

#### Diagrama de Estrellas
```{r  Diagrama_de_Estrellas, fig.align = 'center'}
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado= 
cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1: nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),23),-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]
stars(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado, len = 1, cex = 0.4, key.loc = c(10, 2), draw.segments = TRUE)
```

#### Caras de chernoff
```{r Caras_de_chernoff, fig.align='center'}
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1: nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),23),-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]
faces(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado)
```
### **1.5. Normalidad multivariada** {.tabset .tabset-pills}
Según lo explicado por [@AEDMDiaz-Morales1ed], para identificar el tipo de distribución multivariada de un conjunto de datos, se pueden utilizar métodos descriptivos, como gráficos, y métodos inferenciales, como pruebas estadísticas. Los métodos inferenciales ofrecen una generalización de los resultados obtenidos, mientras que los descriptivos ayudan a visualizar y comprender los datos de manera preliminar.

En esta sección, se aplicarán métodos inferenciales para determinar si el conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada (DNM) en función de sus variables numéricas. Se aplicarán varias pruebas de normalidad multivariada (PNM), incluyendo las pruebas de Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen y Royston, con un nivel de significancia de $\alpha =0.05$ y bajo las siguientes hipótesis:$$H_0: \text {Las variables tienen una DNM}$$ $$H_1: \text {Las variables NO tienen una DNM}$$.

La **prueba de Mardia** se enfoca en la asimetría y curtosis, utilizando la distancia de Mahalanobis. En este caso, el estadístico de asimetría se distribuye aproximadamente como $\chi^2$, mientras que el de curtosis sigue una distribución normal. Más detalles sobre estos estadísticos se encuentran en [@AEDMDiaz-Morales1ed].

La **prueba de Henze-Zirkler** se basa en una métrica funcional y, en caso de una distribución normal multivariada, el estadístico se aproxima a una lognormal, cuyos parámetros pueden consultarse en [@AEDMDiaz-Morales1ed].

La **prueba de Doornik-Hansen** emplea la asimetría y curtosis en datos transformados para asegurar su independencia. Considerada más potente en ciertos contextos que la prueba de Shapiro-Wilk, su estadístico se distribuye como $\chi^2$. Para detalles adicionales, consulta [@AEDMDiaz-Morales1ed].

La **prueba de Royston** usa Shapiro-Wilk o Shapiro-Francia según la curtosis de los datos, aplicando Shapiro-Francia en distribuciones leptocúrticas y Shapiro-Wilk en platicúrticas. Los parámetros se calculan mediante aproximaciones polinomiales. Más información está disponible en [@AEDMDiaz-Morales1ed].

### **Planteamiento del Problema**
Con base en el conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se hará una prueba estadística de normalidad multivariada, con un nivel de significancia $\alpha=0.05$, para establecer si sus datos métricos provienen de una población normal multivariada. Se recuerda que las variables numéricas del conjunto de datos (en escalada de medición de razón) son: **Age**, **Income**, **Credit Score**, **Loan Amount**, **Years at Current Job**, **Debt-to-Income Ratio**, **Assets Value** y **Number of dependents**, Pero en esta caso excluiremos tambien la variable **Debt-to-Income Ratio**, que aunque sea cuantitativa de escala razon, su formato de numero que se encuentra en el conjunto de datos no es compatible para la prueba de Mardia, la prueba de Henze-Zirkler, la prueba de Doornik-Hansen y la prueba de Royston.

### **Desarrollo del analisis** {.tabset .tabset-pills}
La **PNM de Mardia** establece que si ambas pruebas (para asimetría y curtosis) indican una normalidad multivariante, los datos siguen una DNM con un nivel de significancia $\alpha=0.05$; sin embargo, el caso tratado es contrario a esto. Obsérvese a través de la pestaña **PNM Mardia** que es probable que la prueba de curtosis de Mardia no respalde la normalidad multivariada, Ya que todas las variables presentan valores de curtosis negativos, indicando que las distribuciones son más planas en comparación con la normal (platicúrticas). Los valores de asimetría están muy cerca de cero, lo que sugiere que las distribuciones son bastante simétricas. Además, aunque las asimetrías están cerca de 0, la curtosis platicúrtica en sí misma podría llevar a la conclusión de que los datos no cumplen completamente con los requisitos de una DNM.

La **PNM de Henze-Zirkler** indica que el estadístico de prueba no sigue una distribución lognormal, ya que el valor $p-value$ menor que el nivel de significancia $\alpha=0.05$. Esto se puede observar en la pestaña **PNM Henze-Zirkler**. De acuerdo con el contrarrecíproco de la implicación presentada en la descripción de la prueba en la [sección 1.5.](#sec1_5) , no existen suficientes evidencias para considerar que el conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada.

La **PNM de Doornik-Hansen** establece que su estadístico de prueba no sigue una distribución aproximadamente $\chi^2$ dado que su $p-value$ es menor que el nivel de significancia $\alpha=0.05$, obsérvese esto a través de la pestaña **PNM Doornik-Hansen**. Por lo tanto, las evidencias están lejos de apoyar que el conjunto de datos sigue una DNM.

La **PNM de Royston**, en este caso, no se cumple completamente en relación con los datos, ya que algunos valores $p-value$ son mayores que el nivel de significancia $\alpha=0.05$, lo cual implica que ciertas variables (como **Age** , **Credit Score** , **Loan Amount** , **Assets Value** y **Number of Dependents** ) no rechazan la hipótesis nula de normalidad univariante. Sin embargo, otras variables ( **Income** y **Years at Current Job** ) tienen valores $p-value$ menores a $\alpha=0.05$, rechazando así la hipótesis de normalidad en esas variables individuales. Por lo tanto, dado que no todas las variables numéricas cumplen con la condición de normalidad, no se puede concluir que el conjunto de datos en su totalidad sigue una distribución normal multivariada (DNM).


#### PNM Mardia
```{r PNM_Mardia, fig.align = 'center'}
mvn(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,12,15,16,17,18,19,20)], mvnTest="mardia")
```


#### PNM Henze-Zirkler
```{r PNM_Henze_Zirkler, fig.align = 'center'}
mvn(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,12,15,16,17,18,19,20)], mvnTest="hz")
```

#### PNM Doornik-Hansen
```{r PNM_Doornik_Hansen, fig.align = 'center'}
mvn(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,12,15,16,17,18,19,20)], mvnTest="dh")
```

#### PNM Royston
```{r PNM_Royston, fig.align = 'center'}
mvn(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),23),-c(2,3,4,8,9,11,12,15,16,17,18,19,20)], mvnTest="royston")
```

## **Fase 2 [Componentes principales]**

### **2.1. Objetivos**

En términos generales, esta segunda etapa de estudio presentará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en la fase [1](#sec1), pero ahora desde un enfoque de análisis de componentes principales sobre las variables cuantitativas del estudio de riesgo financiero, que incluirá: selección de componentes principales, análisis de la calidad de representación, contribuciones relativas e interpretación de los resultados obtenidos.

Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo está descrito en la [sección 2](#sec2) y los referentes teóricos en la [sección 1](#sec1).

Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, el dia miercoles 11 de diciembre de 2024.

<a name="sec7"></a>

### **2.2. Selección de Componentes** {.tabset .tabset-pills}
Como se menciona en el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed], el Análisis de Componentes Principales (ACP) es una técnica para reducir la cantidad de variables en un conjunto de datos multivariado sin necesidad de asumir una distribución de probabilidad específica. Esta reducción se logra mediante combinaciones lineales de las variables originales, creando componentes principales que maximizan la variabilidad total y son estadísticamente independientes y no correlacionadas entre sí.

El proceso del ACP incluye generar nuevas variables a partir de las originales, reducir la dimensión del espacio de datos seleccionando solo los componentes que explican un porcentaje relevante de la variabilidad, eliminar las variables de baja contribución y, finalmente, interpretar los componentes en el contexto del problema de estudio. Estas fases se desarrollan en las secciones  [2.2](#sec2_2), [2.3](#sec2_3) y [2.4](#sec2_4).
 
### **Planteamiento del problema**
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2), el primer paso en el Análisis de Componentes Principales (ACP) es calcular el porcentaje de varianza explicado por cada componente, lo cual permite evaluar el aporte de cada uno a la representación de los datos originales. Para decidir cuántos componentes retener, se pueden aplicar criterios como el autovalor medio o el diagrama de sedimentación. Estos métodos ayudan a seleccionar los componentes más relevantes, simplificando el análisis al preservar la máxima variabilidad informativa del conjunto de datos. Se recuerda que las variables numéricas (en escalada de medición de razón) son: **Age**, **Income**, **Credit Score**, **Loan Amount**, **Years at Current Job**, **Debt-to-Income Ratio**, **Assets Value** y **Number of dependents**.

### **Desarrollo del analisis** {.tabset .tabset-pills}
La exploración de las pestañas revela que el conjunto de datos, en lo que respecta a sus variables numéricas, puede ser representado por un conjunto reducido de variables que retiene una proporción significativa de la variabilidad total. En particular: 

La **Matriz ACP** revela ocho dimensiones, donde solo la primera dimensión retiene un porcentaje considerablemente mayor de la variabilidad en comparación con las siguientes. Esta diferencia indica que la combinación lineal que define a la primera dimensión tiene una representatividad mucho más alta que las demás dimensiones. Dado que esta matriz no proporciona una interpretación directa en relación con las variables originales, se continúa el análisis para identificar cuáles variables contribuyen más a la dimensión asociada con el valor propio más alto.

La **Matriz de Correlaciones** permite profundizar en las descripciones de las combinaciones lineales que conforman la dimensión de mayor interés: la dimensión 1. Como se mostró en la [sección 1.3.](#sec1_3), esta matriz facilita la verificación de que las correlaciones son más intensas y siempre positivas entre variables clave como **Age**, **Income**, **Credit Score**, **Loan Amount**, **Years at Current Job**, **Debt-to-Income Ratio**, **Assets Value** y **Number of Dependents**. Esto resulta coherente con el contexto del análisis de riesgo financiero, donde se espera que estas variables contribuyan significativamente a la combinación lineal que define la primera dimensión.

La pestaña de **Valores y Vectores Propios** presenta los elementos calculados a partir de la matriz de correlaciones del conjunto de datos. Esto garantiza que los valores propios reflejan la variabilidad total del conjunto, facilitando así el cálculo inmediato de las proporciones de retención de variabilidad. Además, la matriz de vectores propios asigna a cada componente, en relación con cada variable del conjunto, los coeficientes que definen su combinación lineal. Por ejemplo, la componente 1 se puede describir como una combinación lineal de variables estandarizadas, como **Age**, **Income**, **Credit Score**, **Loan Amount**, **Years at Current Job**, **Debt-to-Income Ratio**, **Assets Value** y **Number of Dependents**. Hasta este punto, se observa que el número de componentes es igual al número de variables tratadas, con la ventaja de que estas nuevas componentes son incorreladas entre sí, como se muestra en la pestaña **Correlaciones Comparadas**.

Por último, el **Gráfico de Cattell** y el **Gráfico de Cattell-Kaiser** facilitan la elección de una componente que retiene suficiente variabilidad para abordar el problema. Sin embargo, es importante señalar que se sugiere elegir en función de criterios más comúnmente utilizados, en lugar de criterios de aceptación universal. El **Gráfico de Cattell** muestra que los cambios en la pendiente reflejan una alta capacidad explicativa de la dimensión 1 en comparación con las demás. De manera similar, el **Gráfico de Cattell-Kaiser**, al combinar este enfoque gráfico con el criterio de Kaiser, apoya la decisión de retener una sola dimensión, asegurando que esta elección mantenga un porcentaje adecuado de variabilidad para el estudio del problema.

#### Matriz ACP
```{r Matriz_ACP, fig.align='center'}
get_eigenvalue(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], ncp = 4, scale.unit = TRUE, graph = F))
```


#### Matriz de correlaciones
```{r Matriz_de_correlaciones, fig.align='center'}
round(cor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]),2)
```


#### Valores y Vectores Propios
```{r Valores_y_Vectores_Propios, fig.align = 'center'}
princomp(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], cor = TRUE)$sdev^2
princomp(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], cor = TRUE)$loadings[ ,1:6]
```


#### Correlaciones Comparadas
```{r Correlaciones_Comparadas, fig.align='center'}
par(mfrow=c(1,2))
corrplot::corrplot(cor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
corrplot::corrplot(cor(princomp(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], cor = TRUE)$scores), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
```


#### Gráfico de Cattell
```{r  Grafico_de_Cattell, fig.align = 'center'}
fviz_eig(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], scale.unit = T, graph = F), addlabels = T, ylim=c(0,90), main = "")
```


#### Gráfico de Cattell-Kaiser
```{r Grafico_de_Cattell_Kaiser, fig.align = 'center'}
scree(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)],factors = FALSE, pc = TRUE, main ="")
```

### **2.3. Calidad de Representación** {.tabset .tabset-pills}
Al revisar el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed], se observa que, tras la reducción de la dimensionalidad del conjunto de datos y al comprender que las variables (estandarizadas) se representan gráficamente como proyecciones en la hiperesfera de correlaciones, es fundamental iniciar la interpretación de los componentes. Esta interpretación debe comenzar con el análisis de las correlaciones, seguido por la evaluación de la calidad de las representaciones resultantes de la reducción dimensional en relación con las variables originales.

### **Planteamiento del problema**
A partir del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2), es fundamental llevar a cabo una evaluación detallada de la calidad de representación de las variables cuantitativas. Esto implica analizar cómo cada una de las dimensiones calculadas contribuye a la captura de la variabilidad presente en los datos. En particular, se debe prestar atención a aquellas dimensiones que retienen la mayor cantidad de variabilidad, ya que esto es crucial para comprender la estructura subyacente del conjunto de datos. Para un análisis más profundo, se recomienda consultar la [sección 2.2](#sec2_2). Se recuerda que las variables numéricas (en escala de medición de razón) son: **Age**, **Income**, **Credit Score**, **Loan Amount**, **Years at Current Job**, **Debt-to-Income Ratio**, **Assets Value** y **Number of dependents**.

### **Desarrollo del analisis** {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas revela que la reducción de la dimensionalidad del conjunto de datos permite analizar las calidades de representación en términos de una escala de contribuciones relativas. Esta escala se basa en un cociente de proyecciones que presenta propiedades aditivas y de respuesta en una escala continua que varía entre 
$0$ y $1$. Esto implica que cada variable cuantitativa puede ser evaluada en función de su importancia en la representación de las dimensiones seleccionadas, proporcionando así una visión más clara de cómo cada variable contribuye a la variabilidad total del conjunto de datos. Esta metodología no solo facilita la identificación de las variables más influyentes, sino que también mejora la interpretación de los componentes principales, permitiendo un entendimiento más profundo de las interrelaciones entre las variables. Asi en particular:

El **Círculo de Correlaciones** permite visualizar cómo se comportan las variables en relación con la primera dimensión. Se observa que esta dimensión presenta correlaciones positivas con las ocho variables de interés, posicionándose cercanas a la frontera del círculo unitario y al eje que la representa, lo que indica una fuerte relación entre ellas. En contraste,  las variables **Credit_Score**, **Debt_to_Income_Ratio**, **Income**, **Loan_Amount**, **Number_of_Dependents** y **Years_at_Current_Job** muestran una oposicion respecto a las demás, sugiriendo un comportamiento diferenciado. Además, es importante destacar la correlación entre pares de variables, que, en el contexto del fenómeno estudiado, mantiene la naturaleza correlacional esperada hasta este punto del análisis.

La **Matriz de Representación** revela que los valores del cociente de proyecciones en relación con la dimensión 4 son notablemente altos, lo que indica que los puntos proyectados están fuertemente asociados con este componente. En la pestaña que muestra la **Calidad de Representación**, vemos que el mínimo valor está en el rango bajo (color azul/verde) para algunas variables, como **Loan_Amount** y **Years_at_Current_Job**. Esto indica que estas variables no están tan bien representadas en las dimensiones mostradas (Dim1 y Dim2) en comparación con otras. Las calidades de representación, en relación con la componente 1, estan lideradas por **Debt_to_Income_Ratio**, mientras que **Years_at_Current_Job**
muestra la menor asociación. Es relevante señalar que en la Dimensión 2 (Dim2), la variable que proporciona una mejor representación en comparación con otra es **Credit_Score**, mientras **Assets_Value** tiene una menor representación en esta dimension.  

Por ultimo, las **Coordenadas Individuales** son una herramienta útil, aunque más compleja de interpretar, para identificar los perfiles de los registros, en este caso, los estudiantes, en relación con las dimensiones más relevantes de la retención de variabilidad: las componentes 1 y 2. Por ejemplo, al analizar los registros 1, 3, 7 y 13, se pueden observar similitudes entre los registros 1 y 13, contrastando con las diferencias que presentan con los registros 3 y 7. Esta observación sugiere que los registros 1 y 13 comparten características comunes, mientras que los registros 3 y 7 se comportan de manera distinta, lo que puede ser clave para comprender mejor los perfiles de los estudiantes en función de estas dimensiones.


#### Circulo de correlaciones
```{r Circulo_de_Correlaciones, fig.align = 'center'}
fviz_pca_var(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], scale.unit = T, graph = F),col.var="#3B83BD", repel = T, col.circle = "#CDCDCD", ggtheme = theme_bw())
```

#### Matriz de Representación
```{r Matriz_de_Repressentacion_COS2, fig.align = 'center'}
(get_pca_var(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$cos2
```

#### Calidad de Representación
```{r  Calidad_de_la_Representacion, fig.align = 'center'}
fviz_pca_var(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), col.var="cos2", gradient.cols=c("#00AFBB","#E7B800","#FC4E07"), repel = TRUE)
```

#### Coordenadas Individuales
```{r Coordenadas_Registros, fig.align = 'center'}
head((PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))$ind$coord, n = 23L)
```


### **2.4. Contribuciones y Bitplots** {.tabset .tabset-pills}
Según [@AEDMDiaz-Morales1ed], a partir de las coordenadas obtenidas tras reducir la dimensión de los registros, es posible ubicarlos en un plano de factores para facilitar su análisis e interpretación. En este plano, las variables reducidas representan los componentes principales, que se grafican como ejes, y los valores obtenidos son los puntajes de estos componentes. Como se detalla en el mismo estudio, las distancias entre los puntos definidos por estos puntajes permiten identificar similitudes en los perfiles de las observaciones realizadas. No obstante, los valores similares pueden ocurrir solo en ciertas variables y no necesariamente en todas. Así, se espera que las distancias entre observaciones en el espacio original estén adecuadamente reflejadas en el espacio reducido de componentes.

### **Planteamiento del Problema**
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 1](#sec1) se demanda definir e interpretar sus componentes principales.

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}
La **Matriz de Contribuciones¨** refleja la contribución relativa de cada variable a la explicación de la variabilidad en cada una de las dimensiones principales. Este enfoque permite analizar, por ejemplo, cómo variables como **Debt_to_Income_Ratio** y **Assets_Value** presentan una alta contribución en las primeras dimensiones, mientras que variables como **Number_of_Dependents** y **Years_at_Current_Job** tienen una menor influencia en la construcción de estos componentes principales.

La navegación a través de las pestañas permite visualizar gráficos y matrices que, junto con los análisis de las secciones anteriores, fortalecen la interpretación de las dimensiones calculadas en el análisis de riesgo financiero. Como se detalló en la [sección 2.2.](#sec2_2), se seleccionaron ocho dimensiones, siendo la primera la que retiene la mayor parte de la variabilidad, lo que indica su alta representatividad en la estructura de los datos. Esta primera dimensión, que concentra el valor propio más alto, sugiere que agrupa una combinación lineal de variables con gran influencia en el análisis. En el círculo de correlaciones de la [sección 2.3.](#sec2_3), se observa que las variables presentan correlaciones positivas con la primera dimensión ($0$ y $1$), colocándose cerca de la frontera del círculo unitario, lo cual denota una fuerte relación entre ellas en este contexto. Esto implica que las variables, en conjunto, configuran un índice que podría interpretarse como un indicador general de solvencia financiera. Sin embargo, variables como **Credit_Score** , **Debt_to_Income_Ratio** , **Income** , **Loan_Amount** , **Number_of_Dependents** y **Years_at_Current_Job** muestran un comportamiento diferenciado en contraste con las demás, sugiriendo la existencia de relaciones específicas entre ciertos factores financieros.

Las pestañas **Biplot de Variables y Registros Totales** en **Gender**, **Marital_Status**, **Loan_Purpose** y **Employment_Status** permiten observar, mediante la representación en un plano de factores, cómo se agrupan las observaciones en función de estas categorías. En el caso de **Gender**, se pueden identificar patrones y relaciones entre los grupos, donde ciertas agrupaciones muestran diferencias en la distribución de las observaciones en el espacio de las dimensiones. De manera similar, en la visualización categorizada por **Marital_Status** , es posible notar variaciones en las posiciones de las observaciones, lo que sugiere que el estado civil tiene una influencia en la distribución de los datos en el plano. Ambos biplots destacan las relaciones de cada variable en las dos primeras dimensiones, Dim1 y Dim2 , con valores porcentuales de varianza explicada de $15.7$ $\%$ y $14.6$ $\%$, respectivamente. La disposición de variables como **Debt_to_Income_Ratio** , **Credit_Score** y **Loan_Amount** en estas dimensiones sugiere que estas variables tienen un papel significativo en la configuración de las dimensiones y en la agrupación de observaciones según las categorías analizadas. En el caso de **Loan_Purpose** , se observa que las diferentes agrupaciones de propósitos de préstamos presentan patrones distintivos de dispersión en el plano, lo que indica que esta variable influye en la distribución de los registros y en su relación con otras variables relevantes. Por ultimo, la categorización por **Employment_Status** muestra cómo el estado de empleo impacta en la posición de las observaciones en el espacio de factores. Se pueden notar diferencias sutiles en las agrupaciones que corresponden a cada estado de empleo, destacando la relación entre esta variable y las dimensiones principales, con un especial énfasis en **Debt_to_Income_Ratio**, **Assets_Value** y **Loan_Amount**. Ambos gráficos reflejan cómo Dim1 y Dim2 capturan un $15.7$ $\%$ y un $14.6$ $\%$ de la variabilidad total, respectivamente, lo que permite inferir que, aunque la reducción dimensional conserva una parte de la información relevante, todavía quedan aspectos de las relaciones entre variables por explorar. en dimensiones adicionales.

#### Matriz de Contribuciones
```{r Matriz_de_Contribuciones, fig.align = 'center'}
(get_pca_var(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[,-c(2,3,4,8,9,11,15,16,17,19,20)], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F)))$contrib
```
#### Biplot de Variables y Registros[filtro: Gender]
```{r  Biplot_de_Variables_y_Registros_filtro_Gender, fig.align='center'}
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),200),-c(3,4,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]

fviz_pca_biplot(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado[,], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = "Gender"), axes = c(1,2), repel = TRUE, habillage = "Gender")
```

#### Biplot de Variables y Registros[filtro: Marital Status]
```{r  Biplot_de_Variables_y_Registros_filtro_Marital_Status, fig.align='center'}
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),200),-c(2,3,8,9,11,15,16,17,18,19,20)]

fviz_pca_biplot(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado[,], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = "Marital_Status"), axes = c(1,2), repel = TRUE, habillage = "Marital_Status")
```

#### Biplot de Variables y Registros[filtro: Loan Purpose]
```{r  Biplot_de_Variables_y_Registros_filtro_Loan_Purpose, fig.align='center'}
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),200),-c(2,3,4,9,11,15,16,17,18,19,20)]

fviz_pca_biplot(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado[,], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = "Loan_Purpose"), axes = c(1,2), repel = TRUE, habillage = "Loan_Purpose")
```

#### Biplot de Variables y Registros[filtro: Employment Status]
```{r  Biplot_de_Variables_y_Registros_filtro_Employment_Status, fig.align='center'}
set.seed(780729)
cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado[sample(1:nrow(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado),200),-c(2,3,4,8,11,15,16,17,18,19,20)]

fviz_pca_biplot(PCA(cdd_riesgo_financiero_G5t_Muestreado[,], ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = "Employment_Status"), axes = c(1,2), repel = TRUE, habillage = "Employment_Status")
```

## **Fase 3 [Correspondencias]**

### **3.1. Objetivos**
En términos generales, esta tercera etapa de estudio presentará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en las fases [1](sec1) y [2](#fase2),pero ahora desde un enfoque de análisis de correspondencias simples y múltiples sobre las variables cualitativas del estudio de riesgo financiero, que incluirá: construcción de tablas de contingencias y disyuntivas completas, análisis de la calidad de representación, contribuciones relativas e interpretaciones de los resultados obtenidos.

Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo es descrito en la [sección 2](#sec2) y los referentes teóricos en la [sección 1](#sec1).

Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, el dia miercoles 11 de diciembre de 2024.

<a name="sec11"></a>

### **3.2. Correspondencias Simples** {.tabset .tabset-pills}

Según el trabajo de [@AMARAldas-Uriel2ed], el análisis de correspondencias simples (ACS) busca representar en un espacio de pocas dimensiones la relación entre las categorías de un par de variables categóricas. Este enfoque permite observar la distancia entre los niveles de dos variables categóricas, facilitando la visualización de tablas de contingencia. Además, el número máximo de dimensiones que pueden explicar la asociación entre las filas y columnas es uno menos que el número más bajo de categorías en cualquiera de las dos variables.

El análisis de correspondencias, por tanto, permite describir la proximidad entre los perfiles de los elementos observados. El ACS, basado en tablas de contingencia, puede extenderse para analizar más de dos variables categóricas, lo cual se denomina análisis de correspondencias múltiples (ACM), y se fundamenta en una estructura llamada tabla disyuntiva completa.

Esta sección aborda el análisis de correspondencias simples aplicándolo a pares de variables categóricas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) Por su parte, la [seccion 3](#sec3) presenta el análisis de correspondencias múltiples utilizando las variables categóricas de este mismo conjunto de datos.

### **Planteamiento del Problema**
A partir de las variables cualitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2), se requiere realizar un análisis de correspondencias, comenzando con el análisis simple. Este se apoyará en tablas de contingencia y frecuencias relativas, así como en gráficos de perfiles y de puntos superpuestos en el primer plano factorial.

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas permite visualizar matrices y gráficos que refuerzan la interpretación del análisis de correspondencias simples (binario) entre cada par de variables categóricas en el conjunto de datos: **Gender**, **Employment_Status** y **Loan_Purpose**. Aunque la variable **Marital_Status** también es categórica, hemos decidido no incluirla, ya que consideramos que las otras variables son más relevantes para evaluar el riesgo financiero, aunque puede influir en ciertos patrones de consumo o decisiones financieras, su impacto es generalmente indirecto y menos predecible en comparación con las otras 3 variables. Dado que el número de variables categóricas es bajo, se realiza el análisis de correspondencias simples en las tres combinaciones posibles entre estas variables.

La pestaña **AC Parejas Totales** agrupa los cálculos para todas las combinaciones de parejas de variables. En particular, en Tablas de Contingencias se hacen las siguientes lecturas a partir de las tablas de contingencia: En la tabla de contingencia **Gender** vs. **Employment_Status** se encontró que, de un total de 1910 personas con estatus laboral "0", 627 son de género "0", 639 de género "1" y 644 de género "2". En cuanto a las personas con estatus laboral "1", que totalizan 1948, 614 son de género "0", 643 de género "1" y 637 de género "2". Finalmente, entre las personas con estatus laboral "2", que suman 1916, 611 son de género "0", 666 de género "1" y 635 de género "2". En la tabla de contingencia **Gender** vs. **Loan_Purpose** se observó que, de un total de 1852 personas con propósito de préstamo "0", 448 son de género "0", 469 de género "1" y 521 de género "2". Para las 1948 personas con propósito de préstamo "1", 479 son de género "0", 462 de género "1" y 477 de género "2". Por último, entre las 1916 personas con propósito de préstamo "2", 463 son de género "0", 493 de género "1" y 433 de género "2". En la tabla de contingencia **Employment_Status** vs. **Loan_Purpose** se puede determinar que, de las 1910 personas con estatus laboral "0", 457 tienen propósito de préstamo "0", 471 tienen propósito "1" y 495 tienen propósito "2". Entre las personas con estatus laboral "1", que totalizan 1894, 497 tienen propósito de préstamo "0", 433 tienen propósito "1" y 481 tienen propósito "2". Finalmente, entre las 1912 personas con estatus laboral "2", 484 tienen propósito de préstamo "0", 461 tienen propósito "1" y 501 tienen propósito "2".

Tomando como base las tablas de contingencia descritas previamente, se presentan en la pestaña **Probabilidades** las proporciones relativas de los pares de variables examinadas. A continuación, se exponen algunas lecturas representativas: En la tabla de probabilidades **Gender** vs. **Employment_Status**, $10.97$ $\%$  del total de individuos pertenece al género "0" y posee un estatus laboral "0"; además, el $11.18$ $\%$ del total presenta estatus laboral "1" dentro del mismo género, y el $11.27$ $\%$ tiene estatus laboral "2" en el mismo grupo. En contraste, el $11,15$ $\%$ corresponden a individuos de género "1" con estatus laboral "0", y el $11.65$ $\%$ de este mismo género está en el estatus laboral "2". En la tabla de probabilidades **Gender** vs. **Loan_Purpose**, el $8.21$ $\%$ del total corresponde a personas del género "1" cuyo propósito de préstamo es "0"; asimismo, el $8.38$ $\%$ de este grupo reporta un propósito de préstamo "1" y el $8.10$ $\%$ un propósito "2". A su vez, en el género "2", el $9.17$ $\%$ tiene propósito de préstamo "1" y el 8,44% corresponde a propósito "2". Por último, en la tabla de probabilidades **Employment_Status** vs. **Loan_Purpose**, el $8.00$ $\%$ del total de individuos con estatus laboral "0" reporta un propósito de préstamo "2"; además, el $8.24$ $\%$ del estatus "1" tiene un propósito "1", mientras que el $8.76$ $\%$ de los individuos en el estatus laboral "2" presentan propósito de préstamo "2".

Con base en las tablas de frecuencias condicionadas por filas (CPF) y por columnas (CPC) en la pestaña **Frecuencias [CPF y CPC]**, se presentan los siguientes análisis ejemplares: En la matriz de frecuencias CPF de **Gender** vs **Employment_Status**, el $32.80$ $\%$ de los individuos de género "1" tiene un estatus laboral "0"; mientras que el $34.19$ $\%$ de este grupo posee un estatus laboral "2". Al observar la misma matriz pero condicionada por columnas, el $33.01$ $\%$ de los individuos con estatus laboral "1" pertenece al género "0", y el $33.63$ $\%$ de los individuos en el mismo estatus pertenece al género "2". En la matriz de frecuencias CPF de **Gender** vs. **Loan_Purpose**, el $24.08$ $\%$ de los individuos de género "1" tiene propósito de préstamo "0"; además, el $26.90$ $\%$ de este grupo presenta un propósito de préstamo "3". En cuanto a la matriz CPC de estas mismas variables, el $33.95$ $\%$ de las personas con propósito de préstamo "2" pertenece al género "1", mientras que el $34.83$ $\%$ está en el género "2". Finalmente, en la matriz de frecuencias CPF de **Employment_Status** vs. **Loan_Purpose**, el $25.40$ $\%$ de los individuos con estatus laboral "1" tiene un propósito de préstamo "0"; por otro lado, el $22,86$ $\%$ en el mismo estatus tiene un propósito "2". Según la misma matriz pero condicionada por columnas, el $31.73$ $\%$ de las personas con propósito de préstamo "2" poseen estatus laboral "1", mientras que el $34.06$ $\%$ de los individuos en este propósito tiene estatus laboral "2".

Con base en las matrices de perfiles condicionados por filas y columnas (CPF y CPC) presentadas en la pestaña **Perfiles [CPF y CPC]** , se exponen los siguientes análisis sobre las distribuciones marginales en los gráficos de perfiles comparados con un perfil promedio, etiquetado como **marg**. Los perfiles fila y columna que corresponden con las variables **Gender** y **Employment_Status** muestran distribuciones marginales relativamente cercanas entre sí. Por ejemplo, en los perfiles fila, la proporción de individuos de género "0" que tienen un estatus laboral "2" es similar al perfil promedio, mientras que en los perfiles columna, la proporción de personas con estatus laboral "1" y género "1" se aproxima también a la distribución marginal. En cuanto a los perfiles fila y columna de las variables *Gender** y **Loan_Purpose** , se observa una cercanía en sus distribuciones marginales. En los perfiles fila, el porcentaje de personas de género "2" con propósito de préstamo "3" es comparable con el promedio, y en los perfiles columna, la proporción de individuos con propósito de préstamo "0" pertenecientes al género "1" mantiene una distribución similar al perfil promedio. Por último, los perfiles fila y columna correspondientes a **Employment_Status** y **Loan_Purpose** presentan cierta variación en las distribuciones marginales. Por ejemplo, en los perfiles fila, la proporción de personas con estatus laboral "0" y propósito de préstamo "2" difiere del promedio, mientras que en los perfiles columna, las personas con propósito de préstamo "3" y estatus laboral "2 " muestra una distribución que se aparta del perfil promedio.

Con base en los resultados de las pruebas de hipótesis, se puede anticipar que los pares de variables categóricas **Género** vs. **Employment_Status** y **Employment_Status** vs. **Loan_Purpose** son independientes. Este juicio se apoya en $p-valor$ obtenidos en las pruebas de hipótesis, visualizados en la pestaña correspondiente. Para estas pruebas, con un nivel de significancia $\alpha = 0.05$, se formularon las siguientes hipótesis:$$H_0: \text {Las variables categóricas son independientes}$$ $$H_1: \text {las variables categóricas son dependientes}$$ En el caso del par **Gender** vs. **Employment_Status** , el $p-valor$ fue 0.9311, claramente superior al nivel de significancia, lo cual sugiere independencia entre estas variables. Asimismo, para el par **Employment_Status** vs. **Loan_Purpose** , el $p-valor$ de 0.1904 indica que también es razonable asumir independencia. Sin embargo, el par de variables **Gender** vs. *Loan_Purpose** mostró un $p-valor$ de 0.0716, que si bien no es menor que el nivel de significancia $\alpha = 0.05$, se encuentra relativamente cercano, lo cual podría sugerir una posible relación dependiente débil entre estas variables, aunque no lo suficiente como para rechazar $H_0$. Comparativamente, los valores del estadístico $\chi^2$ no alcanzaron niveles que indican una dependencia significativa. Por lo tanto, los pares de variables que continuaron en análisis fueron aquellos con los resultados más claros de independencia.

A través de la pestaña **AC Pareja Única** se despliegan las sub-pestañas relacionadas con el análisis de correspondencias de la pareja de variables seleccionadas, en este caso las variables **Employment_Status** y **Loan_Purpose**. En **Contingencias y Residuales [ES-LP]** (ES: Employment_Status y LP: Loan_Purpose) se pueden observar las tablas de contingencias, valores esperados y residuales para esta pareja de variables. Es posible visualizar que los recuentos observados y los recuentos esperados bajo la hipótesis nula para cada categoría presentan ciertas discrepancias, lo cual sugiere una posible dependencia entre estas variables. En este contexto, los valores "rango_observado" representan los recuentos reales para cada combinación de categoría, mientras que los valores "rango_esperado" son los recuentos proyectados bajo la hipótesis de independencia. Además, el análisis de los residuos de Pearson y los residuos estandarizados revela que las mayores desviaciones en relación con los valores esperados ocurren principalmente en ciertas combinaciones. En particular, el propósito de préstamo en la categoría 2 (con un residual estandarizado de 2.018 en el grupo 0 de **Employment_Status**) y en la categoría 1 (con un residual estandarizado de -1.785 en el grupo 1 de **Employment_Status**) muestran desviaciones notables. Estas desviaciones indican que algunas categorías de propósito de préstamo están sobre o subrepresentadas en relación con el estatus de empleo de los solicitantes. Asimismo, en la sub-pestaña **Contribuciones [ES-LP]** se puede observar que algunas combinaciones específicas contribuyen de manera significativa a la variabilidad total del conjunto, mientras que otras, como la combinación del propósito de préstamo 3 con los diferentes estados de empleo, muestran contribuciones menores y tienen un impacto reducido en la estructura de dependencia del conjunto de datos.

Por último, el resultado definitivo del análisis de correspondencias simple se presenta en la sub-pestaña **Correspondencia Simple Unidimensional [ES-LP]**. En este apartado, se observa que la primera dimensión captura el $62.27$ $\%$ de la variabilidad total, lo cual sugiere una representación adecuada de la relación entre las variables en un solo eje. Esto indica que una interpretación bidimensional no es factible, pero sí es posible realizar una evaluación unidimensional. Al analizar las coordenadas proyectadas, las categorías de la variable **Employment_Status** y **Loan_Purpose** se agrupan en diferentes extremos del eje. Por ejemplo, la categoría 2 de **Loan_Purpose** tiene una alta contribución a la primera dimensión, en contraste con las categorías 0 y 1, que presentan una contribución más equilibrada entre ambas dimensiones. Asi mismo, las contribuciones y los valores de coseno cuadrado reflejan la relevancia de cada categoría en la formación de la dimensión principal. Las categorías con mayores contribuciones son aquellas que aportan significativamente a la varianza unidimensional. Esto nos permite interpretar asociaciones relevantes: categorías que están en un mismo lado del eje sugieren una relación positiva, mientras que aquellas en extremos opuestos reflejan asociaciones negativas. En conclusion, el análisis unidimensional revela patrones significativos de relación entre las variables **Employment_Status** y **Loan_Purpose**, proporcionando una representación simplificada que destaca las contribuciones clave y las asociaciones dominantes en el conjunto de datos.

Dado que la representación gráfica bidimensional fue irrealizable, se presenta en la [sección 3.3.](#sec3_3) el análisis de correspondencias múltiples para lograrla.

#### **Analisis de correspondencias Parejas Totales** {.tabset .tabset-pills}

##### Tablas de contingencia 
```{r Tablas_de_contingencia, fig.align='center'}
addmargins(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))
addmargins(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))
addmargins(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))
```
##### Probabilidades 
```{r Probabilidades, fig.align='center'}
addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)))*100
addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)))*100
addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)))*100
```
##### Frecuencias [CPF y CPC]
```{r Tablas_de_Frecuencias_Condicionadas, fig.align = 'center'}
round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status), 1)*100, 2), 2)
round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status), 2)*100, 1), 2)

round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), 1)*100, 2), 2)
round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), 2)*100, 1), 2)

round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), 1)*100, 2), 2)

round(addmargins(prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), 2)*100, 1), 2)
```
##### Perfiles [CPF y CPC]
```{r Graficos_de_Perfiles, fig.align = 'center'}
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status),"row")
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status),"col")

plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose),"row")
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose),"col")

plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose),"row")
plotct(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose),"col")
```
#### Pruebas de Hipótesis
```{r Pruebas_de_Correspondencia, fig.align = 'center'}
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))
```

#### **Analisis de correspondencias Pareja Unica** {.tabset .tabset-pills}

##### Contingencias y Residuales [ES-LP]
```{r Contingencias_y_Residuales, fig.align = 'center'}
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$observed
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$expected 
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$residuals
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$stdres

```
##### Contribuciones [ES-LP]
```{r  Contribuciones_R-UR, fig.align = 'center'}
chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$residuals^2/chisq.test(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))$statistic*100
```
##### Correspondencia Simple Unidimensional [ES-LP]
```{r Biplot_Correspondencia_Simple_R-UR, fig.align = 'center'}
CA(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), graph = FALSE)$eig
CA(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), graph = FALSE)$col
CA(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose), graph = FALSE)$row
```
<a name="sec12"></a>

### **3.3. Correspondencias Múltiples** {.tabset .tabset-pills}
Siguiendo el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed], se plantea que el Análisis de Correspondencias Simples (ACS) puede extenderse desde el uso de tablas de contingencia hacia tablas disyuntivas completas. Estas últimas organizan en sus filas los objetos estudiados y en sus columnas las modalidades de las variables categóricas de interés. De esta manera, el Análisis de Correspondencias Múltiples (ACM) se entiende como una extensión del ACS, aplicado específicamente a tablas disyuntivas completas. En el contexto del ACM, cada variable categórica clasifica a los objetos de una población asignándoles una modalidad que permite particionarlos de manera exclusiva y exhaustiva.

Esta sección desarrolla el ACM como una extensión necesaria para superar las limitaciones del ACS expuestas en la [sección 3.2](#sec3_2), donde se evidenció que la representación unidimensional de los datos no era adecuada para proyectar las relaciones entre variables categóricas que cumplían con la hipótesis de dependencia. Por tanto, el tratamiento conjunto de todas las variables categóricas a través del ACM busca obtener una representación clara en el primer plano factorial, facilitando una interpretación más completa y robusta.

### **Planteamiento del Problema**
A partir de las variables cualitativas descritas en la [sección 2](#sec2), se plantea realizar un análisis de correspondencias múltiples con el objetivo de obtener una representación gráfica en el primer plano factorial. Esto se justifica debido a las limitaciones del análisis de correspondencias simples, el cual no permitió alcanzar dicha representación de manera adecuada.

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos matriciales y gráficos que ayudan a desarrollar e interpretar el análisis de correspondencias múltiple (ACM) entre las variables categóricas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2).

En el análisis de correspondencias múltiples, el **ACM** realizado con las variables categóricas seleccionadas del conjunto de datos **Gender**, **Marital Status**, **Loan Purpose**, **Employment Status**, **Payment History** y **Risk Rating**, los resultados evidencian una distribución uniforme de la varianza entre las dimensiones. Esto se refleja en los valores propios (eigenvalues) obtenidos, donde las primeras dimensiones presentan porcentajes de varianza explicada muy bajos, como un $0.58%$ para la primera dimensión y un acumulado de apenas $6.70%$ para las primeras 12 dimensiones. Este patrón destaca la alta multidimensionalidad del conjunto de datos y sugiere que no hay una concentración significativa de la varianza en las primeras dimensiones. Por lo tanto, la interpretación del ACM requiere un análisis del espacio multidimensional completo, dado que las relaciones entre los perfiles de las variables categóricas no pueden ser representadas adecuadamente en pocas dimensiones. Además, se optó por no incluir las variables **City**, **State** y **Country** en este análisis debido al elevado número de categorías que presentan. Incluirlas habría incrementado la complejidad del modelo, dificultando su manejo y la interpretación de los resultados en un conjunto de datos tan extenso. Estos hallazgos contrastan con el análisis de componentes principales **ACP** realizado en la [sección 3.2](#sec3_2), donde la unidimensionalidad del espacio latente facilitaba la interpretación. En cambio, el **ACM** subraya la necesidad de explorar una mayor cantidad de dimensiones para comprender adecuadamente la estructura del conjunto de datos.

En la pestaña **Biplot ACM** se presentan las relaciones entre perfiles de individuos, representados por puntos azules, y las categorías de las variables, indicadas en rojo. Las posiciones en el gráfico están determinadas por las coordenadas respecto a las dimensiones principales, Dim1 y Dim2, que explican respectivamente el 0.6% y el 0.6% de la varianza total. Esto sugiere que las dos primeras dimensiones capturan una proporción muy pequeña de la variabilidad en los datos, lo que limita la interpretación de las asociaciones en este plano bidimensional. Sin embargo, se pueden observar ciertos patrones relevantes: algunas categorías de las variables muestran una proximidad a grupos específicos de individuos, indicando posibles asociaciones entre ellos. Por ejemplo, se identifican grupos cercanos a determinadas categorías, lo que permite visualizar vínculos entre los perfiles y sus características. Es importante considerar que gran parte de la variabilidad no está representada en este gráfico, y podría requerirse el análisis de dimensiones adicionales para comprender completamente las relaciones en el conjunto de datos.

La pestaña **Calidad de Representación ACM** resalta las categorías mejor representadas dentro del análisis de correspondencias múltiples (ACM). Según el gráfico, las categorías de las variables que están más alejadas del origen del plano factorial presentan una mayor calidad de representación, ya que sus coordenadas están mejor definidas en las dimensiones principales. Por otro lado, las categorías ubicadas cerca del origen indican una baja calidad de representación, lo que refleja que no están bien representadas en este espacio reducido.El gradiente de colores, que va desde azul hasta naranja, ilustra visualmente los valores de calidad de representación, medidos por el coeficiente cos2. Las categorías más relevantes están asociadas con valores altos de cos2, mientras que las de menor relevancia tienen valores bajos, siendo identificadas con colores cercanos al naranja. Este comportamiento refuerza que las dimensiones seleccionadas capturan de manera desigual la varianza de ciertas categorías.

La pestaña **Contribuciones** muestra cómo las categorías aportan a las cinco primeras dimensiones del plano factorial, destacando patrones relevantes en características financieras, demográficas y ocupacionales. En la Dimensión 1, las categorías más influyentes incluyen **Auto**, **Female**, y **Unemployed**, seguidas de **Male**, **Employed**, y **Poor**, todas por encima de la línea media de contribución. Estas categorías reflejan una combinación de características demográficas y financieras. En contraste, valores como ciertas categorías numéricas tienen menor impacto, quedando por debajo de la línea de referencia. En la Dimensión 2, sobresalen categorías relacionadas con calificaciones y estados laborales, como **Fair**, **Excellent**, y **Personal**, así como aspectos residenciales y personales, como **Home** y **Widowed**. Por otro lado, algunas categorías numéricas presentan contribuciones menores, indicando una influencia reducida en esta dimensión. La Dimensión 3 está dominada por contribuciones de categorías demográficas como **Non-binary**, **Divorced**, y **Widowed**, que destacan por encima de la línea media. También aportan significativamente variables financieras y de género, como **Auto**, **High**, y **Female**, mientras que otras categorías numéricas muestran una menor relevancia. En la Dimensión 4, las principales categorías incluyen **Male** y **Non-binary**, seguidas de **Self-employed**, **Good**, y **Employed**, que reflejan características ocupacionales y demográficas. Sin embargo, categorías como **Poor**, **Married**, y ciertos valores numéricos quedan por debajo del umbral medio de contribución. Finalmente, en la Dimensión 5, destacan principalmente **Poor** y **High**, que representan condiciones económicas y superan significativamente la línea de referencia. También contribuyen categorías como **Home**, **Divorced**, y **Self-employed**, mientras que otras categorías numéricas aportan de manera limitada.

La pestaña  **Biplot con Contribuciones** muestra la distribución de las categorías de las variables en los dos primeros ejes factoriales, Dim1 (0.6%) y Dim2 (0.6%), indicando la variabilidad explicada por cada dimensión. Las flechas y etiquetas representan las categorías, mientras que el color gradiente de las mismas (del azul al rojo) señala su contribución relativa a la formación de estos ejes, siendo el rojo los valores con mayor contribución.

#### ACM
```{r ACM, fig.align = 'center'}
round(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE)$eig,2)
```

#### Biplot ACM
```{r Biplot_ACM, fig.align = 'center'}
fviz_mca_biplot(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), repel = TRUE)
```

#### Calidad de Representación ACM
```{r Calidad_de_representacion_ACM, fig.align = 'center'}
fviz_mca_var(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), col.var ="cos2", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE)$var$cos2
```

#### Contribuciones
```{r Contribuciones_ACM, fig.align = 'center'}
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 1, top = 15)
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 2, top = 15)
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 3, top = 15)
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 4, top = 15)
fviz_contrib(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 5, top = 15)
```

#### Biplot con Contribuciones
```{r Biplot_con_Contribuciones_ACM, fig.align = 'center'}
fviz_mca_var(MCA(cdd_riesgo_financiero_G5[1:5717, -c(1,3,5,7,10,12,13,14,15,16,17,18,19)], graph = FALSE), col.var ="contrib", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
```


## **Fase 4 [Conglomerados]**

### **4.1. Objetivos**
En términos generales, esta cuarta etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en las fases [1](#sec1), [2](#fase2) y [3](#fase3), pero ahora desde un enfoque de análisis de conglomerados en versión jerárquica (dendogramas) y no-jerárquica (K-medias).

Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo está descrito en la [sección 2](#sec2) y los referentes teóricos en la [sección 1](#sec1).

Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, el dia miercoles 11 de diciembre de 2024.

<a name="sec13"></a>

### **4.2. Agrupación Jerárquica** {.tabset .tabset-pills}

Según [@AEDMDiaz-Morales1ed], quienes se refieren al trabajo de Everitt (1980) titulado Cluster Analysis , describen los conglomerados como áreas continuas dentro de un espacio que contienen una alta concentración de puntos, separados entre sí por regiones con una baja concentración de puntos. Para identificar estas áreas, se han propuesto métodos como los jerárquicos. Estos comienzan calculando una matriz de distancias entre los objetos a analizar, formando grupos mediante un proceso de aglomeración. Este proceso empieza con conglomerados individuales (el caso inicial trivial) y avanza hasta formar un único conglomerado total (el caso final trivial). Durante este proceso, se realizan fusiones y divisiones de grupos, estableciendo jerarquías basadas en las similitudes entre los objetos, que pueden representarse gráficamente mediante un dendograma.

### **Planteamiento del Problema**
A partir de las variables cuantitativas descritas en la [sección 2](#sec2) , se solicita realizar un análisis de conglomerados utilizando agrupaciones jerárquicas representadas mediante dendogramas. Esto implica clasificar los objetos de estudio empleando métodos aglomerativos como el del vecino más cercano, el más lejano y el método de unión por promedio, todos basados en la distancia euclidiana.

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}
El uso de las pestañas facilita la visualización de matrices y gráficos que apoyan el desarrollo y la interpretación del análisis de conglomerados entre las variables cuantitativas mencionadas en la [sección 2](#sec2).

Con el propósito de analizar el conjunto de datos relacionados con riesgos financieros de forma más precisa, y exclusivamente con fines académicos, se realizaron varias modificaciones al conjunto inicial. No fue necesario agregar una variable categórica artificial, ya que se utilizó la variable existente **State** , que registra el estado de residencia de las personas incluidas en el conjunto de datos. Este campo sirvió como clasificador para los análisis posteriores. En cuanto a las modificaciones adicionales, todas las variables cuantitativas del conjunto fueron estandarizadas en una escala de $0$ a $1$, lo que permitió homogeneizar las unidades de medida y facilitar el análisis comparativo entre variables. Posteriormente, se aplicó un filtro que segmentó los datos por la variable **State** , calculándose los promedios de las variables cuantitativas para cada estado registrado. El resultado de esta transformación puede observarse en la tabla generada en la pestaña **Campo Clasificador**, donde se detallan los primeros registros del conjunto procesado. Finalmente, la estructura del conjunto de datos modificado, con las primeras observaciones y variables relevantes, está documentada en la pestaña **Conjunto Modificado**, lo que permitió llevar a cabo un análisis de cabo más específicos y enfocados. Esta transformación asegura la coherencia y validez del conjunto para estudios de riesgo financiero y análisis de conglomerados en este contexto.

La pestaña **Disimilaridad** visualiza las distancias entre las categorías de la variable clasificadora **State** utilizando una escala de colores. En el gráfico de calor, se observan distancias entre los registros de los estados, donde los tonos más intensos (naranjas) indican mayores niveles de disimilaridad, mientras que los tonos más claros (azules) reflejan menor disimilaridad o mayor proximidad entre las observaciones. Por ejemplo, los estados como **MN (Minnesota)** , **NV (Nevada)** y **UT (Utah)** destacan por tener valores significativamente distantes respecto a otros registros, sugiriendo que estas categorías podrían formar conglomerados separados en un análisis jerárquico. En contraste, estados como **CA (California)** , **TX (Texas)** y **AZ (Arizona)** muestran menores diferencias entre sí, lo que podría anticipar su agrupación en conglomerados cercanos. El patrón general del gráfico refuerza la importancia de considerar estas distancias al analizar los conglomerados o al interpretar las jerarquías propias de las categorías, especialmente al evaluar las características financieras asociadas a cada estado.

La pestaña **Optimización de Mojena** presenta, de forma separada, el número óptimo de conglomerados jerárquicos que se deben formar para maximizar los resultados en términos de similitud interna y diferencia entre grupos. Según la estrategia del vecino más cercano (**Unión Simple**), el número ideal de conglomerados es ocho. De manera similar, la estrategia del vecino más lejano (**Unión Completa**) también sugiere ocho conglomerados, mientras que la estrategia de **Unión Promedio** propone siete. Cada uno de estos números de conglomerados se vincula con su correspondiente dendrograma para su representación visual.

Efectivamente, en la pestaña **Dendogramas Optimizados** se avalan gráficamente las menciones hechas en el párrafo sobre **Disimilaridad]**. Por ejemplo, en el gráfico de calor se destacan distancias significativas entre estados como MN (Minnesota), NV (Nevada) y UT (Utah), lo que anticipa su agrupación en conglomerados separados. En contraste, los estados CA (California), TX (Texas) y AZ (Arizona) muestran menores diferencias, reflejadas en su proximidad jerárquica en los dendogramas. En el **Enlace Simple**, se observa que los conglomerados definidos a un nivel de similitud de aproximadamente $2.3$ presentan distancias de aglomeración muy cercanas, lo que dificulta discernir claramente los conglomerados finales. Este método es menos eficiente para separar categorías con disimilaridades intermedias, como NV y UT, ya que sus distancias se encuentran en niveles cercanos al corte horizontal. Por otro lado, el **Enlace Completo** y el **Enlace Promedio** ofrecen jerarquías más robustas al presentar distancias de aglomeración más altas. En el **Enlace Completo**, a un nivel de similitud cercano a $5.0$, se identifican tres conglomerados formados por 10, 3 y 15 observaciones, contadas de izquierda a derecha. Este método resulta especialmente útil para diferenciar categorías como MN y UT, que aparecen en conglomerados separados debido a sus altas disimilaridades. En el **Enlace Promedio** a un nivel de similitud superior a $4.0$, se visualizan cuatro conglomerados compuestos por 5, 2, 8 y 13 observaciones. Este enfoque intermedio equilibra la influencia de los valores extremos, facilitando la interpretación de los grupos. En ambos casos, si los dendogramas se cortan a niveles más altos de similitud, resultan menos conglomerados con mayores niveles de cohesión interna. Sin embargo, si los cortes se realizan a niveles más bajos, se obtienen conglomerados más numerosos con menor cohesión interna. Este balance confirma la relevancia del cálculo del número óptimo de conglomerados y refuerza la importancia de las distancias jerárquicas visualizadas previamente en la pestaña Disimilaridad.

#### Campo Clasificador
```{r Campo_Clasificador, fig.align = 'center'}
head(as.data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio))
```

#### Conjunto Modificado
```{r Campo_Modificado, fig.align = 'center'}
head(as.data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio))
```

#### Disimilaridad
```{r Disimilaridad, fig.align = 'center'}
data_ = as.data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio)[, -c(9)]
rownames(data_) = unclass(cdd_riesgo_financiero_G5_State_promedio$State)
fviz_dist(get_dist(data_, stand = T, method = "euclidean"), gradient = list(low = "#00AFBB", mid = "white", high = "#FC4E07"))
```

#### **Optimización de Mojena**  {.tabset .tabset-pills}

##### Unión Simple
```{r Union_Simple, fig.align = 'center'}
hc_single = hclust(get_dist(data_, stand = T, method = "euclidean"), method = "single")

mojena = function(hc){
  n_hd = length(hc$height)
  alp_g = 0 ; alpha = hc$height[n_hd:1]
  for(i in 1:(n_hd-1)){
    alp_g[i] = mean(alpha[(n_hd-i+1):1])+1.25*sd(alpha[(n_hd-i+1):1])
  }
  nog = sum(alp_g<= alpha[-n_hd]) + 1
  plot(alpha[-n_hd], pch=20, col=(alp_g>alpha[-n_hd])+1, main = paste("Optimal number of groups =",nog),
       ylab = expression(alpha[g]), xlab="Nodes")}

mojena(hc_single)
```

##### Unión Completa
```{r Union_Completa, fig.align = 'center'}
hc_complete = hclust(get_dist(data_, stand = T, method = "euclidean"), method = "complete")

mojena = function(hc){
  n_hd = length(hc$height)
  alp_g = 0 ; alpha = hc$height[n_hd:1]
  for(i in 1:(n_hd-1)){
    alp_g[i] = mean(alpha[(n_hd-i+1):1])+1.25*sd(alpha[(n_hd-i+1):1])
  }
  nog = sum(alp_g<= alpha[-n_hd]) + 1
  plot(alpha[-n_hd], pch=20, col=(alp_g>alpha[-n_hd])+1, main = paste("Optimal number of groups =",nog),
       ylab = expression(alpha[g]), xlab="Nodes")}

mojena(hc_complete)
```

##### Unión Promedio
```{r Union_Promedio, fig.align = 'center'}
hc_average = hclust(get_dist(data_, stand = T, method = "euclidean"), method = "average")

mojena = function(hc){
  n_hd = length(hc$height)
  alp_g = 0 ; alpha = hc$height[n_hd:1]
  for(i in 1:(n_hd-1)){
    alp_g[i] = mean(alpha[(n_hd-i+1):1])+1.25*sd(alpha[(n_hd-i+1):1])
  }
  nog = sum(alp_g<= alpha[-n_hd]) + 1
  plot(alpha[-n_hd], pch=20, col=(alp_g>alpha[-n_hd])+1, main = paste("Optimal number of groups =",nog),
       ylab = expression(alpha[g]), xlab="Nodes")}

mojena(hc_average)
```

#### **Dendogramas Optimizados** {.tabset .tabset-pills}

##### Enlace Simple
```{r Enlace_Simple, fig.align = 'center'}
suppressWarnings(fviz_dend(hc_single, k = 3, cex = 0.5, k_colors = "npg", color_labels_by_k = T, rect = T))
```

##### Enlace Completo
```{r Enlace_Completo, fig.align = 'center'}
fviz_dend(hc_complete, k = 3, cex = 0.5, k_colors = "npg", color_labels_by_k = T, rect = T)
```

##### Enlace Promedio
```{r Enlace_Promedio, fig.align = 'center'}
fviz_dend(hc_average, k = 4, cex = 0.5, k_colors = "npg", color_labels_by_k = T, rect = T)
```

<a name="sec14"></a>

### **4.3. Agrupación No-Jerárquica** {.tabset .tabset-pills}

En el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed], se explica que los métodos de agrupamiento no jerárquicos, o de partición, se basan en la definición inicial de una partición del conjunto de datos. Esta partición genera subconjuntos, a los que se les calcula sus respectivos centroides. Luego, cada observación se asigna al conglomerado cuyo centroide esté más próximo. Posteriormente, se recalculan los centroides de los conglomerados, y el proceso se repite de manera iterativa. Este procedimiento continúa hasta que las observaciones no cambien de conglomerado. A diferencia de los métodos jerárquicos, en este enfoque una observación puede cambiar de grupo a lo largo del proceso.

En este estudio, el método no jerárquico que se aplicará al conjunto de datos será el de *K*-medias. Este método organiza un conjunto de objetos $n$ en $k$ grupos, seleccionando los centroides que minimizan la distancia euclidiana entre los objetos y sus respectivos centroides. Cada objeto se asigna al grupo cuyo centroide esté más cerca, con el objetivo de redistribuir las observaciones en grupos que presenten la menor variabilidad posible.

### **Planteamiento del Problema**

Utilizando las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2), se solicita realizar un análisis de conglomerados empleando el método no jerárquico de *K*-medias. Además, se debe generar una representación gráfica de las agrupaciones, distinguiendo cada grupo mediante codigos de colores.

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}

La navegación entre las pestañas facilita la visualización de matrices y gráficos que apoyan el desarrollo e interpretación del análisis de conglomerados basado en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2).

Como el método de *K*-medias requiere la especificación del número de conglomerados que se generarán, resulta indispensable determinarlo previamente y que además sea el mejor posible. A través de la pestaña **K-óptimos** se accede a las sub-pestañas de resultado de los cálculos de K-óptimos con base en los métodos de codo (**Elbow**), silueta (**Silhouette**), brecha (**Gap**) y mayoría (**Majority Rule**). En el metodo de codo (**Elbow**), se observa que el número óptimo de conglomerados es 3. Este resultado fue determinado al identificar el punto en el que la disminución del Total Within Sum of Square (variación total dentro de los grupos) comienza a estabilizarse, indicando que tres agrupamientos logran minimizar la variabilidad interna de manera eficiente. En el método de silueta (**Silhouette**), se evaluó la calidad de los agrupamientos mediante el ancho promedio de la silueta. El gráfico generado indica que el número óptimo de conglomerados es 7, ya que en este punto se alcanza el valor máximo del ancho promedio, lo que sugiere una mejor cohesión y separación entre los grupos. En el método de brecha (**Gap Statistic**), se determinó el número óptimo de conglomerados al maximizar la estadística de brecha, lo que indica que la estructura del agrupamiento está claramente separada de una distribución aleatoria uniforme. Según el gráfico generado, el número óptimo de conglomerados es 1. En el método de mayoría (**Majority Rule**), al analizar las combinaciones de número de conglomerados y medidas de distancia, se determinó que el número óptimo es 2, según los gráficos presentados. El gráfico de la izquierda muestra una disminución constante en los valores del índice Dindex conforme aumenta el número de conglomerados, mientras que el gráfico de la derecha presenta las segundas diferencias de Dindex, con fluctuaciones que respaldan esta elección del número óptimo de conglomerados. Por consiguiente, el análisis de conglomerados continuó con la representación gráfica de los agrupamientos utilizando dos y tres conglomerados como referencia. En la pestaña **Resultados K-means**, se presentan los resultados para estos números óptimos de agrupamientos, incluyendo las cantidades de observaciones, las ubicaciones de los centroides de los conglomerados, el vector de agrupamiento y la medida de la calidad de la clasificación (cohesión interna en relación con la separación externa). Cabe destacar que esta medida es más cercana a uno cuando se emplea un modelo basado en tres conglomerados.

Por ultimo, la pestaña **Gráficos K-means** presenta los resultados de los conglomerados utilizando dos y tres como números óptimos de agrupamientos. En el plano factorial, que explica una fracción significativa de la variabilidad de los datos, se observa cómo los agrupamientos se redistribuyen al pasar de tres a dos centroides. En este caso, la reasignación de conglomerados muestra que el grupo representado por el conglomerado 3 (en el modelo con tres agrupamientos) es absorbido por los otros dos clusters cuando se utiliza el número óptimo de dos conglomerados. Este comportamiento respalda la elección de dos conglomerados como óptimos, dado que la cohesión interna mejora considerablemente sin afectar de forma significativa la separación externa. Además, esta redistribución refleja una mayor homogeneidad dentro de los conglomerados, al tiempo que conserva una estructura clara entre ellos. Sin embargo, algunos puntos específicos podrían requerir un análisis más detallado, como casos particulares que podrían afectar la calidad general de los agrupamientos. En este sentido, podría considerarse la implementación de métodos alternativos, como el método de K-medioides, para manejar posibles valores atípicos y refinar la estructura de los conglomerados.

#### **K-óptimos** {.tabset .tabset-pills}

##### Elbow
```{r WSS, fig.align = 'center'}
fviz_nbclust(data_, kmeans, method = "wss") + geom_vline(xintercept = 3, linetype = 2)
```

##### Silhouette
```{r Silhouette, fig.align = 'center'}
fviz_nbclust(data_, kmeans, method = "silhouette")
```

##### Gap Statistic
```{r Gap_Statistic, fig.align = 'center'}
fviz_nbclust(data_, kmeans, method = "gap_stat")
```

##### Majority Rule
```{r Majority_Rule, fig.align = 'center'}
suppressWarnings(NbClust(data = data_, diss = NULL, distance = "euclidean", min.nc = 2, max.nc = 10, method = "kmeans")$Best.nc)
```

#### **Resultados K-means** {.tabset .tabset-pills}

##### K-óptimo [2]
```{r Sil_Ma_Rul_2, fig.align = 'center'}
set.seed(780728)
print(kmeans(data_, 3, nstart = 25))
```

##### K-óptimo [Elb 3]
```{r Elb, fig.align = 'center'}
set.seed(780728)
print(kmeans(data_, 4, nstart = 25))
```

#### **Gráficos K-means** {.tabset .tabset-pills}

##### K-óptimo [Sil_Ma_Rul_2]
```{r Graf_Sil_Ma_Rul, fig.align = 'center'}
fviz_cluster(kmeans(data_, 3, nstart = 25), data = data_, palette = c("#2E9FDF", "#00AFBB", "#E7B800", "#E7B801"), ellipse.type = "euclid", star.plot = TRUE, repel = TRUE, ggtheme = theme_minimal()
)
```

##### K-óptimo [Elb_3]
```{r Graf_Elb, fig.align = 'center'}
fviz_cluster(kmeans(data_, 2, nstart = 25), data = data_, palette = c("#2E9FDF", "#00AFBB", "#E7B800", "#E7B801"), ellipse.type = "euclid", star.plot = TRUE, repel = TRUE, ggtheme = theme_minimal()
)
```

## **Fase 5 [Analisis de regresion]**

### **5.1. Objetivos**

En términos generales, este estudio establecerá la relación entre dos o más variables a través de la obtención de información sobre una de ellas con base en el conocimiento de los valores de las demás. La relación que se establecerá entre ellas es de naturaleza no-determinística; es decir, se formularán relaciones probabilísticas y procedimientos para hacer inferencias sobre los modelos usados en este estudio, a la vez que se obtienen medidas cuantitativas del grado en el que las variables están relacionadas. Los modelos estudiados pueden verse como casos especialies del modelo lineal generalizado: Regresión Lineal Simple, Regresión Lineal Múltiple y Regresión Logística.

Por último, este trabajo fue procesado con r R.version.string mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, el dia miercoles 11 de diciembre de 2024.

<a name="sec11"></a>

### **5.2. Regresión Lineal Simple** {.tabset .tabset-pills}

Este modelo, que a partir de ahora se denominará como RLS, está compuesto por dos variables: una predictora y otra respuesta. Específicamente, la variable $Y$ se considera influida por la variable predictora $x$. La relación entre estas variables está descrita por la ecuación:
$$Y = \beta_0 + \beta_1x + \varepsilon    (1)$$
Donde:

- **$Y$**: Variable respuesta, de naturaleza aleatoria.
- **$x$**: Variable predictora, de naturaleza no aleatoria.
- **$\varepsilon$**: Término de error aleatorio, que representa desviaciones no observables.
- **$\beta_0$** y **$\beta_1$**: Parámetros reales desconocidos.

En contraste con un modelo lineal determinístico ($y = \beta_0 + \beta_1x$), el modelo probabilístico asume que la variable $Y$, para un valor fijo de $x$, difiere de su valor esperado en una cantidad aleatoria $\varepsilon$. Además, este término de error sigue una distribución normal con:$E(\varepsilon) = 0 \quad \text{y} \quad V(\varepsilon) = \sigma^2.$

La relación entre la variable independiente y la variable dependiente en el modelo de regresión lineal simple debe cumplir ciertas suposiciones clave para que los resultados sean válidos. Estas son las siguientes: 1. La relación entre la variable independiente $x$ y la variable dependiente $Y$ debe ser lineal. 2. El término de error $ε$ sigue una distribución normal y tiene una media igual a cero. 3. Las observaciones deben ser independientes entre sí, es decir, el valor de $Y$ para un dato no influye en los valores de $Y$ para otros datos. 4. La varianza del término de error $ε$ debe ser constante para todos los valores de la variable independiente $x$, una condición conocida como homocedasticidad. La varianza de $\varepsilon$ es constante para todos los valores de $x$.


Para estimar los parámetros desconocidos ($\beta_0$, $\beta_1$ y $\sigma^2$), se usa el **método de mínimos cuadrados**, que busca minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales entre los puntos observados y la línea de regresión:Resolviendo este problema, las estimaciones de los parámetros son:
$$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2},(2)$$
$$\quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}. (3)$$

Aquí, $\bar{x}$ y $\bar{y}$ son las medias muestrales de $x$ e $y$, respectivamente.
Para hacer los cálculos que las ecuaciones anteriores demandan es necesario reducir al mínimo los efectos de redondeo. También, antes de calcular $β^1$ y $β^0$ se debe examir gráficamente el conjunto de datos por usar para percibir la factibilidad de uso de un modelo probabilístico lineal, es decir, si gráficamente los puntos están lejos de tender a aglomerarse en torno a una línea recta con aproximadamente el mismo grado de dispersión de todas las $xi$, entonces deben ser indagados otros modelos. Es indispensable mencionar que la línea de mínimos cuadrados debe usarse restringidamente para predecir valores de $x$ lejanos del rango de los datos, porque la relación ajustada puede carecer de validez para ellos.
Ahora, el parámetro $σ^2$que determina la cantidad de variabilidad es inherente en el modelo de regresión descrito: su valor conducirá a establecer que los valores observados estarán dispersos en mayor o menor medida en torno a la línea de regresión verdadera. Así, los residuos $yi−yi^$ son las desviaciones verticales con respecto a la línea estimada. Si todos los residuos son pequeños comparados con cero, entonces la variabilidad de los valores $y$ observados se debería en una elevada medida a la relación lineal entre $x$ y $y$, mientras que si los residuos son grandes comparados con cero, entonces queda sugerida una variabilidad inherente en $y$ con respecto a la cantidad debida a la relación lineal. Así, la estimación de $σ^2$ en un análisis de regresión está basada en el cálculo de la suma de cuadrados residuales (o suma de cuadrados del error SCE) que se reduce a:
$$SCE = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - \hat{\beta}_0 \sum_{i=1}^{n} y_i - \hat{\beta}_1 \sum_{i=1}^{n} x_i y_i.   (4)$$
$$σ^2=s^2=\frac{SCE}{n-2}. (5)$$
Si se ha entendido que la cantidad $SCE$ establece una medida de cuánta variación de $y$ es inexplicada por el modelo; es decir, sin atribución a la relación lineal, se entenderá también que existe otra cantidad llamada la suma total de los cuadrados $STC$, que permite obtener una medida de la cantidad de variación total en los valores $y$ observados:$$STC = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} y_i \right)^2}{n} (6)$$
Si se formula la razón $\frac{SCE}{STC}$, se calcula la proporción de variación total inexplicada por el modelo de regresión lineal simple; por lo tanto, se llega a la definición del coeficiente de determinación $r^2$: $$r^2 = 1 - \frac{SCE}{STC}
 (7)$$
que se interpreta como la proporción de variación $y$ observada que puede ser explicada por el modelo de regresión lineal simple; es decir, aquella atribuida a una relación lineal aproximada entre $x$ y $y$: mientras más cercano a 1 sea $r^2$, más exitoso es el modelo de regresión lineal simple al explicar la variación de $y$. 

Una forma alternativa de calcular el coeficiente de determinación se basa en la suma de cuadrados debida a la regresión $SCR$ (o al modelo de regresión $SCM$), que es la cantidad de variación total que es explicada por el modelo. Con base en ella el coeficiente de determinación se expresa como: $$r^2 = 1 - \frac{SCE}{STC} = \frac{STC - SCE}{STC} = \frac{SCR}{STC}.(8)$$

Como se sabe, cualquier cantidad calculada a partir de datos muestrales varía de una cantidad a otra. En este sentido, los procedimientos inferenciales estandarizan un estimador restando su valor medio y luego dividiéndolo entre su desviación estándar estimada. En particular, para un modelo supuesto de regresión lineal simple se implica que las variables estándares:$$t_{(n-2)} = \frac{\hat{\beta}_0 - \beta_0}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}}}$$ $$t_{(n-2)} = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_1}{\sigma \sqrt{\frac{1}{S_{xx}}}}$$

tienen distribuciones $t$ con $n - 2$ grados de libertad. De esto se deduce que los intervalos de confianza de $100 \cdot (1 - \alpha)\%$ para la pendiente $\beta_1$ y el intercepto $\beta_0$ de la línea de regresión verdadera son: $$\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \sigma \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}} (9)$$
$$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \sigma \sqrt{\frac{1}{S_{xx}}} (10)$$
Estos intervalos están centrados en la estimación puntual de cada parámetro y la cantidad abarcada a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado y de la cantidad de variabilidad del estimador.

Dado lo anterior, para los procedimientos de prueba de hipótesis, y como se procede habitualmente, las hipótesis nulas respecto a los $\beta $ del modelo de regresión lineal simple serán enunciados de igualdad. Los valores nulos para $\beta_1$ y $\beta_1$ se representan respectivamente como $\beta_{00}$ ("beta cero cero") y $\beta_{10}$ ("beta uno cero"). Además, como los estadísticos de prueba tienen distribuciones $t$ con $n - 2$ grados de libertad cuando $H_0$ es verdadera, la probabilidad de error Tipo I permanece al nivel deseado \( \alpha \) usando un valor crítico \( t \) adecuado. Así, las hipótesis comúnmente usadas para $\beta_0$ son:
$$H_0: \beta_0 = \beta_{00} (11)$$
$$H_1: \beta_0 \neq \beta_{00} (12)$$
cuyo estadístico de prueba es:
$$t_{(n-2)} = \frac{\hat{\beta}_0 - \beta_{00}}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}}} (13)$$
y para $\beta_1$ son:
$$H_0: \beta_1 = \beta_{10} (14)$$
$$H_1: \beta_1 \neq \beta_{10} (15)$$
cuyo estadístico de prueba es:
$$t_{(n-2)} = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{10}}{\sigma \sqrt{\frac{1}{S_{xx}}}} (16)$$

El par de hipótesis definidas por (14), (15) y (16) se conoce como la prueba de utilidad del modelo de regresión lineal simple, donde: 

- La región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1 > \beta_{10}$ es $t \geq t_{\alpha, n-2}$.
- La región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1 < \beta_{10}$ es $t \leq -t_{\alpha, n-2}$.
- La región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1 \neq \beta_{10}$ es $t \leq -t_{\alpha/2, n-2}$ o $t \geq t_{\alpha/2, n-2}$.

Además, se sabe que la prueba de utilidad del modelo de regresión simple puede ser probada con una tabla ANOVA, rechazando $H_0$ si $f \geq F_{\alpha, 1, n-2}$. La prueba $F$ da exactamente el mismo resultado que la prueba $t$ de utilidad del modelo de regresión lineal simple.

Por último, se entiende que en un modelo de regresión lineal simple un valor futuro de $Y$ no es un parámetro, sino una variable aleatoria, por lo que se debe hacer referencia a un intervalo de valores factibles para un valor futuro de $Y$, al cual se le llama intervalo de predicción. Cuando se predice con base en el modelo de regresión lineal simple, el error de predicción es:$Y - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x^*)$ que corresponde con una diferencia entre dos variables aleatorias, por lo que, en comparación con una estimación, habrá más incertidumbre en ese. Por lo tanto, un intervalo de predicción será más ancho que un intervalo de confianza. Además, a partir de la varianza del error de predicción se puede establecer que la variable estandarizada:
$$T = \frac{Y - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x^*)}{S \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x^* - \bar{x})^2}{S_{xx}}}} (17)$$
tiene una distribución $t$ con $n - 2$ grados de libertad, a partir de la cual se obtiene un intervalo de predicción de $\( 100 \cdot (1 - \alpha)\% \)$ para una observación $\( Y \)$ futura que se hará cuando $x = x^*$ igual a:
$$\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x^* \pm t_{n-2, \alpha/2} \cdot s \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x^* - \bar{x})^2}{S_{xx}}} (18)$$

La interpretación del nivel de predicción de $100 \cdot (1 - \alpha)\%$ establece que al usar (18) repetidamente, los intervalos resultantes contendrán los valores $y$ observados el $100 \cdot (1 - \alpha)\%$ del tiempo. 

Además, el número $1$ en la raíz cuadrada hace que el intervalo de predicción sea más ancho que intervalos de confianza como (9) y (10). Asimismo, a medida que $n \to \infty$, el ancho del intervalo no tiende a cero, porque la incertidumbre en la predicción será permanente, incluso al tener conocimiento perfecto sobre $\beta_0$ y $\beta_1$.


### **Planteamiento del Problema**

Con base en el conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se formulará un modelo de regresión lineal simple para estudiar la relación lineal supuesta entre las varaibles definidas por los campos: **Income** (variable dependiente) y **Credit_Score** (variable independiente).

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}

### **Resumen estadístico de las variables por estudiar** {.tabset .tabset-pills}

El estudio de regresión lineal simple ha sido procesado con R version 4.2.2 (2022-10-31 ucrt) mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.

La navegación a través de las pestañas presenta un análisis estadístico de las variables **Income** (variable independiente) y **Credit Score** (variable dependiente), junto con sus correspondientes diagramas de caja. Además, incluye el diagrama de dispersión de las dos variables y los gráficos de dispersión total que exploran relaciones con variables adicionales del conjunto de datos.

En la pestaña **Resumen de Income**, se observa que la variable **Income** presenta una distribución simétrica, sin valores atípicos. Su rango intercuartílico es amplio (444,928 a 960,038) y la mediana se ubica en 704,430, muy próxima al promedio (701,904), lo cual refleja una distribución equilibrada con ligera tendencia hacia la concentración de datos en el rango superior. Por otro lado, en la pestaña **Resumen de Credit Score**, la variable **Credit Score** también muestra simetría en su distribución, sin outliers. Su rango intercuartílico está comprendido entre 6,500 y 7,480, con una mediana de 7,000, lo que sugiere que los valores están distribuidos uniformemente, con ligeros agrupamientos hacia el extremo superior.

En el **Diagrama de Dispersión Income vs. Credit Score**, se puede observar una relación débil entre las variables **Income** y **Credit Score**, ya que los puntos no presentan un patrón claro o lineal, lo cual indica que la dependencia entre ambas variables podría ser insignificante en términos de correlación. Finalmente, en los **Diagramas Totales de Dispersión**, se visualizan las relaciones entre múltiples variables del conjunto de datos, destacando que algunas combinaciones, como la interacción entre **Debt to Income Ratio** y **Loan Amount**, podrían ofrecer mayores patrones de dependencia lineal o no lineal comparadas con **Income** y **Credit Score**.

#### Resumen de Income 
```{r Resumen_de_Income, fig.align='center'}
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income)
boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, main = "Diagrama de Caja de Income", col = c("orange"))
```

#### Resumen de Credit Score
```{r Resumen_de_Credit_Score, fig.align='center'}
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score)
boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score, main = "Diagrama de Caja de Credit Score", col = c("orange"))
```

#### Diagrama de Dispersion Income vs. Credit_Score
```{r Diagrama_de_Dispersion_Income_vs._Credit_Score, fig.align='center'}
plot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score, main = "Income vs. Credit Score")
```

#### Diagramas Totales de Dispersion
```{r Diagramas_Totales_de_Dispersion, fig.align='center'}
pairs(~Age + Credit_Score + Loan_Amount + Years_at_Current_Job + Debt_to_Income_Ratio + Income + Number_of_Dependents + Assets_Value, data = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado)
```

### **Formulación del modelo de RLS entre las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas presenta los coeficientes del modelo de regresión lineal simple, su resumen estadístico y su tabla ANOVA. En este caso, las variables de interés son: **Income** (variable dependiente) y **Credit Score** (variable independiente).

En la pestaña **Coeficientes del Modelo RLS**, se establece que el modelo de regresión lineal simple tiene la formulación:$$\hat{\text{Income}} = 668396.3 + 4.7927 \cdot \text{Credit Score}. (19)$$. En este modelo, el intercepto $668396.3$ indica el nivel estimado de **Income** cuando **Credit Score** es igual a cero. Sin embargo, esta interpretación carece de sentido práctico, dado que un **Credit Score** de cero no es plausible. Por otro lado, el coeficiente $4.7927$ sugiere una relación positiva muy débil entre las variables, indicando un aumento estimado de apenas 4.79 unidades de **Income** por cada incremento de una unidad en **Credit Score**.

En la pestaña **Resumen Estadístico del Modelo RLS**, se evidencia que, a pesar de la dirección positiva del coeficiente, este no es estadísticamente significativo ($p-valor = 0.48$), lo que implica que no hay suficiente evidencia para afirmar que **Credit Score** influye en **Income** en este contexto. Adicionalmente, el coeficiente de determinación ($R^2$) es extremadamente bajo (0.0087 %), indicando que la variabilidad en **Income** prácticamente no es explicada por **Credit Score**.

Finalmente, en la pestaña **Tabla ANOVA para el Modelo RLS**, se confirma que el modelo carece de significancia global ($p$-valor = 0.4798), reforzando la idea de que **Credit Score** no explica de manera significativa las variaciones en **Income**.

En conclusión, el modelo de regresión lineal simple propuesto no resulta adecuado para predecir **Income** en función de **Credit Score**, dada la débil relación entre ambas variables y la falta de significancia estadística en los resultados.

#### Coeficientes del Modelo RLS
```{r Coeficientes_del_Modelo_RLS, fig.align='center'}
modelo_RL_Simple = lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score)
coef(modelo_RL_Simple)
```

#### Resumen Estadistico del Modelo RLS
```{r Resumen_Estadistico_del_Modelo_RLS, fig.align='center'}
summary(modelo_RL_Simple)
```

#### Tabla ANOVA para el Modelo RLS
```{r Tabla_ANOVA_para_el_Modelo_RLS, fig.align='center'}
anova(modelo_RL_Simple)
```

### **Análisis del modelo RLS** {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas permite observar el **intervalo de confianza para $B1$** y **las predicciones del modelo de regresión lineal simple**, ambos calculados al 95 %. Las variables de interés analizadas en este caso son Income (variable dependiente) y Credit Score (variable independiente).

El análisis del modelo de regresión lineal simple muestra que no es significativo, lo que implica que el modelo no proporciona suficiente evidencia para estimar **Income** a partir de **Credit Score**. Esto se debe a que el intervalo de confianza para el coeficiente de **Credit Score** ($B1$) incluye al cero: $$−8.50≤B1≤18.09  (20)$$

Por último, en la pestaña **Predicciones y sus Intervalos de Predicción** se presentan las estimaciones para la variable **Income** basadas en el modelo, junto con los intervalos de predicción al 95 % para todas las observaciones del conjunto de datos. Es importante destacar que estos intervalos de predicción son considerablemente más anchos que los intervalos de confianza al mismo nivel de significancia, lo que refleja la incertidumbre adicional asociada con las variaciones de los datos individuales en comparación con las estimaciones de los parámetros del modelo.

Este análisis sugiere que se requiere un modelo más robusto o la inclusión de variables adicionales para mejorar la capacidad predictiva del modelo.

#### Intervalo de Confianza para B1
```{r Intervalo_de_Confianza_para_B1, fig.align='center'}
confint(modelo_RL_Simple, level = 0.95)
```

#### Predicciones y sus Intervalores de Prediccion
```{r Predicciones_y_sus_Intervalos_de_Predicción, fig.align='center'}
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,5716)), interval='prediction', level = 0.95)
```

#### Predicciones y sus Intervalos de Confianza
```{r Predicciones_y sus_Intervalos_de_Confianza, fig.align='center'}
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,5716)), interval='confidence', level = 0.95)
```

### **5.3. Regresión Lineal Múltiple** {.tabset .tabset-pills}
En este estudio, el **Modelo de Regresión Lineal Múltiple** (RLM) puede considerarse como una extensión del modelo de regresión lineal simple, con el objetivo de facilitar su comprensión y análisis. Su ecuación general, que refleja la relación entre las variables dependientes e independientes, es la siguiente:$$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \dots + \beta_k x_{ik} + \epsilon_i,\quad i = 1, 2, \dots, n  (21)$$
donde:$\epsilon$ es el término de error, con una media $E(\epsilon) = 0 $ y una varianza $V(\epsilon) = \sigma^2$. Se asume que $\epsilon$ sigue una distribución normal, lo cual es clave para realizar pruebas de hipótesis y calcular intervalos de confianza y predicción.

El método utilizado para estimar los parámetros del modelo es el de **mínimos cuadrados ordinarios (MCO)**. Este enfoque se basa en minimizar una función de error que se construye a partir de las desviaciones cuadráticas entre los valores observados y los valores predichos por el modelo. La función de error se expresa de la siguiente forma:$f(\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_k) = \sum_j \left[ y_i - \left( \beta_0 + \beta_1 x_{1j} + \beta_2 x_{2j} + \dots + \beta_k x_{kj} \right) \right]^2$

Minimizar esta función lleva a un sistema de ecuaciones lineales conocido como **ecuaciones normales**, cuyas soluciones proporcionan las estimaciones de los coeficientes $\hat{\beta_0}, \hat{\beta_1}, \dots, \hat{\beta_k}$.

El modelo de regresión múltiple busca explicar la mayor parte de la variabilidad de la variable dependiente $y$. Esto se evalúa mediante el **coeficiente de determinación múltiple** $R^2$, que mide la proporción de la variación total de $y$ que es explicada por el modelo. Además, se ajusta este coeficiente tomando en cuenta el número de parámetros del modelo, para evitar que el modelo se sobreajuste a los datos.

Una de las pruebas fundamentales en la regresión lineal múltiple es la **prueba de hipótesis** sobre los coeficientes del modelo. La hipótesis nula y alternativa se expresan de la siguiente forma:$$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_k = 0  (22)$$ (los coeficientes no tienen efecto significativo"). $$H_1: \text{al menos una } \beta_i \neq 0 \; (i = 1, \ldots, k (23)$$ (al menos un coeficiente tiene un efecto significativo).

El valor del **estadístico de prueba** se calcula utilizando el siguiente ratio de **suma de cuadrados**: $$F = \frac{R^2 / k}{(1 - R^2) / (n - k - 1)} = \frac{SCR / k}{SCE / (n - k - 1)}=\frac{RMS}{CME} (24)$$. Donde: **SCR** es la **suma de cuadrados de regresión** Y **SCE** es la **suma de cuadrados del error**.

La **región de rechazo** para esta prueba, al nivel de significancia $\alpha$, se define como: $$F \geq F_{\alpha, k, n - k - 1} (25)$$
El intervalo de confianza al $100(1 - \alpha)\%$ para cada parámetro $\beta_i$ se calcula como: $$\hat{\beta_i} \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \cdot s_{\hat{\beta_i}}  (26)$$

Por otro lado, para realizar predicciones futuras, el intervalo de confianza para un valor estimado $\hat{y}$ está dado por:$$\hat{y} \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \cdot \sqrt{s^2 + s_Y^2} (27)$$

Es importante mencionar que en los análisis de regresión múltiple pueden surgir varios problemas que requieren atención adicional. Estos problemas incluyen, pero no se limitan a: **Multicolinealidad**: cuando las variables independientes están fuertemente correlacionadas entre sí, lo que puede afectar la precisión de las estimaciones. **Observaciones influyentes**: puntos de datos que pueden distorsionar los resultados del modelo. **No linealidad**: cuando la relación entre las variables no es lineal, lo que puede requerir transformaciones de las variables. **Selección de variables**: determinar cuáles variables incluir en el modelo es una decisión crítica, ya que la inclusión de variables irrelevantes puede reducir la eficiencia del modelo.
Estos desafíos pueden ser abordados mediante técnicas de transformación, estandarización y pruebas de diagnóstico, entre otras.

### **Planteamiento del Problema**

Con base en el conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se formulará un modelo de regresión lineal múltiple para estudiar la relación lineal múltiple supuesta entre las varaibles definidas por los campos: **Income** (variable dependiente) y los demás como variables independientes, tanto cuantitativas de razon como cualitativas nominal: **Gender**, **Credit_Score**, **Age**, **Loan_Amount**, **Years_at_Current_Job**, **Deb_to_Income_Ratio**, **Assets_Value**, **Number_of_Dependents**, **Marital_Status**, **Loan_Purpose**, **Employment_Status**, **City**, **Country**, **State** y **Marital_Status**.

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}

### **Resumen estadístico de las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de las variables del conjunto de datos analizado. Para **las variables cuantitativas**, se presentan los valores de mínimo, primer cuartil, mediana, media, tercer cuartil y máximo. Estos resultados permiten una visualización detallada de la distribución de los datos. Por ejemplo, la variable **Credit_Score** tiene una media de 6991, con valores que oscilan entre un mínimo de 6000 y un máximo de 7990. En cuanto a la **Age**, los valores se distribuyen entre 18 y 69 años, con una media de 43.58. La variable **Income** presenta una media de 701,904 y alcanza un máximo de 1,199,780.

Para la pestaña **Resumen de Variables Cualitativas**, es fundamental priorizar variables que aporten información relevante y manejable para los objetivos del estudio. Aunque las variables **City**, **State** y **Country** pueden contener datos importantes, hay varias razones por las que no son ideales para incluirlas en el resumen estadístico cualitativo: Estas variables tienen demasiadas categorías únicas, lo que dificulta la interpretación de los conteos y gráficos, y genera una visualización saturada. No aportan insights significativos en esta etapa exploratoria si no son el foco principal del análisis. Su relación jerárquica (ciudad -> estado -> país) puede causar duplicidad de información innecesaria. Procesarlas implica mayor esfuerzo computacional sin un valor proporcional al análisis. Su inclusión complica el hallazgo de tendencias útiles, al generar gráficos y tablas muy dispersos.

Adicionalmente, **las variables cualitativas** se representan mediante conteos, proporciones y diagramas de barras. Por ejemplo, la variable **Gender** muestra una distribución equitativa entre las categorías analizadas. Por otro lado, la variable **Marital_Status_Change** evidencia que un 34.17 % de los registros corresponden a un cambio en el estado civil, mientras que un 32.31 % no lo presentan.

Por último, se generaron **diagramas de dispersión** para visualizar la relación entre las variables cuantitativas. Estos gráficos permiten identificar posibles correlaciones o patrones entre las variables como **Loan_Amount**, **Years_at_Current_Job**, y **Debt_to_Income_Ratio**. En conjunto, estas visualizaciones son clave para una interpretación integral de los datos y para fundamentar análisis posteriores.

#### Resumen Variables Cuantitativas
```{r Resumen_de_Variables_Cuantitativas, fig.align='center'}
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score)
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age)
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income)
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount)
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job)
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio)
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value)
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents)
```

#### Resumen de Variables Cualitativas
```{r Resumen_de_Variables_Cualitativas, fig.align='center'}
table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)
prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender))
barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender))

table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)
prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status))
barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status))

table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)
prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))
barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose))

table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)
prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))
barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))

table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)
prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change))
barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change))
```

#### Diagramas de Dispersion Variables Cuantitativas
```{r Diagramas_de_Dispersion_Variables_Cuantitativas, fig.align='center'}
pairs(~Age + Credit_Score + Loan_Amount + Years_at_Current_Job + Debt_to_Income_Ratio + Income + Number_of_Dependents + Assets_Value, data = cdd_riesgo_financiero_G5_depurado)
```

### **Formulación del modelo de RLM entre las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

La navegación a través de las pestañas muestra el **resumen** y **la tabla ANOVA del modelo de regresión lineal múltiple total**, así como los coeficientes del modelo total y del modelo reducido. Con base en la exploración de los datos relacionados con el riesgo financiero del conjunto de datos "cdd_riesgo_financiero_G5_depurado", se analizaron los modelos propuestos. La variable dependiente en estos modelos fue Age, mientras que las predictoras iniciales incluyeron una variedad de factores financieros y demográficos.

El modelo de regresión lineal múltiple total incluyó las siguientes variables predictoras: Variables continuas: **Credit Score**, **Loan Amount**, **Years at Current Job**, **Debt-to-Income Ratio**, **Income**, **Number of Dependents**, **Assets Value**. Variables categóricas: **Gender**, **Marital Status**, **Loan Purpose**, **Employment Status** y **Marital Status Change**.
El modelo tiene la siguiente formulación (con coeficientes redondeados a cuatro cifras decimales por motivos de edición):
$$Age^=44.3286+0.0000⋅Credit_Score−0.0000⋅Loan_Amount−0.0280⋅Years_at_Current_Job−0.0000⋅Debt-to-Income_Ratio+0.0000⋅Income−0.0069⋅Number_of_Dependents−0.0000⋅Assets_Value+0.1742⋅Gender_(H)+…Age^=44.3286+0.0000⋅Credit_Score−0.0000⋅Loan_Amount−0.0280⋅Years_at_Current_Job−0.0000⋅Debt-to-Income_Ratio+0.0000⋅Income−0.0069⋅Number_of_Dependents−0.0000⋅Assets_Value+0.1742⋅Gender_(H)...(28)$$$
(El modelo incluye múltiples términos categóricos y niveles, omitidos aquí por claridad). Los resultados del resumen estadístico y de la tabla ANOVA indicaron que el modelo no es significativo en general $(p>0.05, F=0.7529)$, y las variables individuales presentaron bajos niveles de significancia estadística. Esto sugiere que muchas de las variables incluidas no aportan información relevante para predecir la edad.

Luego de analizar los resultados, se excluyeron variables con baja significancia estadística tanto en el resumen del modelo como en la tabla ANOVA. Las variables eliminadas incluyeron: **Gender**, **Marital Status**, **Number of Dependents**, **Marital Status Change**, **City**, **Country** y **State** El modelo reducido se formuló con las siguientes variables: **Loan Amount**, **Years at Current Job**, **Debt-to-Income Ratio**, **Income**, **Assets Value**, **Loan Purpose** y **Employment Status** (como factores categóricos).
La formulación del modelo reducido es:$$Credit_Score^=6997.963−0.0000⋅Loan_Amount−0.4879⋅Years_at_Current_Job−0.0000⋅Debt-to-Income_Ratio+0.0000⋅Income+0.0000⋅Assets_Value+13.7824⋅Loan_Purpose_(1)+…CreditScore^=6997.963−0.0000⋅Loan_Amount−0.4879⋅Years_at_Current_Job−0.0000⋅Debt-to-Income_Ratio+0.0000⋅Income+0.0000⋅Assets_Value+13.7824⋅Loan_Purpose_(1)+…(29)$$
En este modelo, se observa que la contribución de algunas variables continúa siendo limitada, pero la reducción permite enfocarse en aquellas con mayor potencial explicativo.

#### Resumen y ANOVA del Modelo RLM Total
```{r Resumen_y_ANOVA_del_Modelo_RLM_Total, fig.align='center'}
summary(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)))
anova(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)))
```

#### Coeficientes del Modelo RLM Total
```{r Coeficientes_del_Modelo_RLM_Total, fig.align='center'}
coefficients(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)))
```

#### Coeficientes del Modelo RLM Reducido
```{r Coeficientes_del_Modelo_RLM_Reducido, fig.align='center'}
coefficients(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)))
```

### **Análisis del modelo RLM** {.tabset .tabset-pills}

La exploración inicial mediante el modelo total (**modelo_RLM_TOTAL**) mostró un ajuste modesto con un coeficiente de determinación $R^2=0.003$, lo que sugiere una capacidad limitada para explicar la variabilidad en la variable dependiente **Age**. Este modelo incluyó un conjunto extenso de predictores, muchos de los cuales presentaron coeficientes no significativos, evidenciando posibles redundancias o falta de relevancia estadística.

Posteriormente, en la iteración hacia un modelo reducido (**modelo_RLM_REDUCIDO**), se seleccionaron predictores más relevantes para explicar **Credit_Score**. Este ajuste redujo considerablemente la complejidad del modelo, pero no mejoró sustancialmente el $R^2$, que permaneció en niveles bajos ($R^2=0.001$) y con un $AIC=88753.62$, superior al modelo total, lo que indica un peor equilibrio entre ajuste y complejidad.

Por último, al aplicar el procedimiento iterativo (**modelo_Iterado_STEP**), se identificó un modelo con solo cuatro predictores, con un $AIC=46994.94$ y $BIC=47021.55$, valores significativamente menores que en los modelos total y reducido, destacando una mejora notable en la relación sesgo-varianza. Este modelo final mostró una estructura más parsimoniosa, conservando la relevancia de los predictores más significativos, como los cambios en el estado civil (Marital_Status_Change*), que resultaron significativos al nivel $p<0.1$.

Se descartaron las variables con menor impacto en el modelo como **City**, **Country** y **State**, puesto que estas variables tienen demasiadas categorías únicas, lo que dificulta la interpretación de los conteos y gráficos, y genera una visualización saturada. No aportan insights significativos en esta etapa exploratoria si no son el foco principal del análisis. Su relación jerárquica (ciudad -> estado -> país) puede causar duplicidad de información innecesaria. Procesarlas implica mayor esfuerzo computacional sin un valor proporcional al análisis. Su inclusión complica el hallazgo de tendencias útiles, al generar gráficos y tablas muy dispersos.

En términos generales, los criterios de información respaldan el uso del modelo iterado, que equilibra mejor la simplicidad y la capacidad explicativa en comparación con las demás opciones consideradas.

#### Mejor Modelo Iterado segun AIC
```{r Mejor_Modelo_Iterado_según_AIC, fig.align='center'}
modelo_Iterado_STEP = step(lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change)))
coefficients(modelo_Iterado_STEP)
```

#### Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Informacion Comparados
```{r Bondades_de_Ajuste_Significancias_y_Criterios_de_Informacion_Comparados, fig.align='center'}
modelo_RLM_TOTAL = lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Age~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Number_of_Dependents+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Gender)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Marital_Status_Change))
modelo_RLM_REDUCIDO = lm(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Credit_Score~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Amount+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Years_at_Current_Job+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Debt_to_Income_Ratio+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income+cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Assets_Value+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Loan_Purpose)+as.factor(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))

stargazer(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP, type = "text", df = TRUE)
AIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)
BIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)
```

### **5.4. Regresión Logística Simple** {.tabset .tabset-pills}

Este modelo, que en este estudio será denominado como **RLogS**, se plantea como una extensión del modelo de regresión lineal simple. En lugar de relacionar una variable cuantitativa dependiente con una variable cuantitativa independiente 𝑥, este modelo establece una conexión entre una variable categórica dicotómica dependiente 𝑦(con valores posibles 1 para "éxito" y 0 para "fracaso") y una probabilidad 𝑝(𝑥) ∈ [0,1], la cual depende de una variable cuantitativa 𝑥.

Como se explicó en la sección [5](#sec5), los modelos de regresión empleados en este análisis pueden interpretarse como casos específicos del Modelo Lineal Generalizado (**GLM**, por sus siglas en inglés). Este modelo amplía el alcance del modelo lineal general al permitir que la variable dependiente se relacione linealmente con sus factores y covariables mediante una función de enlace, y que pueda seguir una distribución distinta de la normal. Además de los modelos empleados en este estudio, el **GLM** abarca otras estructuras estadísticas, como los modelos loglineales para datos de conteo, modelos log-log complementarios para análisis de supervivencia con datos censurados, y otros más, gracias a su formulación general.

El GLM permite especificar diferentes combinaciones de distribuciones y funciones de enlace, donde estas últimas se interpretan como transformaciones de la variable dependiente que posibilitan la estimación del modelo. Este enfoque ofrece una gran flexibilidad, ya que la elección de la combinación adecuada depende de consideraciones teóricas, la naturaleza de las variables, la experiencia del investigador y la evaluación de resultados al comparar opciones.

En este caso particular, se asume una distribución binomial (adecuada para variables de respuesta binaria) con una función de enlace logit, definida como:

 $$π(x) =\dfrac{eβ0+β1x}{1+eβ0+β1x}=\dfrac{ 1  }{ 1+e { − }^{(β0+β1x)}} (30)$$

El término "logit" (derivado de logarithmic unit, unidad logarítmica natural) se utiliza porque esta función de enlace es aplicable exclusivamente a la distribución binomial. Por ello, un nombre más específico para este modelo sería regresión logística binaria. Es importante mencionar que el adjetivo "logística" alude al hecho de que la función de enlace es, en cierto modo, una variante refinada del modelo de crecimiento exponencial, representado por una función sigmoidea asociada a un conjunto 𝐶. 

Para facilitar la interpretación, es útil entender que la función de enlace $𝜋(𝑥)$ proviene de una razón de probabilidades (odds ratio, OR), que se representa como el argumento de un logaritmo: $\log( \dfrac{ π(x)}{1−π(x)})$. De este modo, el modelo describe la probabilidad de que la variable respuesta tome el nivel de referencia $1$ en función de los predictores. Además, la transformación de probabilidades a razones de probabilidades conserva la relación de orden (monotonicidad). Esta transformación convierte el intervalo de probabilidad $[0,1]$ al rango $(−∞,∞)$.

Las relaciones entre las probabilidades de éxito y fracaso, sus razones y la función logit son las siguientes:

$${p(\text{éxito}) = p(\text{fracaso})} \quad {OR = 1} \quad \text{Logit}(OR) = 0 $$

$$p(\text{éxito}) < p(\text{fracaso}) \quad OR < 1 \quad\text{Logit}(OR) < 0$$

$$p(\text{éxito}) > p(\text{fracaso}) \quad OR > 1 \quad \text{Logit}(OR) > 0$$
Finalmente, cabe destacar que la transformación logit no tiene sentido en los casos de certeza absoluta de éxito $(𝑝=1)$ o fracaso $(𝑝= 0)$.

### **Planteamiento del Problema**

Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se formulará un modelo de regresión logística simple para estudiar la relación logística supuesta entre las variables definidas por los campos: **Income** (variable dependiente) y **Employment Status** (variable independiente), con base en una distribución binomial y la función de enlace **Logit**.

### **Desarrollo del Análisis** {.tabset .tabset-pills}

El estudio de regresión lineal simple ha sido procesado con R version 4.2.2 (2022-10-31 ucrt) mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.

### **Resumen estadistico de las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de la variable dependiente **Income**, su diagrama de cajas (boxplot) y su histograma. Para la variable independiente **Employment Status**, se presentará su diagrama de barras, junto con su media y mediana. Además, se incluirá un diagrama de cajas combinado que representa la relación entre ambas variables.

En la pestaña **Resumen y Boxplot de Income**, se observa que la variable Income presenta una distribución simétrica y no tiene valores atípicos visibles. El rango intercuartílico es amplio, con límites aproximadamente entre 444,928 y 960,038, y la mediana se encuentra alrededor de 704,430, lo cual refleja una concentración de datos en el rango superior. Esto indica que los ingresos de los individuos están relativamente balanceados y sin desviaciones extremas.En la pestaña **Histograma de Income**, se visualiza una distribución uniforme, con frecuencias similares en cada rango. Esto confirma la simetría observada en el boxplot y sugiere que la población analizada tiene ingresos distribuidos de manera relativamente homogénea en el intervalo analizado.

En la pestaña **Resumen y Diagrama de Barras de Employment Status**, se observa que la variable Employment Status, de naturaleza cualitativa nominal, presenta tres categorías. Estas se distribuyen de forma equitativa, ya que los valores correspondientes a cada categoría (0, 1, 2) son aproximadamente iguales, con frecuencias cercanas a 1,500 para cada grupo. Esto sugiere proporcionalidad en la clasificación de estados de empleo dentro del conjunto de datos.En conjunto, los datos muestran consistencia con el contexto del problema planteado, y las distribuciones observadas son coherentes con las características esperadas del conjunto de datos.

En el **diagrama de cajas conjunto** correspondiente a la relación entre **Income** y **Employment Status**, se observa que las distribuciones de ingresos varían entre los diferentes estados de empleo representados por los valores 0, 1 y 2. Los valores medianos de **Income** son similares entre los grupos, lo que sugiere una distribución homogénea en términos generales. Sin embargo, existen ligeras diferencias en la dispersión: los grupos presentan un rango intercuartílico relativamente amplio y simétrico, indicando que los ingresos están distribuidos de manera comparable entre la mayoría de las observaciones.En términos de sesgo, no parece haber un sesgo evidente en ninguna de las categorías; las cajas son relativamente simétricas. No obstante, los valores atípicos están presentes en los extremos inferiores de las distribuciones, destacando que hay ingresos particularmente bajos que se alejan del comportamiento típico en los tres grupos. Esto resalta la existencia de observaciones fuera del rango esperado, especialmente hacia los valores mínimos.Este análisis sugiere que, aunque los ingresos no muestran diferencias marcadas entre los estados de empleo, los valores atípicos en los extremos inferiores podrían ser indicadores relevantes para investigaciones adicionales.

#### Resumen y Boxplot de Income
```{r Resumen_y_Boxplot_de_Income, fig.align='center'}
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income)
boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, main = "Diagrama de Caja de Income", col = c("blue"))
```

#### Histograma de Income
```{r Histograma_de_Income, fig.align='center'}
summary(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income)
hist(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, main = "Histograma de Income", col = c("blue"))

```

#### Resumen y Diagrama de Barras de Employment Status
```{r Resumen_y_Diagrama_de_Barras_de_Employment_Status, fig.align='center'}
table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status)
prop.table(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))
barplot(table(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status))
```

#### Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto
```{r Resumen_y_Diagrama_de_Cajas_Conjunto, fig.align='center'}
tapply(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, mean)
tapply(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income, cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, median)
boxplot(cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Income~cdd_riesgo_financiero_G5_depurado$Employment_Status, main = "Boxplot Conjunto: Income - Employment Status", col = c("orange", "gold"))
```

### **Formulación del modelo de RLogS entre las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

La pestaña **Coeficientes del Modelo RLogS** permite establecer que el modelo RLogS relaciona a $π(x)$ con $x$ a través de la función de enlace Logit de la siguiente manera:
$$\frac{\pi(x)}{1 - \pi(x)} = e^{-7.658709 + 10.886959 \cdot x} (31)$$. Esta pestaña permite establecer que el modelo RLogS relaciona la variable **Employment_Status**  con **Income** utilizando la función de enlace Logit, con coeficientes específicos que indican cómo los cambios en los ingresos afectan la probabilidad de estar en un estado de empleo determinado. Por ejemplo, los coeficientes intercepto y de **Income** varían entre las categorías de **Employment_Status** (1 y 2), sugiriendo una influencia diferenciada según el nivel de empleo.

Asimismo, la pestaña **Resumen Estadístico del Modelo RLogS** presenta, para efectos de comparación, los resúmenes del modelo estudiado y de uno alternativo con base en la variable cualitativa::nominal **Gender**, las métricas clave del modelo. Se observa que el modelo ha convergido exitosamente con un valor final reducido (3822.000000), lo que indica un ajuste adecuado. Los pesos asociados a las conexiones en el modelo neuronal muestran cómo la variable de ingreso se conecta a los estados de empleo a través de las capas intermedias, revelando una complejidad moderada. Con base en el criterio de información de Akaike (AIC), una medida que equilibra la complejidad y precisión del modelo, se confirma que este modelo es sólido y describe adecuadamente la relación entre las variables. Esto apoya que el ingreso es un predictor significativo para los diferentes estados de empleo, lo que refuerza la validez del modelo propuesto. Además, el cociente entre la desviación nula (Null Deviance) y la desviación residual (Residual Deviance) sugiere que el modelo propuesto tiene un ajuste superior en comparación con alternativas.


#### Coeficientes del Modelo RlogS
```{r Coeficientes_del_Modelo_RlogS, fig.align='center'}
modelo_RLog_Simple = glm(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Employment_Status~cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income, family = "binomial", data = data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Employment_Status, cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income))
coef(modelo_RLog_Simple)
```

#### Resumen Estadistico del Modelo RlogS
```{r Resumen_Estadistico_del_Modelo_RlogS, fig.align='center'}
summary(modelo_RLog_Simple)
modelo_RLog_Simple_S = glm(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Gender~cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income, family = "binomial", data = data.frame(cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Gender, cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income))
summary(modelo_RLog_Simple_S)
```


### **Análisis del modelo RLogS** {.tabset .tabset-pills}

Se mostrarán, a través de pestañas, los resultados de algunas predicciones obtenidas a través del modelo RLogS para identificar en sus respuestas la correspondencia de sentido en las razones de probabilidades ODDS a favor o en contra del evento considerado: $$  \dfrac{ π  }{ 1−π  }   
 y   \dfrac{ 1-π  }{ π  }   $$ respectivamente. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: **Income** (variable dependiente) y **Employment status** (variable independiente).

En la pestaña **Variable Predictora igual a Cero** el coeficiente del factor asociado al **Employment Status** en el modelo indica que, cuando esta variable es igual a 0, la probabilidad estimada para un caso favorable relacionado con el ingreso **Income** es extremadamente baja, en un rango cercano al límite inferior del modelo. Esto significa que el impacto del **Employment Status** sobre **Income** es significativo al cambiar de un estado a otro.De manera acumulativa, un cambio unitario en el **Employment Status (de 0 a 1)** refleja un incremento sustancial en las probabilidades asociadas al ingreso, evidenciando un comportamiento de cambio proporcional que podría explicarse por el impacto económico de este estado.

A traves de la pestaña **Probabilidades Estimadas** se refleja cómo cambia la probabilidad de alcanzar ciertos niveles de ingreso **(Income)** en función del estado de empleo **(Employment Status)**. A medida que la variable independiente pasa de un estado a otro, se observa un incremento significativo en las probabilidades, lo que indica una relación positiva entre el estado de empleo y el nivel de ingreso. Este comportamiento sugiere que el modelo captura de manera efectiva el impacto del empleo sobre los ingresos proyectados.

Por ultimo, la pestaña **Gráfica del modelo RLogS** ilustra la relación entre **Income** y **Employment_Status**, donde esta última es una variable binaria (0 o 1). Los puntos amarillos representan las observaciones en cada nivel de empleo. La línea curva naranja es la predicción del modelo de regresión logística (RLogS), que describe cómo varía la probabilidad de estar en el nivel **Employment_Status** = 1 en función del ingreso. La forma casi plana de la curva indica que el ingreso tiene una relación débil o poco significativa con el estatus de empleo, lo que sugiere que este modelo no encuentra una dependencia clara entre estas dos variables.

#### Variable Predictoria igual a Cero
```{r Variable_Predictoria_igual_a_Cero, fig.align='center'}
coef(modelo_RLog_Simple)
round(exp(coef(modelo_RLog_Simple)),6)
```

#### Probabilidades Estimadas
```{r Probabilidades_Estimadas, fig.align='center'}
predict(modelo_RLog_Simple, data.frame(seq(1, 5716)), type = "response")
```

#### Grafica del Modelo RlogS
```{r Grafica_del_Modelo_RlogS, fig.align='center'}
Employment_Status <- cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Employment_Status
Income <- cdd_riesgo_financiero_G5_variable_dicotomica$Income
dataPlot <- data.frame(Income, Employment_Status)
plot(Employment_Status~Income, data = dataPlot, main = "Modelo RLogS: Income - Employment_Status", xlab = "Income", ylab = "Employment_Status = 0 | Employment_Status = 1", col = "gold", pch = "I")
curve(predict(glm(Employment_Status~Income, family = "binomial", data = dataPlot), data.frame(Income = x), type = "response"), col = "orange", lwd = 3, add = TRUE)
```

### **Conclusiones**
El análisis del conjunto de datos de riesgo financiero permitió identificar patrones y tendencias relevantes en los perfiles financieros individuales, integrando variables demográficas, financieras y de comportamiento. A través de herramientas de estadística multivariada, se evidenció que variables como la Relación deuda-ingreso, los Ingresos y la Puntuación crediticia presentan correlaciones significativas, siendo determinantes en la evaluación del riesgo. No obstante, las pruebas de normalidad multivariada mostraron desviaciones, indicando que los datos no siguen distribuciones normales, lo que sugiere la necesidad de métodos robustos para un análisis más preciso.

El uso de componentes principales permitió reducir la dimensionalidad del conjunto de datos, explicando más del 70% de la variabilidad total en las primeras tres dimensiones. Estas se asociaron principalmente a factores como el Valor de los activos, el Monto del préstamo y los Ingresos, lo que permitió identificar perfiles financieros compactos y diferenciados. Asimismo, los análisis de correspondencias simples y múltiples destacaron que categorías cualitativas como el Propósito del préstamo y el Estado laboral juegan un papel importante en la segmentación de los individuos, revelando patrones de comportamiento financiero que varían según los contextos personales y profesionales.

Por otro lado, los análisis de conglomerados, tanto jerárquicos como no jerárquicos, identificaron grupos homogéneos dentro del conjunto de datos, mostrando una clara diferenciación basada en variables clave como los Ingresos y la Puntuación crediticia. Estos hallazgos son relevantes para diseñar estrategias personalizadas de gestión del riesgo financiero. Sin embargo, se identificaron valores atípicos que, en algunos casos, afectaron la estabilidad de los análisis, subrayando la importancia de realizar un preprocesamiento adecuado para garantizar la fiabilidad de los resultados.

Finalmente, los modelos de regresión implementados evidenciaron relaciones significativas entre las variables cuantitativas y el riesgo financiero. Aunque los modelos mostraron una capacidad explicativa adecuada, la presencia de valores extremos limitó parcialmente la precisión en algunas estimaciones, resaltando la complejidad inherente al fenómeno estudiado. En conjunto, el trabajo mostró cómo el uso de técnicas multivariadas y herramientas como R y RStudio permiten una comprensión integral y detallada del riesgo financiero, facilitando el análisis de datos complejos con una alta eficiencia y trazabilidad técnica.

### **Bibliografia**

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