1. Revisa todas las propiedades sobre matrices que se comentaron del tema

Las primeras propiedades que discutimos son las propiedades de una matriz transpuesta.Desglosemos y expliquemos cada una de ellas.

Matriz transpuesta

Las matriz transpuesta cumple las siguientes propiedades. Sea A y B dos matrices y k un número real:

a. \((A^t)^t=A\)

Esto quiere decir que si se toma la transpuesta de una matriz A y luego vuelves a tomar la transpuesta del resultado, se obtendrá nuevamente la matriz original

#Matriz A para ejemplo de propiedad "a"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90    3   21
## [2,]   18   45   39
## [3,]    7   13   27

#Transpuesta de matriz A

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90   18    7
## [2,]    3   45   13
## [3,]   21   39   27

#Matriz A transpuesta

AT <- matrix(c(90,18,7,3,45,13,21,39,27),nrow = 3,byrow = T)
AT

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90   18    7
## [2,]    3   45   13
## [3,]   21   39   27

#Transpuesta nuevamente

t(AT)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90    3   21
## [2,]   18   45   39
## [3,]    7   13   27

La transpuesta de la transpuesta es la matriz A original.

b. \((A+B)^t=A^t+B^t\)

Esto nos dice que la transpuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de sus dos transpuestas de manera individual. Mostraremos a continuación.

#Matrices A y B para ejemplo de propiedades "b"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90    3   21
## [2,]   18   45   39
## [3,]    7   13   27

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)
B

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   20   19    2
## [2,]   18   25   34
## [3,]   17   26   37

#Sumatoria de A y B

C <- A + B
C

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  110   22   23
## [2,]   36   70   73
## [3,]   24   39   64

#Transpuesta de sumatoria de A y B

t(C)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  110   36   24
## [2,]   22   70   39
## [3,]   23   73   64

#Transpuesta matriz A individual

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90    3   21
## [2,]   18   45   39
## [3,]    7   13   27

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90   18    7
## [2,]    3   45   13
## [3,]   21   39   27

#Transpuesta matriz B individual

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)
B

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   20   19    2
## [2,]   18   25   34
## [3,]   17   26   37

t(B)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   20   18   17
## [2,]   19   25   26
## [3,]    2   34   37

#Sumatoria transpuestas individuales

C <- t(A)+t(B)
C

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  110   36   24
## [2,]   22   70   39
## [3,]   23   73   64

Como se puede ver, la transpuesta de la suma de las matrices A y B es igual a la sumatoria de las tranpuestas por separado de las matrices A y B.

c. \((AB)^t=B^tA^t\)

Esta propiedad dice que la transpuesta de la multiplicación de dos matrices es igual a la multiplicación de la transpuesta de ambas matrices pero en orden inverso, es decir la transpuesta de la matriz B por la transpuesta de la matriz A.

#Matrices A y B para ejemplo de propiedades "c"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90    3   21
## [2,]   18   45   39
## [3,]    7   13   27

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)
B

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   20   19    2
## [2,]   18   25   34
## [3,]   17   26   37

#Multiplicación matrices A y B

C <- A%*%B
C

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2211 2331 1059
## [2,] 1833 2481 3009
## [3,]  833 1160 1455

#Transpuesta producto matriz A y B

t(C)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2211 1833  833
## [2,] 2331 2481 1160
## [3,] 1059 3009 1455

#Transpuesta matriz B individual

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)
B

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   20   19    2
## [2,]   18   25   34
## [3,]   17   26   37

t(B)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   20   18   17
## [2,]   19   25   26
## [3,]    2   34   37

#Transpuesta matriz A individua

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90    3   21
## [2,]   18   45   39
## [3,]    7   13   27

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90   18    7
## [2,]    3   45   13
## [3,]   21   39   27

#Multiplición de transpuestas matrices B y A

C <- t(B)%*%t(A)
C

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2211 1833  833
## [2,] 2331 2481 1160
## [3,] 1059 3009 1455

Como se puede observar, la transpuesta del oriducto de dos matrices es igual al producto de las transpuestas, pero en orden inverso.

d. \((kA)^t=kA^t\)

Aquí k es un número real (escalar) y A es una matriz. Esta propiedad dice que la transpuesta del producto de un escalar por una matriz es igual a multiplicar ese escalar por la transpuesta de la matriz.

#Matriz A y numero real k para ejemplo propiedad "d"

k <-5

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

#Producto de escalar por matriz

k*A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  450   15  105
## [2,]   90  225  195
## [3,]   35   65  135

#Multiplicación escalar por matriZ A

k*A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  450   15  105
## [2,]   90  225  195
## [3,]   35   65  135

#Transpuesta producto de escalar por matriz A

t(k*A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  450   90   35
## [2,]   15  225   65
## [3,]  105  195  135

#Ahora sacaremos transpuesta de A primero

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90   18    7
## [2,]    3   45   13
## [3,]   21   39   27

#Luego, multiplicaremos esa transpuesta por el escalar

k*t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  450   90   35
## [2,]   15  225   65
## [3,]  105  195  135

Luego de las propiedades de matriz compuesta, discutimos las propiedades de la traza de una matriz.

Traza de una matriz

La traza de una matriz cumple las siguientes propiedades. Sea A y B dos matrices cuadradas y k un número real:

a. \(tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\)

Esta propiedad dice que la traza de la suma de la matriz A con matriz B es igual a la sumatoria de las trazas de estas matrices de manera indivudual, es decir la traza de la matriz A más la traza de la matriz B.

#Matrices A y B para ejemplo de propiedad "a"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)

#Sumatoria de matrices

C <- A+B
C

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  110   22   23
## [2,]   36   70   73
## [3,]   24   39   64

#Traza de sumatoria de matrices

trC <- sum(diag(C))
trC

## [1] 244

#Ahora sacaremos las trazas de las matrices individualmente, comenzando con matriz A

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

trA <- sum(diag(A))
trA

## [1] 162

#Traza matriz B

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)

trB <- sum(diag(B))
trB

## [1] 82

#Sumatoria trazas de matriz A y matriz B

trAB <- trA+trB
trAB

## [1] 244

Como podemos ver, se cumple la propiedad estipulada.

b. \(tr(kA)=ktra(A)\)

Esta propiedad indica que la traza de un escalar por una matriz A es igual a el escalar por la traza de la matriz A de manera individual. Mostraremos a continuacion.

#Ejemplo escalar y matriz A para propiedad "b"

k <-5

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

#Producto de escalar por matriz

KA <-k*A

#Traza de producto de escalar por matriz

trKA <- sum(diag(KA))
trKA

## [1] 810

#Ahora sacaremos la traza de matriz de A primero

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

trA <-sum(diag(A))
trA

## [1] 162

#Luego esa traza la multiplicaremos por el escalar

k*trA

## [1] 810

Podemos ver como se cumple la propiedad, ambos dando 810.

c. \(tr(AB)=tr(BA)\)

Esta propiedad indica que la traza del producto de dos matrices es igual a la traza del producto pero de manera inversa.

#Matrices A y B para ejemplo de propiedades "c"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)

#Multiplicación de matrices A y B

C <- A%*%B
C

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2211 2331 1059
## [2,] 1833 2481 3009
## [3,]  833 1160 1455

#Ahora sacaremos la traza de ese producto

trC <-sum(diag(C))
trC

## [1] 6147

#Ahora haremos lo mismo pero la multiplicación de manera inversa

C2 <- B%*%A
C2

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2156  941 1215
## [2,] 2308 1621 2271
## [3,] 2257 1702 2370

#Ahora sacaremos la traza de ese producto

trC2 <-sum(diag(C2))
trC2

## [1] 6147

Vemos como se cumple la propiedad ambos dando 6147.

A contunuación discutiremos las propiedades explicadas de la matriz inversa.

Producto matricial

a. \(A(B+C)=AB+AC\)

Esta es la propiedad distributiva de las matrices. Indica que al multiplicar una matriz A por la suma de dos matrices B y C, es lo mismo que multiplicar A por B y luego por C, y después sumar los resultados.

#Matrices A, B y C para ejempo de propiedades "a"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)

C <- matrix(c(7,98,211,56,83,3,17,67,65),nrow=3,byrow=T)

#Sumamos matrices B y C

D <- B+C
D

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   27  117  213
## [2,]   74  108   37
## [3,]   34   93  102

#Multiplicamos A por resultado de sumatoria

E <- A%*%D
E

##      [,1]  [,2]  [,3]
## [1,] 3366 12807 21423
## [2,] 5142 10593  9477
## [3,] 2069  4734  4726

#Ahora multiplicamos matriz de A y B

AB <- A%*%B
AB

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2211 2331 1059
## [2,] 1833 2481 3009
## [3,]  833 1160 1455

#Ahora multiplicamos matriz de A y C

AC <- A%*%C
AC

##      [,1]  [,2]  [,3]
## [1,] 1155 10476 20364
## [2,] 3309  8112  6468
## [3,] 1236  3574  3271

#Sumamos AB+AC

E2 <- AB+AC
E2

##      [,1]  [,2]  [,3]
## [1,] 3366 12807 21423
## [2,] 5142 10593  9477
## [3,] 2069  4734  4726

Como podemos ver la propiedad distributiva se cumple.

b. \((AB)^t=B^tA^t\)

Esta es la regla transpuesta del producto. Dice que la transpuesta del producto de dos matrices A y B es igual al producto de las transpuestas indivoiduales de las matrices, pero en orden inverso.

#Matrices A y B para ejemplo propiedades "b"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

B <- matrix(c(20,19,2,18,25,34,17,26,37),nrow=3,byrow=T)

#Multiplico ambas matrices

C <- A%*%B
C

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2211 2331 1059
## [2,] 1833 2481 3009
## [3,]  833 1160 1455

#Calculo transpuesta del producto

t(C)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2211 1833  833
## [2,] 2331 2481 1160
## [3,] 1059 3009 1455

#Ahora calculo transpuesta solo de la matriz A

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90   18    7
## [2,]    3   45   13
## [3,]   21   39   27

#Ahora calculo transpuesta solo de la matriz B 

t(B)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   20   18   17
## [2,]   19   25   26
## [3,]    2   34   37

#Multiplico eso por la matriz A

TBTA <- t(B)%*%t(A)
TBTA

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2211 1833  833
## [2,] 2331 2481 1160
## [3,] 1059 3009 1455

C. \(AI=IA=A\)

Esta propiedad refleja el papel de la matriz identidad I en multiplicación de matrices. La matriz identidad actúa como el número 1 en las matrices, es decir, cuando multiplicas una matriz A por la identidad I, el resultado es la misma matriz A.

#Matriz A que utilizaremos en el ejemplo propiedad "c"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

#Crear Identidad

I <- diag(3)

#Multiplicamos matriz A por Identidad

AI <- A%*%I
AI

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90    3   21
## [2,]   18   45   39
## [3,]    7   13   27

#Ahora multiplicamos Identidad por matriz A

IA <- I%*%A
IA

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90    3   21
## [2,]   18   45   39
## [3,]    7   13   27

Se cumple la propiedad.

Y para finalizar, discutimos las propiedades de la inversa de una matriz.

Inversa de una matriz

a. \((AB)^-1=B^-1A^-1\)

Esta propiedad establece que la inversa de un producto de dos matrices A yB es igual al producto de sus inversas, pero en orden inverso.

#Matriz A y matriz B ejemplo propiedad "a"

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

B <- matrix(c(7,98,211,56,83,3,17,67,65),nrow=3,byrow=T)

#Verificamos determinantes diferentes a cero

det(A)

## [1] 61380

det(B)

## [1] 178587

#Multiplicacion matrices

C <- A%*%B
C

##      [,1]  [,2]  [,3]
## [1,] 1155 10476 20364
## [2,] 3309  8112  6468
## [3,] 1236  3574  3271

#Inversa de producto

InvC <-solve(C)
InvC

##               [,1]          [,2]         [,3]
## [1,]  0.0003117883  0.0035135102 -0.008888609
## [2,] -0.0002581077 -0.0019515182  0.005465767
## [3,]  0.0001642025  0.0008046553 -0.002307652

#Ahora calcularemos las inversas de las matrices por separado, comenzando con matriz B

InvB <-solve(B)
InvB

##             [,1]         [,2]        [,3]
## [1,]  0.02908386  0.043491408 -0.09641799
## [2,] -0.02009665 -0.017537671  0.06604624
## [3,]  0.01310846  0.006702616 -0.02747680

#Inversa matriz A

InvA <-solve(A)
InvA

##              [,1]         [,2]        [,3]
## [1,]  0.011534702  0.003128055 -0.01348974
## [2,] -0.003470186  0.037194526 -0.05102639
## [3,] -0.001319648 -0.018719453  0.06510264

#Multiplicamos inversas

InvBA <- InvB%*%InvA
InvBA

##               [,1]          [,2]         [,3]
## [1,]  0.0003117883  0.0035135102 -0.008888609
## [2,] -0.0002581077 -0.0019515182  0.005465767
## [3,]  0.0001642025  0.0008046553 -0.002307652

Se cumple la propiedad.

b. \((A^t)^-1=(A^-1)^t\)

Esta propiedad indica que La inversa de la transpuesta de una matriz A es igual a la transpuesta de la inversa de A.

#Matriz A

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

#Transpuesta matriz A

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   90   18    7
## [2,]    3   45   13
## [3,]   21   39   27

#Comprobamos determinante

det(t(A))

## [1] 61380

#Inversa

InvTA <-solve(t(A))
InvTA

##              [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.011534702 -0.003470186 -0.001319648
## [2,]  0.003128055  0.037194526 -0.018719453
## [3,] -0.013489736 -0.051026393  0.065102639

#Ahora primero calculamos la inversa de la matriz A

InvA <-solve(A)
InvA

##              [,1]         [,2]        [,3]
## [1,]  0.011534702  0.003128055 -0.01348974
## [2,] -0.003470186  0.037194526 -0.05102639
## [3,] -0.001319648 -0.018719453  0.06510264

#Luego calculamos transpuesta

t(InvA)

##              [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.011534702 -0.003470186 -0.001319648
## [2,]  0.003128055  0.037194526 -0.018719453
## [3,] -0.013489736 -0.051026393  0.065102639

Confirmamos el cumplimiento de la propiedad.

c. \(|A^-1|=|A|^-1\)

Esta propiedad indica que el determinante de la inversa de una matriz A es igual a la inversa del determinante de A.

#Matriz A

A <- matrix(c(90,3,21,18,45,39,7,13,27),nrow=3,byrow=T)

#Inversa

InvA <- solve(A)
InvA

##              [,1]         [,2]        [,3]
## [1,]  0.011534702  0.003128055 -0.01348974
## [2,] -0.003470186  0.037194526 -0.05102639
## [3,] -0.001319648 -0.018719453  0.06510264

#El determinante de la inversa

det(InvA)

## [1] 1.629195e-05

#Ahora sacaremos el determinante de la matriz A en primer lugar

det(A)

## [1] 61380

#Luego calcularemos la inversa de ese determinante

InvDET <-solve(det(A))
InvDET

##              [,1]
## [1,] 1.629195e-05

Ambos dan un valor de 1.629195e-05, confirmando la propiedad.

d. \(A=A^-1\)

Esta propiedad indica que si una matriz A es simétrica, entonces su inversa A^−1 también será simétrica.

#Matriz A simétrica

A <- matrix(c(4, 1, 1, 3), nrow = 2)
A

##      [,1] [,2]
## [1,]    4    1
## [2,]    1    3

#Verificamos simetría con la transpuesta

t(A)

##      [,1] [,2]
## [1,]    4    1
## [2,]    1    3

#Calcular inversa

InvA <-solve(A)
InvA

##             [,1]        [,2]
## [1,]  0.27272727 -0.09090909
## [2,] -0.09090909  0.36363636

#Confirmamo simetría de inversa con la transpuesta

t(InvA)

##             [,1]        [,2]
## [1,]  0.27272727 -0.09090909
## [2,] -0.09090909  0.36363636

Se confirma la propiedad.

2. Sea la matriz A

A <- matrix(c(1, 1, 0, 1, 2, 2), ncol=2, byrow=TRUE)
A

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    1
## [2,]    0    1
## [3,]    2    2

a. Calcula la matriz \(A^tA\), su determinante y su traza.

Aqui se nos pide multiplicar la transpuesta de A por la matriz A.

#Matriz A

A <- matrix(c(1, 1, 0, 1, 2, 2), ncol=2, byrow=TRUE)
A

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    1
## [2,]    0    1
## [3,]    2    2

#Calculamos transpuesta de matriz A

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    2
## [2,]    1    1    2

#Multiplicamos la transpuesta por la matriz A

AT <- t(A)%*%A
AT

##      [,1] [,2]
## [1,]    5    5
## [2,]    5    6

#Luego calculamos su determinante

det(AT)

## [1] 5

#Y luego, calculamos su traza

trA<-sum(diag(AT))
trA

## [1] 11

b. Calcula la matriz \(AA^t\), su determinante y su traza.

Aquí es al revez. Multiplicaremos la matriz A por la transpuesta de A.

#Matriz A

A <- matrix(c(1, 1, 0, 1, 2, 2), ncol=2, byrow=TRUE)
A

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    1
## [2,]    0    1
## [3,]    2    2

#Transpuesta

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    2
## [2,]    1    1    2

#Multiplicamos matriz A por transpuesta

MT <- A%*%t(A)
MT

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    1    4
## [2,]    1    1    2
## [3,]    4    2    8

#Calculamos determinante

det(MT)

## [1] 0

#Calculamos traZa

trMT <- sum(diag(MT))
trMT

## [1] 11

c. Calcula la inversa de \(A^tA\)

Ya esta multiplicación la hicimos anteriormente, solo nos hace falta confirmar si los valores son invertibles. Para hacer eso confirmaremos con el determinante. Debe ser diferente a cero.

#Matriz A

A <- matrix(c(1, 1, 0, 1, 2, 2), ncol=2, byrow=TRUE)
A

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    1
## [2,]    0    1
## [3,]    2    2

#Calculamos transpuesta de matriz A

t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    2
## [2,]    1    1    2

#Multiplicamos la transpuesta por la matriz A

AT <- t(A)%*%A
AT

##      [,1] [,2]
## [1,]    5    5
## [2,]    5    6

#Luego calculamos su determinante

det(AT)

## [1] 5

#El determinante es diferente a cero, por lo cual podemos calcular inversa

InvAT <- solve(AT)
InvAT

##      [,1] [,2]
## [1,]  1.2   -1
## [2,] -1.0    1

3. Sea la matriz B

B <- matrix(c(2,1,1,2),ncol=2,byrow=T)
B

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    2

a. Calcula los valores y vectores propios de la matriz B.

#Calculamos vectores propios de B

lambda_B <- eigen(B)
lambda_B$vectors

##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.7071068
## [2,] 0.7071068  0.7071068

#Ahora calculamos valores propios de B

lambda_B$values

## [1] 3 1

#Prueba

lambda_B$vectors[,1]%*%lambda_B$vectors[,2]

##      [,1]
## [1,]    0

b. Escriba su representación espectral.

#Definimos matriz B

B <- matrix(c(2,1,1,2),ncol=2,byrow=T)
B

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    2

#Calculamos vectores propios de B

lambda_B <- eigen(B)
lambda_B$vectors

##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.7071068
## [2,] 0.7071068  0.7071068

#Ahora calculamos valores propios de B

lambda_B$values

## [1] 3 1

#Descomposición de B

lambda_B$vectors%*%(lambda_B$values*t(lambda_B$vectors))

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    2

#Inversa de B

InvB <-round(solve(B),1)
InvB

##      [,1] [,2]
## [1,]  0.7 -0.3
## [2,] -0.3  0.7

#Descomposición inversa de B

round(lambda_B$vectors%*%((1/lambda_B$values)*t(lambda_B$vectors)),1)

##      [,1] [,2]
## [1,]  0.7 -0.3
## [2,] -0.3  0.7

c. Calcula los valores y vectores propios de la matriz \(B^-1\) y su representción espectral.

#Definimos matriz B

B <- matrix(c(2,1,1,2),ncol=2,byrow=T)
B

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    2

#Verificamos determinante

det(B)

## [1] 3

#Es diferente a cero, Buscamos Inversa de matriz B

IB <- round(solve(B),1)
IB

##      [,1] [,2]
## [1,]  0.7 -0.3
## [2,] -0.3  0.7

#Calculamos vectores propios de IB

lambda_IB <- eigen(IB)
lambda_IB$vectors

##            [,1]       [,2]
## [1,] -0.7071068 -0.7071068
## [2,]  0.7071068 -0.7071068

#Ahora calculamos valores propios de IB

lambda_IB$values

## [1] 1.0 0.4

#Descomposición de B

lambda_IB$vectors%*%(lambda_IB$values*t(lambda_IB$vectors))

##      [,1] [,2]
## [1,]  0.7 -0.3
## [2,] -0.3  0.7

#Inversa de B

InvIB <-round(solve(IB),1)
InvIB

##      [,1] [,2]
## [1,]  1.8  0.8
## [2,]  0.8  1.8

#Descomposición inversa de B

round(lambda_IB$vectors%*%((1/lambda_IB$values)*t(lambda_IB$vectors)),1)

##      [,1] [,2]
## [1,]  1.8  0.8
## [2,]  0.8  1.8

Tarea 3 MATRICES

Angel G Crespo Baez

2024-09-16

1. Revisa todas las propiedades sobre matrices que se comentaron del tema

Matriz transpuesta

a. \((A^t)^t=A\)

b. \((A+B)^t=A^t+B^t\)

c. \((AB)^t=B^tA^t\)

d. \((kA)^t=kA^t\)

Traza de una matriz

a. \(tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\)

b. \(tr(kA)=ktra(A)\)

c. \(tr(AB)=tr(BA)\)

Producto matricial

a. \(A(B+C)=AB+AC\)

b. \((AB)^t=B^tA^t\)

C. \(AI=IA=A\)

Inversa de una matriz

a. \((AB)^-1=B^-1A^-1\)

b. \((A^t)^-1=(A^-1)^t\)

c. \(|A^-1|=|A|^-1\)

d. \(A=A^-1\)

2. Sea la matriz A

a. Calcula la matriz \(A^tA\), su determinante y su traza.

b. Calcula la matriz \(AA^t\), su determinante y su traza.

c. Calcula la inversa de \(A^tA\)

3. Sea la matriz B

a. Calcula los valores y vectores propios de la matriz B.

b. Escriba su representación espectral.

c. Calcula los valores y vectores propios de la matriz \(B^-1\) y su representción espectral.

Tarea 3 MATRICES

Angel G Crespo Baez

2024-09-16

1. Revisa todas las propiedades sobre matrices que se comentaron del tema

Matriz transpuesta

a. \((A^t)^t=A\)

b. \((A+B)^t=A^t+B^t\)

c. \((A*B)^t=B^t*A^t\)

d. \((k*A)^t=k*A^t\)

Traza de una matriz

a. \(tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\)

b. \(tr(k*A)=k*tra(A)\)

c. \(tr(A*B)=tr(B*A)\)

Producto matricial

a. \(A(B+C)=AB+AC\)

b. \((A*B)^t=B^t*A^t\)

C. \(A*I=I*A=A\)

Inversa de una matriz

a. \((A*B)^-1=B^-1*A^-1\)

b. \((A^t)^-1=(A^-1)^t\)

c. \(|A^-1|=|A|^-1\)

d. \(A=A^-1\)

2. Sea la matriz A

a. Calcula la matriz \(A^tA\), su determinante y su traza.

b. Calcula la matriz \(AA^t\), su determinante y su traza.

c. Calcula la inversa de \(A^tA\)

3. Sea la matriz B

a. Calcula los valores y vectores propios de la matriz B.

b. Escriba su representación espectral.

c. Calcula los valores y vectores propios de la matriz \(B^-1\) y su representción espectral.

c. \((AB)^t=B^tA^t\)

d. \((kA)^t=kA^t\)

b. \(tr(kA)=ktra(A)\)

c. \(tr(AB)=tr(BA)\)

b. \((AB)^t=B^tA^t\)

C. \(AI=IA=A\)

a. \((AB)^-1=B^-1A^-1\)