Tarea 3

Ejercicios

1.Revisa todas las propiedades sobre matrices que se comentaron del tema dado las matrices inventadas de: #Producto de matrices #Matriz inversa #Matriz traspuesta #Traza de matriz

MIA <- matrix(c(2,6,3,8,9,4,2,6,8),nrow=3,byrow=F)
MIA

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    8    2
## [2,]    6    9    6
## [3,]    3    4    8

MIB <- matrix(c(5,1,4,8,4,2,6,3,2),nrow=3,byrow=F)
MIB

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    5    8    6
## [2,]    1    4    3
## [3,]    4    2    2

#Producto de matrices
 producto <- MIA %*% MIB
producto

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   26   52   40
## [2,]   63   96   75
## [3,]   51   56   46

#Matriz inversa
inv_MIA <- round(solve(MIA),2)
inv_MIA

##       [,1]  [,2] [,3]
## [1,] -0.32  0.37 -0.2
## [2,]  0.20 -0.07  0.0
## [3,]  0.02 -0.11  0.2

#Matriz traspuesta
tra_MIA <- t(MIA)
tra_MIA

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    6    3
## [2,]    8    9    4
## [3,]    2    6    8

#Traza de matriz
traza_MIA <- sum(diag(MIA))
traza_MIA

## [1] 19

2. Sea la matriz A A = 1 1 0 1 2 2

A <- matrix(c(1,0,2,1,1,2),nrow=3,byrow=F)
A

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    1
## [2,]    0    1
## [3,]    2    2

# a. Calcula la matriz AtA, su determinante y su traza.
At <- t(A) 
t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    2
## [2,]    1    1    2

AtA <- At %*% A
AtA

##      [,1] [,2]
## [1,]    5    5
## [2,]    5    6

det_AtA <- det(AtA)
det(AtA)

## [1] 5

trA <- sum(diag(AtA))
trA

## [1] 11

#b. Calcula la matriz AAt, su determinante y su traza.
At <- t(A) 
t(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    2
## [2,]    1    1    2

AAt <- A %*% At
AAt

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    1    4
## [2,]    1    1    2
## [3,]    4    2    8

det_AAt <- det(AAt)
det(AAt)

## [1] 0

trA <- sum(diag(AAt))
trA

## [1] 11

#c. Calcula la inversa de AtA.
Inv_AtA <- round(solve(AtA),1)
Inv_AtA

##      [,1] [,2]
## [1,]  1.2   -1
## [2,] -1.0    1

round(A %*% Inv_AtA)

##      [,1] [,2]
## [1,]    0    0
## [2,]   -1    1
## [3,]    0    0

3. Sea la matriz B B = 2 1 1 2

B <- matrix(c(2,1,1,2),nrow=2,byrow=F)
B

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    2

#a. Calcula los valores y vectores propios de la matriz B.
lambda_B <- eigen(B)
# vectores propios
vectores_B <- round(lambda_B$vectors,2)
vectores_B

##      [,1]  [,2]
## [1,] 0.71 -0.71
## [2,] 0.71  0.71

#valores propios 
valores_B <- round(lambda_B$values,2)
valores_B

## [1] 3 1

#b. Escriba la representación espectral de la matriz B.

lambda_B$vectors%*%diag(lambda_B$values)%*%t(lambda_B$vectors)

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    2

# vectores propios
vectores_B <- round(lambda_B$vectors,2)
vectores_B

##      [,1]  [,2]
## [1,] 0.71 -0.71
## [2,] 0.71  0.71

#valores propios 
valores_B <- round(lambda_B$values,2)
valores_B

## [1] 3 1

#c. Calcula los valores y vectores propios de la matriz B−1 y su representación espectral.
Inv_B <- solve(B)
lambda_Inv_B <- eigen(Inv_B)
#vectores propios
vectores_Inv_B <- round(lambda_Inv_B$vectors,2)
vectores_Inv_B

##       [,1]  [,2]
## [1,] -0.71 -0.71
## [2,]  0.71 -0.71

#valores propios 
valores_Inv_B <- round(lambda_Inv_B$values,2)
valores_Inv_B

## [1] 1.00 0.33