Estatística Descritiva Univariada

Gráficos, tabelas e medidas-resumo

Prof. Letícia Raposo

UNIRIO

Estatística descritiva

Organizar, resumir e apresentar os dados (tabelas, gráficos e medidas-resumo).
Interpretação (não há conclusões nesta etapa).
Observar determinados aspectos relevantes e começar a delinear hipóteses.

Questione-se!

Os dados estão me dizendo algo importante?

Vale a pena fazer uma análise?

Preciso coletar mais dados?

Estatística descritiva univariada qualitativa

Tabela de distribuição de frequências

Nível de escolaridade	\(F_i\)	\(Fr_i(\%)\)	\(F_{ac}\)	\(F_{ac}(\%)\)
Sem escolaridade	15	25,00	15	25,00
Fundamental incompleto	2	3,33	17	28,33
Fundamental completo	6	10,00	23	38,33
Médio incompleto	1	1,67	24	40,00
Médio completo	1	1,67	25	41,67
Superior incompleto	1	1,67	26	43,33
Superior completo	32	53,33	58	96,67
Pós-graduação	2	3,33	60	100
Total	60	100

\(F_i\): frequência absoluta
\(Fr_i(\%)\): frequência relativa (em porcentagem)
\(F_{ac}\): frequência acumulada
\(F_{ac}(\%)\): frequência acumulada relativa (em porcentagem)

Gráficos

Gráfico de barras

Código em R

library(palmerpenguins)
library(dplyr)
library(ggplot2)
penguins %>%
  count(species) %>%
  ggplot(aes(x = reorder(species,-n), y = n)) +
  geom_bar(aes(fill = species), stat = "identity") +
  scale_fill_manual(values = c("darkorange", "purple", "cyan4")) +
  labs(x = "Espécies",
       y = "Frequência absoluta",
       title = "Espécies de pinguins observadas em três ilhas no Arquipélago de Palmer, Antártida",
       fill = "Espécies") +
  theme(legend.position = "none") + theme_minimal()

Gráfico de barras

Código em R

library(palmerpenguins)
library(dplyr)
library(ggplot2)
penguins %>%
  count(island) %>%
  ggplot(aes(x = reorder(island,-n), y = n)) +
  geom_bar(aes(fill = island), stat = "identity") +
  scale_fill_manual(values = c("darkorange", "purple", "cyan4")) +
  labs(x = "Ilhas",
       y = "Frequência absoluta",
       title = "Número de pinguins em cada uma das três ilhas do Arquipélago de Palmer, Antártida",
       fill = "Espécies") +
  theme(legend.position = "none") + theme_minimal() +
  coord_flip()

Gráfico de setores

Código em R

library(palmerpenguins)
library(dplyr)
library(ggplot2)
penguins %>%
  count(island) %>%
  mutate(freq = n / sum(n)) %>%
  ggplot(aes(x = "", y = freq, fill = island)) +
  geom_bar(width = 1, stat = "identity") +
  coord_polar("y", start = 0) +
  scale_fill_manual(values = c("darkorange", "purple", "cyan4")) +
  labs(fill = "Ilhas",
       y = "",
       x = "",
       title = "Distribuição dos pinguins em cada uma das três ilhas do Arquipélago de Palmer, Antártida") +
  geom_text(aes(label = paste0(round(freq * 100), "%")), position = position_stack(vjust = 0.5)) +
  theme_classic() + 
  theme(
    axis.line = element_blank(),
    axis.text = element_blank(),
    axis.ticks = element_blank()
  )

Gráficos de barras vs. gráficos de setores

Gráficos de barras:

Representam dados categóricos com barras de altura/ comprimento proporcional à frequência.
Facilita a comparação direta entre categorias.
Melhor para dados com muitas categorias.
Pode ser horizontal ou vertical.

Gráficos de setores:

Representam dados como porções de um todo, em forma de círculo.
Ideal para mostrar proporções relativas de um conjunto de dados.
Difícil de comparar valores próximos ou para muitas categorias.
Melhor para visualizar percentagens ou partes de um total.

Estatística descritiva univariada quantitativa

Variáveis discretas

Tabela de distribuição de frequências:
- Similares às dos dados categorizados, desde que não haja grande quantidade de diferentes valores observados.
- No lugar das possíveis categorias devem constar os possíveis valores numéricos.
Representação gráfica: similar à das variáveis qualitativas.

Variáveis contínuas

Tabela de distribuição de frequências:
- Precisamos agrupar os resultados em classes pré-estabelecidas.
- As classes são mutuamente exclusivas.
- Todo valor observado deve pertencer a uma e apenas uma classe.

Variáveis contínuas

Gráficos:
- Histograma
- Densidades
- Linha
- Boxplot

Histograma

Código em R

library(palmerpenguins)
library(dplyr)
library(ggplot2)
penguins %>%
  ggplot(aes(x = flipper_length_mm)) +
  geom_histogram(
    position = "identity",
    fill = "purple",
    color = "black",
    binwidth = 10
  ) +
  labs(fill = "Ilhas",
       y = "Frequência absoluta",
       x = "Comprimento das nadadeiras dos pinguins (milímetros)",
       title = "Distribuição dos comprimentos das nadadeiras dos pinguins (milímetros)") +
  theme_minimal()

Retângulos justapostos, feitos sobre as classes da variável em estudo.
A altura de cada retângulo é proporcional à frequência (absoluta, relativa ou acumulada) observada da correspondente classe.
Permite identificar a distribuição e a frequência dos dados.

Densidades

Código em R

library(palmerpenguins)
library(dplyr)
library(ggplot2)
penguins %>%
  ggplot(aes(x = flipper_length_mm)) +
  geom_density(
    position = "identity",
    fill = "purple",
    color = "black",
  ) +
  labs(fill = "Ilhas",
       y = "Densidade",
       x = "Comprimento das nadadeiras dos pinguins (milímetros)",
       title = "Distribuição dos comprimentos das nadadeiras dos pinguins (milímetros)") +
  theme_minimal()

Representação da distribuição de uma variável numérica.
É uma versão suavizada do histograma e é usada no mesmo conceito.

Linhas

Representa dados ao longo do tempo ou outra variável contínua.
Conecta pontos de dados com linhas, facilitando a visualização de tendências e padrões.
Ideal para séries temporais, monitoramento de mudanças ou comparações de variáveis.
Utilizado em análises financeiras, científicas e de desempenho.
Pode exibir múltiplas séries de dados, permitindo a comparação entre diferentes categorias ou conjuntos de dados.

Boxplot

Código em R

library(palmerpenguins)
library(dplyr)
library(ggplot2)
penguins %>%
  ggplot(aes(y = flipper_length_mm)) +
  geom_boxplot(
    position = "identity",
    fill = "purple",
    color = "black"
  ) + 
  labs(fill = "Ilhas",
       x = " ",
       y = "Comprimento das nadadeiras dos pinguins (milímetros)",
       title = "Distribuição dos comprimentos das nadadeiras dos pinguins (milímetros)") +
  theme_minimal()

Representação gráfica de cinco medidas de posição de determinada variável: (i) mínimo, (ii) primeiro quartil, (iii) segundo quartil, (iv) terceiro quartil e (v) máximo.
Permite avaliar a simetria, distribuição dos dados e presença de outliers.

Boxplot

Medidas-resumo

Descrever e explorar dados quantitativos por meio de formas alternativas às distribuições de frequências.

Medidas de posição ou localização

Tendência central
- Média
- Mediana
- Moda

Separatrizes
- Quartis
- Decis
- Percentis

Média

\(\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}\),
sendo \(X_i\) cada valor observado e \(n\) o total de valores.

Média

A média resume o conjunto de dados em termos de uma posição central ou valor típico, mas, em geral, não fornece informação sobre outros aspectos da distribuição.
Para melhorar o resumo dos dados, podemos apresentar, ao lado da média , uma medida de dispersão, como a variância ou o desvio padrão.

Média

A média é fortemente influenciada por valores discrepantes. O valor discrepante 0 puxa a média para baixo. Apesar de a média aritmética ser 6, o diagrama de pontos sugere que o valor 7 seja um valor mais típico para representar as notas da turma, pois, além de ser o valor mais frequente, ele é o valor do meio, deixando metade das notas abaixo dele e metade acima.

Mediana

É uma medida de localização do centro da distribuição de um conjunto de dados ordenados de forma crescente.
Seu valor separa a série em duas partes iguais, de modo que 50% dos elementos são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguas à mediana.

Mediana

Moda

Corresponde à observação que ocorre com maior frequência.
A moda é a única medida de posição que também pode ser utilizada para variáveis qualitativas, já que essas variáveis permitem apenas o cálculo de frequências.

Comprimento das nadadeiras dos pinguins (milímetros)

Código em R

table(penguins$flipper_length_mm)


172 174 176 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
  1   1   1   4   1   5   7   3   2   7   9   7  16   6   7  22  13   7  15   5 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 
 17  10  10   8   6   4   6   4   5   3   1   2   8   5  14   2   7   6   6  12 
216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 228 229 230 231 
  8   6   5   5   8   5   6   2   3   4   1   4   2   7   1

Medidas separatrizes

Fornecem mais informações sobre a dispresão e simetria dos dados quando comparadas às medidas de tendência central, que são afetadas por valores extremos.

Medidas separatrizes

Medidas de dispersão

Amplitude
Variância
Desvio-padrão
Coeficiente de variação

Amplitude

\(A=X_{max}-X_{min}\)

Amplitude

Medida mais simples, representa a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de observações.
Não informa como os valores variam entre as extremidades.

Variância

\(S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{n-1}\) (amostra)

Variância

Avalia o quanto os dados estão dispersos em relação à média aritmética.
Quanto maior a variância, maior a dispersão dos dados.
O valor tende a ser muito grande e de difícil interpretação.

Variância

👁️ Fique de olho!

Quando você calcula a variância de uma amostra (ou seja, o quão dispersos os dados estão), usamos \(n-1\) no denominador porque estamos corrigindo o fato de que estamos usando apenas uma parte dos dados (a amostra) para estimar algo sobre todo o conjunto (a população). Esse “menos 1” ajusta a variabilidade para compensar o uso da média amostral, que é uma estimativa.

Desvio-padrão

\(\sqrt{S^2}\) (amostra)

Desvio-padrão

Raiz quadrada da variância, fornece o resultado na mesma ordem de grandeza da variável.
Quanto menor o desvio-padrão, maior a homogeneidade.

Desvio-padrão

👁️ Fique de olho!

Ao comparar duas variáveis na mesma escala, o desvio padrão é uma boa medida para avaliar a dispersão, desde que as médias sejam semelhantes. Nesse cenário, ele indicará qual conjunto de dados é mais disperso em termos absolutos. No entanto, quando as variáveis têm médias diferentes, o desvio padrão pode ser enganoso. Uma variável com uma média maior tende a ter um desvio padrão maior, mesmo que proporcionalmente a variação seja menor. Nesse caso, o coeficiente de variação é mais apropriado, pois ajusta o desvio padrão em relação à média, permitindo uma comparação proporcional entre as variáveis.

Coeficiente de variação

\(CV=\frac{S}{\bar{X}}\) (amostra)

Coeficiente de variação

Medida de dispersão relativa que fornece a variação dos dados em relação à média.
Quanto menor for o seu valor, mais homogêneos serão os dados (menor a dispersão em torno da média).
- CV \(<\) 0,30: dados razoavelmente homogêneos.
- CV \(\geq\) 0,30: dados pode ser considerado heterogêneo.
Vantagem: por ser adimensional, permite a comparação de séries de variáveis com unidades diferentes.

Medidas de forma

Assimetria
Curtose

Assimetria

Referem-se à forma da curva de uma distribuição de frequências.
Coeficiente de assimetria:
- \(=0\): simétrica
- \(>0\): assimetria positiva
- \(<0\): assimetria negativa

Curva simétrica

Curva assimétrica positiva

Curva assimétrica negativa

Curtose

Grau de achatamento de uma distribuição de frequências (altura do pico da curva) em relação a uma distribuição teórica que geralmente corresponde à distribuição normal.

📚 Referências bibliográficas

BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. Ed. UFSC, 2008.
DANCEY, Christine P.; REIDY, John G.; ROWE, Richard. Estatística Sem Matemática para as Ciências da Saúde. Penso Editora, 2017.
HAIR, J. F. et al. Multivariate data analysis. Cengage. Hampshire, United Kingdom, 2019.