Modelo Lokta - Volterra

El modelo presa-depredador, también conocido como el modelo Lotka-Volterra, ha sido un punto de partida para el desarrollo de nuevas técnicas y teorías matemáticas. El modelo presa-depredador se ocupa de la interacción entre dos especies, donde una de ellas (presa) tiene abundante comida y la segunda especie (depredador) tiene suministro de alimentos exclusivamente a la población de presas. Se supone también que, durante el proceso, en un intervalo de tiempo \(t\), el medio no debería cambiar favoreciendo a ninguna de las especies y que cualquier adaptación genética es lo suficientemente lenta.

En pocas palabras, el modelo de Lotka-Volterra supone que las presas crecen exponencialmente en ausencia de depredadores y que la tasa de mortalidad de depredadores en ausencia de presa es proporcional a su población \(y(t)\) en cada momento \(t\) (muerte por falta de alimentos) La tasa de natalidad del depredador depende exclusivamente de la cantidad de presas devoradas en cada encuentro.

Por tanto, en el modelo clásico de Lotka-Volterra se considera un hábitat en donde coexisten dos especies que interaccionan entre ellas. La especie \(x(t)\) se le llamará presa y tiene una fuente de alimentación por la que no compite; la otra especie \(y(t)\), a la que llamaremos depredador, tiene a \(x(t)\) en su dieta. De esta forma, \(x(t)\) representa el número de presas en el instante \(t\), mientras que \(y(t)\) indica la cantidad de depredadores en ese mismo momento.

Ejemplo de modelo Lokta - Volterra

Se define una función LVmod que representa el sistema de ecuaciones diferenciales que describen la dinámica de las poblaciones de presa y depredador. Esta función toma tres argumentos: Time (tiempo), State (estado inicial de las poblaciones) y Pars (parámetros del modelo).

library(deSolve)   #PVI,ESD,EDP y EDO
## Warning: package 'deSolve' was built under R version 4.1.3
LVmod <- function(Time, State, Pars) {
  with(as.list(c(State, Pars)), {
    Ingestion    <- rIng  * Prey * Predator
    GrowthPrey   <- rGrow * Prey * (1 - Prey/K)
    MortPredator <- rMort * Predator
    
    dPrey        <- GrowthPrey - Ingestion
    dPredator    <- Ingestion * assEff - MortPredator
    
    return(list(c(dPrey, dPredator)))
  })
}

Parámetros y condiciones iniciales

Se definen los parámetros del modelo (pars) y las condiciones iniciales (yini). Se especifica un vector de tiempos (times) para la simulación. Se realiza la simulación de las ecuaciones diferenciales usando la función ode del paquete deSolve. Los resultados se almacenan en el objeto out para luegto realizar un resumen de los resultados (summary(out)).

pars  <- c(rIng   = 0.2,    # /day, rate of ingestion
           rGrow  = 1.0,    # /day, growth rate of prey
           rMort  = 0.2 ,   # /day, mortality rate of predator
           assEff = 0.5,    # -, assimilation efficiency
           K      = 10)     # mmol/m3, carrying capacity

yini  <- c(Prey = 1, Predator = 2)
times <- seq(0, 200, by = 1)
out   <- ode(yini, times, LVmod, pars)
summary(out)
##                Prey    Predator
## Min.      1.0000000   1.8632829
## 1st Qu.   1.9999571   3.9999115
## Median    2.0000000   4.0000000
## Mean      2.0317905   3.9606228
## 3rd Qu.   2.0000751   4.0000418
## Max.      4.2001812   4.9787222
## N       201.0000000 201.0000000
## sd        0.3138139   0.3489079

Graficos

Gráfico de los resultados utilizando el método de trazado predeterminado (plot(out)).

## Default plot method
plot(out)

gráfico de las poblaciones de presa y depredador a lo largo del tiempo utilizando la función matplot.

## User specified plotting
matplot(out[ , 1], out[ , 2:3], type = "l", xlab = "time", ylab = "Conc",
        main = "Lotka-Volterra", lwd = 2)
legend("topright", c("prey", "predator"), col = 1:2, lty = 1:2)

Preguntas

Responda estas preguntas haciendo uso de el ejemplo del modelo de Lotka-Volterra. Sustente sus afirmaciones con las gráficas generadas con el modelo.

  1. ¿Qué representa la variable Ingestion en el contexto del modelo Lotka-Volterra y cómo afecta al crecimiento de las poblaciones de presas y depredadores?

  2. ¿Qué sucede con la población de presas y depredadores si aumentamos la tasa de crecimiento de las presas (rGrow)

  3. ¿Cómo cambia el equilibrio entre presas y depredadores si aumentamos la tasa de mortalidad de los depredadores (rMort)?

  4. ¿Cómo cambia el comportamiento en el tiempo si modificamos la capacidad de carga (K) del ecosistema?

  5. ¿Qué sucede si las tasas de ingestión y mortalidad de los depredadores son iguales (rIng=rMor)?

  6. ¿Qué sucede si las tasas de ingestión y mortalidad de los depredadores son iguales (rIng > rMor)?

  7. ¿Qué efecto tiene una disminución drástica en la tasa de crecimiento de las presas (rGrow) en el equilibrio del ecosistema a largo plazo?

  8. ¿Cómo varía la tasa de crecimiento de las presas (dPrey) en función de la tasa de ingestión y la tasa de crecimiento intrínseco de las presas (rGrow)?

  9. ¿Cómo cambia la tasa de cambio de la población de depredadores (dPredator) si la eficiencia de asimilación (assEff) disminuye?

  10. ¿Cómo afecta el cambio en el intervalo de tiempo (times) a la simulación del modelo?

  11. ¿Qué cambios podrías introducir al modelo si deseas incorporar el efecto de un entorno cambiante que afecte a la tasa de crecimiento de las presas o la tasa de mortalidad de los depredadores?