El “efecto del tamaño” (o “tamaño del efecto”, en inglés “effect size”) en el contexto de la prueba de hipótesis se refiere a la magnitud de la diferencia o la fuerza de la relación que se está investigando entre las variables. En otras palabras, mide la cantidad de cambio o la importancia práctica de los resultados, más allá de simplemente determinar si una diferencia es estadísticamente significativa. El tamaño del efecto es crucial porque, incluso si una prueba estadística muestra que un resultado es significativo (es decir, rechazas la hipótesis nula), el tamaño del efecto te dice si esa diferencia es realmente importante en un sentido práctico o clínico. Por ejemplo, un estudio podría encontrar que un nuevo medicamento reduce la presión arterial de manera estadísticamente significativa, pero el tamaño del efecto te indicaría si la reducción es lo suficientemente grande como para tener relevancia clínica. En resumen, el tamaño del efecto proporciona una medida complementaria a la significancia estadística, ayudando a interpretar el verdadero impacto o importancia de los resultados encontrados.

En este problema, nos centraremos en una aplicación que requiere la aplicación de la prueba t de Student para comparar las medias entre dos grupos. En este contexto evaluaremos cómo el efecto de los tamaños o las diferencias en los tamaños muestrales de los grupos influyen en la potencia de la prueba. De manera formal, la potencia se define como la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis alternativa es verdadera. De forma más coloquial, la potencia es la capacidad de una prueba estadística para identificar un efecto si este realmente existe. En general, desequilibrios muy marcados en los tamaños de muestra tienden a reducir la potencia estadística, incluso cuando se asocian con tamaños de efecto considerables, lo que aumenta la probabilidad de cometer un error de tipo II. Para fundamentar esta afirmación, debes se analizarán los siguientes resultados computacionales:

Caso 1: Variando los tamaños de los efectos (d)

En los códigos que se muestra a continuación, para cada tamaño fijo de los efectos \(d\), se modela la relación entre el tamaño muestral y la potencia (manteniendo constante el nivel de significancia \((α=0.05)\). En las figuras se visualizan los resultados para tamaño de efecto muy pequeño \((d=0.1)\), pequeño \((d=0.2)\), mediano \((d=0.5)\) y grande \((d=0.8)\). Se repite el análisis usando 5 valores distintos del nivel de significancia.

Caso 2: Variando los tamaños muestrales

En el código que se muestra a continuación, se modela la relación entre el tamaño del efecto$ d$ y la potencia (manteniendo constante el nivel de significancia \(α=0.05\)). Para ello, se considera los siguientes tamaños de muestra, donde \(n_1\) es el número de sujetos en el grupo 1 y \(n_2\) es el número de sujetos en el grupo 2:

\(n_1=28, \ n_2=1406\) : \(n_1\) representa el \(2 %\) del tamaño total de la muestra de 1434. \(n_1=144,\ n_2=1290\) : \(n_1\) representa el \(10 %\) del tamaño total de la muestra de 1434. \(n_1=287, \ n_2=1147\) : \(n_1\) representa el \(20 %\) del tamaño total de la muestra de 1434. \(n_1=430, \ n_2=1004\) : \(n_1\) representa el \(30 %\) del tamaño total de la muestra de 1434. \(n_1=574, \ n_2=860\) : \(n_1\) representa el \(40 %\) del tamaño total de la muestra de 1434. \(n_1=717, \ n_2=717\) : grupos de igual tamaño (esto es óptimo porque conduce a la potencia más alta para un tamaño de efecto dado).

En la figura resultante, se trazaron las curvas de potencia para la prueba t de Student, en función del tamaño del efecto, asumiendo una tasa de error Tipo I del 5 %. La comparación de diferentes curvas de potencia (basadas en el tamaño de la muestra de cada grupo) en el mismo gráfico es una representación visual útil de este análisis. En la figura también se trazó una línea discontinua horizontal en un nivel de potencia aceptable del 80% y una línea vertical en el tamaño del efecto que tendría que estar presente en nuestros datos para alcanzar el 80 % de potencia. Se observa que el tamaño del efecto debe ser superior a 0.54 para alcanzar un nivel de potencia aceptable dados tamaños de grupo altamente desequilibrados de n1=28 y n2=1406, en comparación con todos los demás escenarios que conducen al 100% de potencia. Se repite el análisis usando 5 valores distintos del nivel de significancia para analizar los resultados y comparar cuando n1=28 y n2=1406.

Conclusión:

Los gráficos muestran cómo la potencia de la prueba aumenta a medida que aumenta el tamaño de la muestra (Con más datos, es más fácil detectar diferencias) y aumenta el tamaño del efecto (Si la diferencia es mayor entre los grupos, es más fácil detectarla). Las líneas de diferentes colores representan diferentes tamaños de efecto. Las líneas discontinuas corresponden a tamaños de efecto considerados “pequeños”, “medianos” y “grandes” según Cohen.

Esto ayuda a determinar el tamaño de muestra necesario para un estudio y evaluar si tiene suficiente potencia para detectar un efecto relevante.Adicionalmente, se puede evitar realizar estudios demasiado grandes o demasiado pequeños, lo que puede ser costoso o poco eficiente.

Al cambiar el tamaño de la muestra en entre 20, 60, 100 y 140. Conforme aumenta n, disminuye el error estándar de la media, por lo tanto la estimación de la media poblacional a partir de la muestra es más precisa. Con un tamaño de muestra mayor, la potencia aumenta, lo que significa que hay más probabilidades de detectar diferencias significativas en caso que estén presentes.

Si se espera un efecto grande, se puede necesitar un tamaño de muestra menor en comparación con un efecto pequeño. Un nivel de significancia más bajo (por ejemplo, 0.01 en lugar de 0.05) requiere un tamaño de muestra mayor para mantener la misma potencia.Si los datos son muy variables, se necesitará un tamaño de muestra mayor para detectar diferencias.