Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponiendo que se colocan los valores de la muestra en una caja y se extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X^*_1\). Después de anotado el valor se regresa \(X^*_1\) a la caja y se extrae el valor \(X^*_2\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño \(n\) , \(X^*_1\) , \(X^*_2\) , \(X^*_3\) , \(X^*_n\), conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponiendo k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\bar{X}^*_i\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1:

\((P_{2.5}; P_{97.5})\)

Método 2:

\((\bar{X} - P_{97.5}; 2\bar{X} - P_{2.5})\)

Se contruye el intervalo de confianza por los dos métodos:

# Datos originales que se utilizarán para la simulación de bootstrap
datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)  # Conjunto de datos inicial

# Número de replicaciones de bootstrap
B <- 1000  # Número de muestras bootstrap

# Función para generar una muestra bootstrap y calcular su media
calcular_media_bootstrap <- function(datos) {
  muestra_resampleada <- sample(datos, replace = TRUE)  # Tomar una muestra con reemplazo
  mean(muestra_resampleada)  # Calcular y devolver la media de la muestra
}

# Realizar el proceso de bootstrap para calcular medias
medias_bootstrap <- replicate(B, calcular_media_bootstrap(datos))  # Generar B replicaciones

Aplicando el método 1:

# Método 1 para calcular el intervalo de confianza
# Usamos los percentiles 2.5% y 97.5% de las medias obtenidas por bootstrap
IC_metodo1 <- quantile(medias_bootstrap, c(0.025, 0.975))  # Calcular el intervalo de confianza

Aplicando el método 2:

# Método 2 para calcular el intervalo de confianza ajustado
# Utiliza la técnica de doble media y los percentiles de las medias bootstrap
IC_metodo2 <- c(
  2 * mean(datos) - quantile(medias_bootstrap, 0.975),  # Límite inferior del intervalo
  2 * mean(datos) - quantile(medias_bootstrap, 0.025)   # Límite superior del intervalo
)

Resultados:

# Mostrar el intervalo de confianza calculado con el método 1
print(paste("IC usando el método 1:", paste(IC_metodo1, collapse = " - ")))
## [1] "IC usando el método 1: 4.74839285714286 - 6.50864285714286"
# Mostrar el intervalo de confianza calculado con el método 2
print(paste("IC usando el método 2:", paste(IC_metodo2, collapse = " - ")))
## [1] "IC usando el método 2: 4.55992857142857 - 6.32017857142857"

Gráficando las medias del muestreo y el intervalo de convianza se obtiene:

# Crear el histograma de las medias bootstrap
hist(medias_bootstrap, las = 1, main = "Distribución de las Medias Bootstrap", 
     ylab = "Frecuencia", xlab = "Media Bootstrap", col = "darkorange")  # Histograma con color azul oscuro

# Añadir líneas verticales para los intervalos de confianza de ambos métodos
abline(v = IC_metodo1, col = "darkgreen", lwd = 2)  # Línea para el IC del Método 1
abline(v = IC_metodo2, col = "gray", lwd = 2)  # Línea para el IC del Método 2

# Añadir una leyenda en la esquina superior derecha
legend("topright", legend = c("Método 1", "Método 2"), 
       col = c("darkgreen", "gray"), lwd = c(2, 2))  # Colores y grosores de las líneas

Finalmente, se evidenció que ambos métodos ofrecen resultados similares donde uno se vé gráficamente el método 1 más a la derecha, se concluye que ambos métodos son confiables para la estimar el intervalo de confianza pero se debe tener en cuenta: los intervalos son más precisos con mayores números de muestra y con más muestreos. Si el estimador utilizado (media) es sesgado, los intervalos de confianza también pueden estar sesgados.

El intervalo de confianza proporciona un rango de valores posibles para la media poblacional. Con un nivel de confianza del 95%, podemos afirmar que estamos 95% seguros de que la verdadera media se encuentra dentro de este rango.