Ejercicio 1: Estimación del valor de PI
La siguiente figura sugiere como estimar el valor de 𝜋 con una
simulación. En la figura, un círcuito con un área igual a 𝜋/4 , está
inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma
aleatoria 𝑛 puntos dentro del cuadrado. La probabilidad de que un punto
esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que
abarca a éste, la cual es 𝜋/4 . Por tanto, se puede estimar el valor de
𝜋/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la
estimación de 𝜋/4 . De este último resultado se encontrar una
aproximación para el valor de 𝜋.
Figura1: Circulo representativo del
ejercicio
Desarollo
Se generó una muestra aleatoria de
1000 puntos con una
distribución uniforme para cada una de las coordenadas X y Y obteniendo
datos como los que se muestran a continuación:
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Coordenada_x
|
Coordenada_y
|
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0.983
|
0.672
|
|
0.626
|
0.145
|
|
0.812
|
0.978
|
|
0.159
|
0.943
|
|
0.230
|
0.541
|
|
0.740
|
0.052
|
Posterior a ello se calculó la distancia que hay entre cada punto al
centro del circulo
(0.5,0.5) y se agrega esta como una
nueva columna llamada
Distancia_al_centro obteniendo la
siguiente tabla:
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Coordenada_x
|
Coordenada_y
|
Distancia_al_centro
|
|
0.983
|
0.672
|
0.263
|
|
0.626
|
0.145
|
0.142
|
|
0.812
|
0.978
|
0.326
|
|
0.159
|
0.943
|
0.313
|
|
0.230
|
0.541
|
0.075
|
|
0.740
|
0.052
|
0.258
|
Para conocer y dar más detalles de los datos tenemos el siguiente
resúmen estadístico:
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Coordenada_x
|
Coordenada_y
|
Distancia_al_centro
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Min. :0.000
|
Min. :0.000
|
Min. :0.000
|
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1st Qu.:0.258
|
1st Qu.:0.259
|
1st Qu.:0.074
|
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Median :0.507
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Median :0.513
|
Median :0.156
|
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Mean :0.507
|
Mean :0.505
|
Mean :0.167
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3rd Qu.:0.760
|
3rd Qu.:0.745
|
3rd Qu.:0.241
|
|
|
Max. :0.998
|
Max. :0.998
|
Max. :0.494
|
Luego utilizando la columna calculada
Distancia_al_centro filtro los puntos que están dentro
del circulo aplicando la lógica:
Distancia_al_centro <= radio_circulo. Sabiendo que
el
radio_circulo = 0.5 obteniendo datos como los que se
muestran a continuación:
|
Coordenada_x
|
Coordenada_y
|
Distancia_al_centro
|
|
0.626
|
0.145
|
0.142
|
|
0.230
|
0.541
|
0.075
|
|
0.936
|
0.457
|
0.192
|
|
0.894
|
0.566
|
0.159
|
|
0.899
|
0.456
|
0.161
|
|
0.217
|
0.344
|
0.104
|
Adicional aquí está una representación visual de todos los puntos y
el circulo:
Resultados
A continuación tenemos un resúmen con los resultados para un tamaño de
muestra de
1000 donde se pueden evidenciar propiedades
como el número de puntos dentro del circulo, estimación del valor de Pi:
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Resultados
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Área del circulo
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0.785
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Probabilidad puntos dentro circulo
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0.769
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Estimaciín valor Pi
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3.076
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Número de puntos dentro del circulo
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769.000
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Conclusiones
- Se evidencia que la propabilidad de que un punto esté dentro del
circulo es igual a la proporción que existe entre el área del circulo y
el área total del cuadro.
- A mayor tamaño de muestra la estimación del valor de Pi se aproxima
más al valor real.
- La propiedad Distancia_al_centro sigue la
distribución normal de la muestra global.