Tarea 3

1. Sea la matriz A

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \]

  1. Calcula la matriz \(A^tA\), su determinante y su traza.
#Matriz A
A <- matrix(c(1,1,0,1,2,2),nrow=3,byrow=T)

#Transpuesta de matriz A
At <- t(A)

#Producto de A^t*A
AtA <- At %*% A
AtA
##      [,1] [,2]
## [1,]    5    5
## [2,]    5    6
#Determinante de A^t*A
det_AtA <- det(AtA)
det_AtA
## [1] 5
#Traza de A^t*A
traza_AtA <- sum(diag(AtA))
traza_AtA
## [1] 11
  1. Calcula la matriz \(AA^t\), su determinante y su traza.
#Producto de A*A^t
AAt <- A %*% At
AAt
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    1    4
## [2,]    1    1    2
## [3,]    4    2    8
#Determinante de A*A^t
det_AAt <- det(AAt)
det_AAt
## [1] 0
#Traza de A*A^t
traza_AAt <- sum(diag(AAt))
traza_AAt
## [1] 11
  1. Calcula la inversa de \(A^tA\).
#Inversa de A^t*A
inv_AtA <- round(solve(AtA),1)
inv_AtA
##      [,1] [,2]
## [1,]  1.2   -1
## [2,] -1.0    1
#Comprobacion de inversa
round(AtA %*% inv_AtA)
##      [,1] [,2]
## [1,]    1    0
## [2,]    0    1

2. Sea la matriz B

\[ B= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \]

  1. Calcula los valores y vectores propios de la matriz B.
#Matriz B
B <- matrix(c(2,1,1,2),nrow=2,byrow=T)

#Vectores propios de B
lambda_B <- eigen(B)
lambda_B$vectors
##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.7071068
## [2,] 0.7071068  0.7071068
#Valores propios de B
lambda_B$values
## [1] 3 1
  1. Escriba la representacion espectral de la matriz B.
#Descomposicion de B
lambda_B$vectors%*%(lambda_B$values*t(lambda_B$vectors))
##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    2
  1. Calcula los valores y vectores propios de la matriz \(B^{-1}\) y su representacion espectral.
#Inversa de B
inv_B <- round(solve(B),1)

#Valores propios de B^-1
lambda_invB <- eigen(inv_B)
lambda_invB$values
## [1] 1.0 0.4
#Vectores propios de B^-1
lambda_invB$vectors
##            [,1]       [,2]
## [1,] -0.7071068 -0.7071068
## [2,]  0.7071068 -0.7071068
#Descompocision de inversa de B
round(lambda_B$vectors%*%((1/lambda_B$values)*t(lambda_B$vectors)),1)
##      [,1] [,2]
## [1,]  0.7 -0.3
## [2,] -0.3  0.7