Ejercicio 1: Lanza un dado justo de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número obtenido al lanzar un dado justo de 6 caras. Queremos calcular la probabilidad de que el número obtenido sea par, es decir, \(P(X \text{ es par})\).
Los posibles resultados al lanzar el dado son \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). De estos resultados, los números pares son \(\{2, 4, 6\}\).
La probabilidad de obtener un número par es:
\[ P(X \text{ es par}) = \frac{\text{número de resultados pares}}{\text{número total de caras}} = \frac{3}{6} = 0.5 \]
total_caras <- 6
caras_pares <- 3
probabilidad_par <- caras_pares / total_caras
probabilidad_par## [1] 0.5Ejercicio 3: Una urna contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola con un número menor o igual a 4?
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número de la bola extraída. Queremos calcular la probabilidad de que el número de la bola extraída sea menor o igual a 4, es decir, \(P(X \leq 4)\).
Los posibles resultados son \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). De estos, los números menores o iguales a 4 son \(\{1, 2, 3, 4\}\).
La probabilidad de extraer una bola con un número menor o igual a 4 es:
\[ P(X \leq 4) = \frac{\text{número de bolas con número menor o igual a 4}}{\text{número total de bolas}} = \frac{4}{10} = 0.4 \]
total_bolas <- 10
#bolas con número menor o igual a 4
bolas_menor_igual_4 <- 4
# Probabilidad
probabilidad_bola_menor_igual_4 <- bolas_menor_igual_4 / total_bolas
probabilidad_bola_menor_igual_4## [1] 0.4Ejercicio Actuarial 1: Un asegurador ofrece una póliza con un premio que varía uniformemente entre 200 y 500 unidades monetarias. Calcula la probabilidad de que un cliente pague un premio superior a 400 unidades.
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el premio pagado por el cliente, con una distribución uniforme en el intervalo \([200, 500]\). Queremos calcular la probabilidad de que el premio sea superior a 400, es decir, \(P(X > 400)\).
Dado que la distribución es uniforme, la probabilidad de que el premio sea mayor que 400 se puede calcular como:
\[ P(X > 400) = \frac{\text{longitud del intervalo superior a 400}}{\text{longitud total del intervalo}} = \frac{500 - 400}{500 - 200} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \]
#Limites
limite_inferior <- 200
limite_superior <- 500
# Premios arriba de 400
premio_superior_400 <- 400
# Probabilidad de que el premio sea superior a 400
probabilidad_premio_superior_400 <- (limite_superior - premio_superior_400) / (limite_superior - limite_inferior)
probabilidad_premio_superior_400## [1] 0.3333333Ejercicio 1: Se lanza una moneda justa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?
# Probabilidad de obtener cara en una moneda justa
p_cara <- 0.5
p_cara## [1] 0.5Ejercicio 2: Un test de diagnóstico tiene una tasa de éxito del 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que el test resulte exitoso?
# Probabilidad de éxito en el test de diagnóstico
p_exito <- 0.85
p_exito## [1] 0.85Ejercicio Actuarial 1: En una póliza de seguro, la probabilidad de un evento catastrófico es de 0.1. Si el evento es modelado por una distribución de Bernoulli, ¿cuál es la probabilidad de que el evento ocurra en una póliza dada?
Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una distribución de Bernoulli con parámetro \(p = 0.1\), donde \(X = 1\) indica que ocurre el evento catastrófico y \(X = 0\) indica que no ocurre. La probabilidad de que el evento catastrófico ocurra en una póliza dada es simplemente \(P(X = 1)\), que es igual al parámetro de la distribución Bernoulli.
\[ P(X = 1) = p = 0.1 \]
# Probabilidad de que ocurra un evento catastrófico
p_evento_catastrofico <- 0.1
p_evento_catastrofico## [1] 0.1Ejercicio Actuarial 2: Supón que un asegurador ofrece un seguro con una probabilidad de siniestro de 0.3. Calcula la probabilidad de que no haya siniestro en un año dado.
# Probabilidad de siniestro
p_siniestro <- 0.3
p_no_siniestro <- 1 - p_siniestro
p_no_siniestro## [1] 0.7Para resolver estos ejercicios utilizando la distribución geométrica en R, utilizaremos la función dgeom() para calcular la probabilidad de que el primer éxito ocurra en un intento específico. La distribución geométrica modela el número de fracasos antes de obtener el primer éxito en una serie de ensayos de Bernoulli.
La fórmula para la probabilidad geométrica es:
\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} \cdot p \]
Donde:
\(p\) es la probabilidad de éxito,
\(k\) es el número de intentos (incluyendo el primer éxito).
Ejercicio 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener el primer seis en el tercer lanzamiento de un dado justo?
# Probabilidad de éxito (obtener un 6)
p_seis <- 1/6
# Probabilidad de que el primer 6 ocurra en el tercer intento
prob_primer_seis_tercer_intento <- dgeom(2, prob = p_seis)
prob_primer_seis_tercer_intento## [1] 0.1157407Ejercicio 2: Si el tiempo hasta que se presenta un defecto en una producción sigue una distribución geométrica con p=0.2, ¿cuál es la probabilidad de que el primer defecto ocurra en el cuarto intento?
# Probabilidad de éxito (ocurrencia de un defecto)
p_defecto <- 0.2
# Probabilidad de que el primer defecto ocurra en el cuarto intento
prob_primer_defecto_cuarto_intento <- dgeom(3, prob = p_defecto)
prob_primer_defecto_cuarto_intento## [1] 0.1024Ejercicio 3: En un proceso de pruebas, la probabilidad de éxito en cada prueba es de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de necesitar exactamente 5 pruebas para tener el primer éxito?
# Probabilidad de éxito en una prueba
p_exito_prueba <- 0.4
# Probabilidad de que el primer éxito ocurra en el quinto intento
prob_exito_quinto_intento <- dgeom(4, prob = p_exito_prueba)
prob_exito_quinto_intento## [1] 0.05184Ejercicio Actuarial 1: Un asegurador evalúa el número de años hasta que se presenta el primer siniestro en una póliza de seguro. Si el tiempo hasta el primer siniestro sigue una distribución geométrica con p=0.2, calcula la probabilidad de que el primer siniestro ocurra en el tercer año.
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el tiempo (en años) hasta el primer siniestro. Sabemos que \(X\) sigue una distribución geométrica con parámetro \(p = 0.2\). La probabilidad de que el primer siniestro ocurra en el tercer año se calcula como \(P(X = 3)\), pero dado que en la distribución geométrica el número de fallos antes del primer éxito es lo que se cuenta, necesitamos calcular \(P(X = 2)\) para encontrar la probabilidad de que el primer siniestro ocurra exactamente en el tercer año:
\[ P(X = 2) = (1 - p)^2 \cdot p = (1 - 0.2)^2 \cdot 0.2 = (0.8)^2 \cdot 0.2 = 0.128 \]
# Probabilidad de siniestro por año
p_siniestro <- 0.2
# Probabilidad de que el primer siniestro ocurra en el tercer año
prob_siniestro_tercer_ano <- dgeom(2, prob = p_siniestro)
prob_siniestro_tercer_ano## [1] 0.128Ejercicio Actuarial 2: En el análisis de riesgo, el tiempo hasta que un cliente realiza una reclamación se modela con una distribución geométrica con p=0.4 ¿Cuál es la esperanza y la varianza del tiempo esperado hasta la primera reclamación?
Para una distribución geométrica con parámetro \(p\), la esperanza y la varianza están dadas por:
\[ E(X) = \frac{1}{p} \]
\[ Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]
Donde:
\(p\) es la probabilidad de éxito.
# Probabilidad de una reclamación
p_reclamacion <- 0.4
# Esperanza (tiempo hasta la primera reclamación)
esperanza_reclamacion <- 1 / p_reclamacion
varianza_reclamacion <- (1 - p_reclamacion) / (p_reclamacion^2)
esperanza_reclamacion## [1] 2.5varianza_reclamacion## [1] 3.75Para resolver estos ejercicios utilizando la distribución de Poisson en R, podemos emplear la función dpois() para calcular la probabilidad de observar un número específico de eventos en un intervalo dado. La distribución de Poisson es utilizada para modelar el número de eventos en un intervalo de tiempo dado, con una tasa promedio de ocurrencia 𝜆.
La fórmula para la probabilidad de Poisson es:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
Donde:
\(\lambda\) es la tasa de ocurrencia por intervalo,
\(k\) es el número de eventos.
Ejercicio 1: ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran exactamente 3 eventos en un intervalo de tiempo si la tasa de eventos es 2 por intervalo?
# Parámetro de Poisson (tasa de eventos por intervalo)
lambda_1 <- 2
# Probabilidad de que ocurran exactamente 3 eventos
prob_3_eventos <- dpois(3, lambda = lambda_1)
prob_3_eventos## [1] 0.180447Ejercicio 2: En una línea de producción, el número de defectos en una hora sigue una distribución de Poisson con una tasa de λ=5 ¿Cuál es la probabilidad de observar exactamente 4 defectos en una hora?
# Parámetro de Poisson (tasa de defectos por hora)
lambda_2 <- 5
# Probabilidad de observar exactamente 4 defectos
prob_4_defectos <- dpois(4, lambda = lambda_2)
prob_4_defectos## [1] 0.1754674Ejercicio 3: Si el número de llamadas a un centro de atención telefónica sigue una distribución Poisson con λ=10 llamadas por hora, ¿cuál es la probabilidad de recibir menos de 8 llamadas en una hora?
# Parámetro de Poisson (tasa de llamadas por hora)
lambda <- 10
# Probabilidad de recibir menos de 8 llamadas (es decir, 7 o menos)
prob_menos_8_llamadas <- ppois(7, lambda = lambda)
prob_menos_8_llamadas## [1] 0.2202206Ejercicio Actuarial 1: El número de reclamaciones de seguros en una región sigue una distribución de Poisson con una tasa de λ=12 reclamaciones por año. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 10 reclamaciones en un año?
Sea \(X\) el número de reclamaciones de seguros en un año, y asumimos que \(X\) sigue una distribución de Poisson con parámetro \(\lambda = 12\). La probabilidad de recibir exactamente 10 reclamaciones se denota como \(P(X = 10)\) y se calcula usando la fórmula de la distribución de Poisson:
\[ P(X = 10) = \frac{\lambda^{10} e^{-\lambda}}{10!} = \frac{12^{10} e^{-12}}{10!} \]
# Parámetro de Poisson (tasa de reclamaciones por año)
lambda_3 <- 12
# Probabilidad de recibir exactamente 10 reclamaciones
prob_10_reclamaciones <- dpois(10, lambda = lambda_3)
prob_10_reclamaciones## [1] 0.1048373Ejercicio Actuarial 2: En un análisis de riesgo de una póliza, se estima que el número de siniestros en un año sigue una distribución de Poisson con λ=8. Calcula la probabilidad de que haya entre 5 y 7 siniestros en un año.
# Parámetro de Poisson (tasa de siniestros por año)
lambda_4 <- 8
# Probabilidad de que haya entre 5 y 7 siniestros
prob_5_7_siniestros <- sum(dpois(5:7, lambda = lambda_4))
prob_5_7_siniestros## [1] 0.3533284Para resolver estos ejercicios que se basan en la distribución binomial, podemos usar la función dbinom() para obtener la probabilidad de un número exacto de éxitos y pbinom() para probabilidades acumuladas.
La fórmula para la probabilidad en una distribución binomial es:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]
Donde: - \(n\) es el número de pruebas, - \(k\) es el número de éxitos deseados, - \(p\) es la probabilidad de éxito en cada prueba, - \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial, calculado como \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\).
Ejercicio 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos de una moneda justa?
# Parámetros
n <- 5 # Número de lanzamientos
p <- 0.5 # Probabilidad de obtener cara
k <- 3 # Número de caras exactas
# Probabilidad de obtener exactamente 3 caras
prob_3_caras <- dbinom(k, size = n, prob = p)
prob_3_caras## [1] 0.3125Ejercicio 2: Un test tiene una probabilidad de éxito del 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 éxitos en 6 pruebas?
# Parámetros
n <- 6 # Número de pruebas
p <- 0.7 # Probabilidad de éxito
k <- 4 # Número de éxitos exactos
# Probabilidad de obtener exactamente 4 éxitos
prob_4_exitos <- dbinom(k, size = n, prob = p)
prob_4_exitos## [1] 0.324135Ejercicio 3: Si un dado se lanza 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos un seis?
# Parámetros
n <- 4 # Número de lanzamientos
p <- 1/6 # Probabilidad de obtener un seis
# Probabilidad de no obtener ningún seis en 4 lanzamientos
prob_ningun_seis <- dbinom(0, size = n, prob = p)
# Probabilidad de obtener al menos un seis
prob_al_menos_un_seis <- 1 - prob_ningun_seis
prob_al_menos_un_seis## [1] 0.5177469Ejercicio Actuarial 1: Un modelo de riesgo en seguros usa una distribución binomial para representar el número de siniestros en un grupo de 15 pólizas, con una probabilidad de siniestro de 0.2 por póliza. Calcula la probabilidad de tener exactamente 4 siniestros.
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número de siniestros en 15 pólizas, donde cada póliza tiene una probabilidad de siniestro \(p = 0.2\). El número de siniestros \(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n = 15\) y \(p = 0.2\). Queremos calcular la probabilidad de tener exactamente 4 siniestros, es decir, \(P(X = 4)\).
La fórmula para la distribución binomial es:
\[ P(X = 4) = \binom{15}{4} p^4 (1-p)^{15-4} = \binom{15}{4} (0.2)^4 (0.8)^{11} \]
# Parámetros
n <- 15 # Número de pólizas
p <- 0.2 # Probabilidad de siniestro
k <- 4 # Número exacto de siniestros
# Probabilidad de tener exactamente 4 siniestros
prob_4_siniestros <- dbinom(k, size = n, prob = p)
prob_4_siniestros## [1] 0.1876042Ejercicio Actuarial 2: En un estudio actuarial, se estima que la probabilidad de un evento de pérdida en una póliza de seguro es p=0.3 y el número de pólizas es n=10. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos 3 eventos de pérdida?
# Parámetros
n <- 10 # Número de pólizas
p <- 0.3 # Probabilidad de un evento de pérdida
k <- 3 # Número mínimo de eventos de pérdida
# Probabilidad de tener menos de 3 eventos de pérdida
prob_menos_de_3 <- pbinom(k - 1, size = n, prob = p)
# Probabilidad de tener al menos 3 eventos de pérdida
prob_al_menos_3 <- 1 - prob_menos_de_3
prob_al_menos_3## [1] 0.6172172La distribución binomial negativa en R implica utilizar la función dnbinom(), que calcula la probabilidad de obtener un número específico de fracasos antes de alcanzar el 𝑟-ésimo éxito
Ejercicio 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener el tercer éxito en el quinto intento, si la probabilidad de éxito en cada intento es 0.4?
# Parámetros
r <- 3 # Número de éxitos deseados
x <- 4 # Número de fracasos antes del tercer éxito (el quinto intento incluye el éxito)
p <- 0.4 # Probabilidad de éxito
# Probabilidad de obtener el tercer éxito en el quinto intento
probabilidad <- dnbinom(x, size = r - 1, prob = p)
probabilidad## [1] 0.10368Ejercicio 2: En un experimento, se necesita 7 intentos para obtener el segundo éxito. Si la probabilidad de éxito en cada intento es 0.5, ¿cuál es la probabilidad de que se necesiten exactamente 7 intentos?
# Parámetros
r <- 2 # Número de éxitos deseados
x <- 6 # Número de fracasos antes del segundo éxito (el séptimo intento incluye el éxito)
p <- 0.5 # Probabilidad de éxito
# Probabilidad de obtener el segundo éxito en el séptimo intento
probabilidad <- dnbinom(x, size = r - 1, prob = p)
probabilidad## [1] 0.0078125Ejercicio 3: Si la probabilidad de éxito en cada intento es 0.3 y se necesitan 4 éxitos, ¿cuál es la probabilidad de obtener el cuarto éxito en el décimo intento?
# Parámetros
r <- 4 # Número de éxitos deseados
x <- 9 # Número de fracasos antes del cuarto éxito (el décimo intento incluye el éxito)
p <- 0.3 # Probabilidad de éxito
# Probabilidad de obtener el cuarto éxito en el décimo intento
probabilidad <- dnbinom(x, size = r - 1, prob = p)
probabilidad## [1] 0.05992511Ejercicio Actuarial 1: Un asegurador modela el número de años hasta que un cliente presenta su tercer siniestro utilizando una distribución binomial negativa con r=3 y p=0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer siniestro ocurra en el sexto año?
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número de fracasos antes de alcanzar el tercer siniestro. Sabemos que \(X\) sigue una distribución binomial negativa con \(r = 3\) (número de éxitos, es decir, siniestros) y \(p = 0.2\) (probabilidad de siniestro). Queremos calcular la probabilidad de que el tercer siniestro ocurra en el sexto año, lo que significa que \(X = 5\) fracasos (años sin siniestro) antes de que ocurra el tercer siniestro.
La fórmula para la distribución binomial negativa es:
\[ P(X = 5) = \binom{5+2}{2} p^3 (1-p)^5 = \binom{7}{2} (0.2)^3 (0.8)^5 \]
# Parámetros
r <- 3 # Número de éxitos deseados
x <- 5 # Número de fracasos antes del tercer siniestro (el sexto año incluye el éxito)
p <- 0.2 # Probabilidad de éxito
# Probabilidad de obtener el tercer siniestro en el sexto año
probabilidad <- dnbinom(x, size = r - 1, prob = p)
probabilidad## [1] 0.0786432Ejercicio Actuarial 2: En el análisis de riesgos, se modela el número de reclamaciones hasta que un cliente presenta su cuarto siniestro con una distribución binomial negativa con r=4 y p=0.25. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 10 reclamaciones para que ocurra el cuarto siniestro?
# Parámetros
r <- 4 # Número de éxitos deseados
x <- 9 # Número de fracasos antes del cuarto siniestro (el décimo intento incluye el éxito)
p <- 0.25 # Probabilidad de éxito
# Probabilidad de obtener el cuarto siniestro en el décimo intento
probabilidad <- dnbinom(x, size = r - 1, prob = p)
probabilidad## [1] 0.0645259Para resolver problemas basados en la distribución hipergeométrica en R, utilizamos la función dhyper(), que calcula la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en una muestra de una población finita sin reemplazo.
Ejercicio 1: En una urna con 20 bolas rojas y 30 bolas verdes, se extraen 10 bolas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de las bolas extraídas sean rojas?
# Parámetros
m <- 20 # Número total de bolas rojas
n <- 30 # Número total de bolas verdes
k <- 10 # Número total de bolas extraídas
x <- 4 # Número de bolas rojas extraídas
# Probabilidad de obtener exactamente 4 bolas rojas
probabilidad <- dhyper(x, m, n, k)
probabilidad## [1] 0.2800586Ejercicio 2: Se seleccionan 5 cartas de una baraja de 52 cartas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de las cartas sean tréboles?
# Parámetros
m <- 13 # Número total de tréboles
n <- 39 # Número total de cartas que no son tréboles
k <- 5 # Número total de cartas seleccionadas
x <- 2 # Número de tréboles seleccionados
# Probabilidad de obtener exactamente 2 tréboles
probabilidad <- dhyper(x, m, n, k)
probabilidad## [1] 0.2742797Ejercicio Actuarial 1: Un asegurador selecciona al azar una muestra de 15 pólizas de una cartera de 100 pólizas, de las cuales 20 tienen un siniestro. Calcula la probabilidad de que exactamente 5 de las pólizas seleccionadas tengan un siniestro.
La probabilidad de seleccionar exactamente \(x = 5\) pólizas con siniestro, dado que hay \(m = 20\) pólizas con siniestro y \(n = 80\) pólizas sin siniestro, al seleccionar \(k = 15\) pólizas al azar, se calcula con la fórmula de la distribución hipergeométrica:
\[ P(X = 5) = \frac{\binom{m}{x} \binom{n}{k-x}}{\binom{m+n}{k}} = \frac{\binom{20}{5} \binom{80}{10}}{\binom{100}{15}} \]
Donde: - \(m = 20\) es el número de pólizas con siniestro, - \(n = 80\) es el número de pólizas sin siniestro, - \(k = 15\) es el número de pólizas seleccionadas, - \(x = 5\) es el número de pólizas con siniestro seleccionadas.
# Parámetros
m <- 20 # Número total de pólizas con siniestro
n <- 80 # Número total de pólizas sin siniestro
k <- 15 # Número total de pólizas seleccionadas
x <- 5 # Número de pólizas con siniestro seleccionadas
# Probabilidad de obtener exactamente 5 pólizas con siniestro
probabilidad <- dhyper(x, m, n, k)
probabilidad## [1] 0.1007633Para resolver problemas basados en la distribución uniforme continua en R, utilizamos la fórmula de la función de densidad uniforme. La fórmula para calcular la probabilidad en una distribución uniforme continua 𝑈(𝑎,𝑏) es:
La fórmula para calcular la probabilidad en una distribución uniforme continua \(U(a, b)\) es:
\[ P(x_1 \leq X \leq x_2) = \frac{x_2 - x_1}{b - a} \]
donde:
\(a\) y \(b\) son los límites inferior y superior del intervalo de la distribución uniforme,
\(x_1\) y \(x_2\) son los límites del intervalo en el cual queremos calcular la probabilidad.
Ejercicio 2: Una variable continua sigue una distribución uniforme en el intervalo [0,10]. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor esté entre 4 y 6?
# Parámetros
a <- 0 # Límite inferior de la distribución
b <- 10 # Límite superior de la distribución
x1 <- 4 # Límite inferior del intervalo de interés
x2 <- 6 # Límite superior del intervalo de interés
# Probabilidad de que el valor esté entre 4 y 6
probabilidad <- (x2 - x1) / (b - a)
probabilidad## [1] 0.2Ejercicio 3: La duración de un proceso se distribuye uniformemente entre 10 y 20 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso dure más de 15 minutos?
# Parámetros
a <- 10 # Límite inferior de la distribución
b <- 20 # Límite superior de la distribución
x1 <- 15 # Límite inferior del intervalo de interés
# Probabilidad de que el proceso dure más de 15 minutos
probabilidad <- (b - x1) / (b - a)
probabilidad## [1] 0.5Ejercicio Actuarial 1: Un asegurador estima que el tiempo de resolución de reclamaciones sigue una distribución uniforme continua entre 5 y 15 días. ¿Cuál es la probabilidad de que la resolución de una reclamación tome entre 8 y 12 días?
Sea \(X\) una variable aleatoria que representa el tiempo de resolución de una reclamación, y asumimos que \(X\) sigue una distribución uniforme continua en el intervalo \([5, 15]\). Queremos calcular la probabilidad de que el tiempo de resolución esté entre 8 y 12 días, es decir, \(P(8 \leq X \leq 12)\).
La fórmula para calcular la probabilidad de un intervalo en una distribución uniforme continua es:
\[ P(8 \leq X \leq 12) = \frac{x_2 - x_1}{b - a} = \frac{12 - 8}{15 - 5} = \frac{4}{10} = 0.4 \]
Donde: - \(a = 5\) es el límite inferior de la distribución, - \(b = 15\) es el límite superior de la distribución, - \(x_1 = 8\) es el límite inferior del intervalo de interés, - \(x_2 = 12\) es el límite superior del intervalo de interés.
# Parámetros
a <- 5 # Límite inferior de la distribución
b <- 15 # Límite superior de la distribución
x1 <- 8 # Límite inferior del intervalo de interés
x2 <- 12 # Límite superior del intervalo de interés
# Probabilidad de que la resolución de una reclamación tome entre 8 y 12 días
probabilidad <- (x2 - x1) / (b - a)
probabilidad## [1] 0.4Para resolver estos problemas basados en la distribución normal en R, utilizamos las funciones pnorm() para calcular las probabilidades acumuladas y dnorm() para obtener la densidad.
Ejercicio 2: La estatura de una población sigue una distribución normal con media 170 cm y desviación estándar 8 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una estatura entre 160 y 180 cm?
# Parámetros
media <- 170
desviacion_estandar <- 8
x1 <- 160
x2 <- 180
# Probabilidad de que la estatura esté entre 160 y 180 cm
probabilidad <- pnorm(x2, mean = media, sd = desviacion_estandar) - pnorm(x1, mean = media, sd = desviacion_estandar)
probabilidad## [1] 0.7887005Ejercicio 3: En un test estandarizado con media 100 y desviación estándar 15, ¿cuál es la probabilidad de obtener una puntuación superior a 120?
# Parámetros
media <- 100
desviacion_estandar <- 15
valor <- 120
# Probabilidad de obtener una puntuación superior a 120
probabilidad <- 1 - pnorm(valor, mean = media, sd = desviacion_estandar)
probabilidad## [1] 0.09121122Ejercicio Actuarial 1: Un asegurador utiliza una distribución normal para modelar la pérdida total en una póliza con una media de $100,000 y una desviación estándar de $20,000. ¿Cuál es la probabilidad de que la pérdida total sea menor de $80,000?
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la pérdida total en una póliza, la cual sigue una distribución normal con media \(\mu = 100,000\) y desviación estándar \(\sigma = 20,000\). Queremos calcular la probabilidad de que la pérdida total sea menor que $80,000, es decir, \(P(X < 80,000)\).
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
\[ P(X < 80,000) = P\left(Z < \frac{80,000 - 100,000}{20,000}\right) = P(Z < -1) \]
Usando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que:
\[ P(Z < -1) \approx 0.1587 \]
# Parámetros
media <- 100000
desviacion_estandar <- 20000
valor <- 80000
# Probabilidad de que la pérdida total sea menor de $80,000
probabilidad <- pnorm(valor, mean = media, sd = desviacion_estandar)
probabilidad## [1] 0.1586553Ejercicio Actuarial 2: La duración de vida útil de un producto sigue una distribución normal con media de 4 años y desviación estándar de 0.5 años. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto dure entre 3.5 y 4.5 años?
# Parámetros
media <- 4
desviacion_estandar <- 0.5
x1 <- 3.5
x2 <- 4.5
# Probabilidad de que el producto dure entre 3.5 y 4.5 años
probabilidad <- pnorm(x2, mean = media, sd = desviacion_estandar) - pnorm(x1, mean = media, sd = desviacion_estandar)
probabilidad## [1] 0.6826895Ejercicio 1: Supón que el número de eventos en un intervalo sigue una distribución chi-cuadrado con 10 grados de libertad. ¿Cuál es el valor crítico para un nivel de significancia del 5% en una prueba de una cola?
Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una distribución chi-cuadrado con \(k = 10\) grados de libertad. Queremos encontrar el valor crítico \(\chi^2_{\alpha, 10}\) para un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\), tal que:
\[ P(X \geq \chi^2_{0.05, 10}) = 0.05 \]
Este valor crítico \(\chi^2_{\alpha, 10}\) se puede obtener usando la función inversa de la distribución acumulada de chi-cuadrado.
# Parámetros
gl <- 10 # Grados de libertad
alfa <- 0.05 # Nivel de significancia
# Valor crítico
valor_critico <- qchisq(1 - alfa, df = gl)
valor_critico## [1] 18.30704Ejercicio 2: En una prueba de bondad de ajuste, el estadístico de prueba sigue una distribución chi-cuadrado con 5 grados de libertad. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor de chi-cuadrado mayor que 11.07?
# Parámetros
gl <- 5 # Grados de libertad
valor <- 11.07 # Valor del chi-cuadrado
# Probabilidad de obtener un valor mayor que 11.07
probabilidad_mayor <- 1 - pchisq(valor, df = gl)
probabilidad_mayor## [1] 0.05000962Ejercicio 3: Se realiza una prueba de hipótesis con un estadístico chi-cuadrado con 8 grados de libertad. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor menor que 10.5?
# Parámetros
gl <- 8 # Grados de libertad
valor <- 10.5 # Valor del chi-cuadrado
# Probabilidad de obtener un valor menor que 10.5
probabilidad_menor <- pchisq(valor, df = gl)
probabilidad_menor## [1] 0.7683303Ejercicio Actuarial 1: Un asegurador usa una distribución chi-cuadrado para modelar la variabilidad en la pérdida de una póliza con 15 grados de libertad. ¿Cuál es el valor crítico para un nivel de significancia del 1%?
# Parámetros
gl <- 15 # Grados de libertad
alfa <- 0.01 # Nivel de significancia
# Valor crítico
valor_critico <- qchisq(1 - alfa, df = gl)
valor_critico## [1] 30.57791Ejercicio Actuarial 2: En un análisis de la variabilidad de pérdidas en seguros, se utiliza una distribución chi-cuadrado con 12 grados de libertad. Calcula la probabilidad de obtener un valor chi-cuadrado mayor que 20.
Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una distribución chi-cuadrado con \(k = 12\) grados de libertad. Queremos calcular la probabilidad de que \(X\) sea mayor que 20, es decir:
\[ P(X > 20) = 1 - P(X \leq 20) \]
Utilizando la función de distribución acumulada de la distribución chi-cuadrado \(F_{12}(20)\):
\[ P(X > 20) = 1 - F_{12}(20) \]
# Parámetros
gl <- 12 # Grados de libertad
valor <- 20 # Valor del chi-cuadrado
# Probabilidad de obtener un valor mayor que 20
probabilidad_mayor <- 1 - pchisq(valor, df = gl)
probabilidad_mayor## [1] 0.06708596Ejercicio Actuarial 1: En la modelación de la duración hasta el colapso de un activo, se asume una distribución gamma con forma k=5 y escala θ=3 Calcula la probabilidad de que el colapso ocurra antes de 10 años.
Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con \(k = 5\) y escala \(\theta = 3\). Queremos calcular la probabilidad de que el colapso ocurra antes de 10 años, es decir:
\[ P(X \leq 10) \]
Utilizando la función de distribución acumulada de la distribución gamma \(F_{\text{Gamma}}(10; k = 5, \theta = 3)\):
\[ P(X \leq 10) = F_{\text{Gamma}}(10; k = 5, \theta = 3) \]
# Parámetros
forma <- 5 # k
escala <- 3 # θ
tiempo <- 10 # Tiempo antes de 10 años
# Probabilidad de colapso antes de 10 años
probabilidad_colapso <- pgamma(tiempo, shape = forma, scale = escala)
probabilidad_colapso## [1] 0.2435058Ejercicio Actuarial 2: En la estimación de la duración de un contrato de seguro, se usa una distribución gamma con k=2 y θ=4 ¿Cuál es la esperanza y la varianza de la duración del contrato?
Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con \(k = 2\) y \(\theta = 4\). La esperanza y la varianza se calculan de la siguiente manera:
La esperanza de \(X\) es:
\[ \mathbb{E}[X] = k \theta = 2 \times 4 = 8 \]
La varianza de \(X\) es:
\[ \text{Var}(X) = k \theta^2 = 2 \times 4^2 = 32 \]
# Parámetros
forma <- 2 # k
escala <- 4 # θ
# Esperanza
esperanza <- forma * escala
# Varianza
varianza <- forma * escala^2
esperanza## [1] 8varianza## [1] 32Ejercicio Actuarial 1: Supón que el tiempo hasta el fallo de un equipo sigue una distribución Weibull con forma α=1.2 y escala β=5000. Calcula la probabilidad de que el equipo funcione por más de 6000 horas.
# Parámetros de la distribución Weibull
shape <- 1.2 # α
scale <- 5000 # β
# Tiempo hasta el fallo
time <- 6000
# Calcular la probabilidad de que el equipo funcione por más de 6000 horas
prob_mas_6000 <- 1 - pweibull(time, shape, scale)
prob_mas_6000## [1] 0.2880663Ejercicio Actuarial 2: En el análisis de riesgo, se utiliza una distribución Weibull para modelar la duración de una póliza de seguro con α=2 y β=1000 ¿Cuál es la esperanza y la varianza del tiempo hasta el fallo?
# Parámetros de la distribución Weibull
shape <- 2 # α
scale <- 1000 # β
# Calcular la esperanza
esperanza <- scale * gamma(1 + 1/shape)
# Calcular la varianza
varianza <- (scale^2) * (gamma(1 + 2/shape) - (gamma(1 + 1/shape))^2)
esperanza## [1] 886.2269varianza## [1] 214601.8Ejercicio Actuarial 1: En el análisis de riesgo, se utiliza una distribución beta con parámetros α=3 y β=5 para modelar la probabilidad de siniestro en una póliza de seguro. ¿Cuál es la probabilidad de que la probabilidad de siniestro sea menor de 0.4?
# Parámetros de la distribución Beta
alpha <- 3
beta <- 5
# Probabilidad deseada
x <- 0.4
# Calcular la probabilidad de que la probabilidad de siniestro sea menor de 0.4
prob_menor_0_4 <- pbeta(x, alpha, beta)
prob_menor_0_4## [1] 0.580096Ejercicio Actuarial 2: En un estudio actuarial, se usa una distribución beta con α=2 y β=4 para modelar el tiempo hasta un siniestro. ¿Cuál es la esperanza y la varianza del tiempo hasta el siniestro?
Ejercicio Actuarial 1: Un analista de riesgos utiliza una distribución t para modelar las pérdidas en una póliza con una muestra de 20 observaciones. ¿Cuál es el valor crítico para un nivel de confianza del 99% con 19 grados de libertad?
# Parámetros de la distribución Beta
alpha <- 3
beta <- 5
# Probabilidad deseada
x <- 0.4
# Calcular la probabilidad de que la probabilidad de siniestro sea menor de 0.4
prob_menor_0_4 <- pbeta(x, alpha, beta)
prob_menor_0_4## [1] 0.580096Ejercicio Actuarial 2: En un análisis actuarial, la desviación estándar de las pérdidas de una cartera de seguros se estima usando una distribución t con 30 observaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que la desviación estándar estimada sea mayor que un valor crítico dado?
# Parámetros de la distribución Beta
alpha <- 2
beta <- 4
# Calcular la esperanza
esperanza <- alpha / (alpha + beta)
# Calcular la varianza
varianza <- (alpha * beta) / ((alpha + beta)^2 * (alpha + beta + 1))
esperanza## [1] 0.3333333varianza## [1] 0.03174603Ejercicio Actuarial 1: En el análisis de varianza de pérdidas en una cartera de seguros, se utiliza una distribución F con 6 y 20 grados de libertad. ¿Cuál es el valor crítico para un nivel de significancia del 1%?
# Grados de libertad
df1 <- 6
df2 <- 20
# Nivel de significancia
alpha <- 0.01
# Valor crítico para un nivel de significancia del 1%
valor_critico <- qf(1 - alpha, df1, df2)
valor_critico## [1] 3.871427Ejercicio Actuarial 2: Un analista usa una distribución F para comparar la varianza de dos tipos de seguros con 12 y 18 grados de libertad. ¿Cuál es la probabilidad de que la razón de varianzas sea menor que 2.5?
# Grados de libertad
df1 <- 12
df2 <- 18
# Valor de la razón de varianzas
valor <- 2.5
# Probabilidad de que la razón de varianzas sea menor que 2.5
prob_menor_2_5 <- pf(valor, df1, df2)
prob_menor_2_5## [1] 0.961467