Problema 4: Estimacción boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95%. Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X_1^*\). Después de anotado el valor se regresa \(X_1^*\) a la caja y se extrae el valor \(X_2^*\), regresando nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño \(n\), \(X_1^*, X_2^*, ..., X_n^*\), conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga \(k = 1000\)). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\overline{X_i^*}\), obteniendo un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:

Método Fórmula
Método 1 (\(P_{2.5}\); \(P_{97.5}\))
Método 2 \((2\bar{X} - P_{97.5}; 2\bar{X} - P_{2.5})\)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. ¿Confiaría en estas estimaciones?

Al final de la sección se encuentran las conclusiones según los resultados obtenidos en cada ítem.

• Funciones preliminares:

library(boot)

# Datos de eficiencia de combustible en millas/galón:
data <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
## [1] 7.69 4.97 4.56 6.49 4.34 6.24 4.45

Creamos una función que usaremos para calcular la media de las muestras, en el se tendrán dos argumentos.

  • data: Ingresa el vector original de datos entregados.

  • indices: Los índices de las observaciones relacionada, por cada una de las iteraciones bootstrap.

calculo_media<- function(data, indices) {
  return(mean(data[indices]))
}

Lo que primero usamos es el parámetro set.seed(123) esto nos permitirá asegurar que el proceso sea reproducible, esto nos permitirá lograr que cada vez que el código se llegue ejecutar se obtenga los mismos resultados, permitiendo lugar que el muestreo se haga de manera controlada, posterior a eso fijamos en una variable K el número de repeticiones indicadas, las cuales serán igual a 1000 y finalmente usaremos la función boot() nos permite emplear el método de estimación bootstrap.

set.seed(123)

# Número de repeticiones:
K <- 1000  
bootstrap_results <- boot(data = data, statistic = calculo_media, R = K)

• Cálculos método 1:

\[ \left( P_{2.5}; P_{97.5} \right) \]

El intervalo de confianza se calcula utilizando los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\), que corresponden al 2.5% y 97.5%, respectivamente. Estos percentiles se obtienen a partir de las medias generadas por las 1000 muestras empleadas en el método bootstrap, lo que permite construir un intervalo de confianza del 95%.

percentiles <- quantile(bootstrap_results$t, probs = c(0.025, 0.975))

Intervalo de confianza del 95% (Método 1 - Percentiles):

## Límite inferior: 4.7214
## Límite superior: 6.4186

• Cálculos método 2:

\[ \left( 2\overline{X} - P_{97.5}; 2\overline{X} - P_{2.5} \right) \] Donde \(\overline{X}\) es la media de las muestras originales, y \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\) son los percentiles correspondientes de la distribución de las medias bootstrap.

X_bar <- mean(data)
metodo2 <- c(2 * X_bar - percentiles[2], 2 * X_bar - percentiles[1])

Intervalo de confianza del 95% (Método 2 - Corrección basada en la media):

## Límite inferior: 4.6499
## Límite superior: 6.3471

• Gráfico de intervalos y coeficiente de asimetría:

library(e1071)

# Calcular el coeficiente de asimetría:
skewness_value <- skewness(bootstrap_results$t)
## [1] "Coeficiente de asimetría: 0.1629"
## [1] "La distribución tiene un sesgo hacia la derecha (positiva)."

Conclusiones:

• Distribución de las medias bootstrap:

Teniendo en cuenta los resultados del coeficiente de asímetría, la distribución de las medias generadas es aproximadamente simétrica, con un ligero sesgo hacia la derecha (positiva). Este sesgo es leve y no afecta significativamente los resultados de los intervalos de confianza.

• Comparación de los modelos:

El Método 1 tiende a ser más conservador, ya que se basa en los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\), lo que resulta en un intervalo de confianza más amplio. Este método resulta útil cuando se busca abarcar una mayor incertidumbre, especialmente en situaciones donde no se tiene certeza completa sobre la distribución de los datos

El Método 2 (corrección basada en la media) genera un intervalo más estrecho, dado que ajusta los percentiles utilizando la media muestral. Esto ofrece una mayor precisión en la estimación, siendo adecuado cuando se tiene confianza en que la media muestral es representativa de la población.

Las diferencias entre los dos métodos son mínimas, lo que sugiere que los datos no presentan un sesgo significativo. Ambos métodos son válidos y confiables para la estimación de intervalos de confianza, y la elección depende de si se busca un enfoque más conservador (método 1) o más preciso (método 2).