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Modelo SARIMA

Describiremos el procedimiento de modelado ARIMA estacional utilizando datos trimestrales del comercio minorista europeo de 1996 a 2011.

autoplot(euretail) + ylab("Retail index") + xlab("Year")

Los datos son claramente no estacionarios y tienen cierta estacionalidad, por lo que, primero tomaremos una diferencia estacional. Los datos estacionalmente diferenciados se muestran a continuación:

euretail %>% diff(lag=4) %>% ggtsdisplay()

Estos también parecen no estacionarios, por lo que tomamos una primera diferencia adicional, como se muestra a continuación:

euretail %>% diff(lag=4) %>% diff() %>% ggtsdisplay()

Nuestro objetivo ahora es encontrar un modelo ARIMA apropiado basado en ACF y PACF, para esto, observamos los dos últimos gráficos de la figura anterior. En el ACF podemos observar un repunte en el rezago 1, lo cual sugiere un componente MA(1) no estacional, y el repunte significativo en el rezago 4 del ACF sugiere un componente MA(1) estacional. En consecuencia, comenzamos con ARIMA(0,1,1)(0,1,1) A continuación se muestran los resultados de este modelo ajustado.

euretail %>%
  Arima(order=c(0,1,1), seasonal=c(0,1,1)) %>%
  residuals() %>% ggtsdisplay()

Tanto el ACF como el PACF muestran picos significativos en el rezago 2 y picos casi significativos en el rezago 3, lo que indica que es necesario incluir en el modelo algunos términos no estacionales adicionales. El AICc del modelo ARIMA(0,1,2)(0,1,1)4 es 74,36, mientras que el del modelo ARIMA(0,1,3)(0,1,1)4 es 68,53. También probamos otros modelos con términos AR, pero ninguno que diera un valor AICc menor. En consecuencia, elegimos el modelo ARIMA(0,1,3)(0,1,1)4 Sus residuos se representan en la siguiente figura. Todos los picos están ahora dentro de los límites de significancia, por lo que los residuos parecen ser ruido blanco. La prueba de Ljung-Box también muestra que los residuos no tienen autocorrelaciones restantes.

fit3 <- Arima(euretail, order=c(0,1,3), seasonal=c(0,1,1))
checkresiduals(fit3)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,3)(0,1,1)[4]
## Q* = 0.51128, df = 4, p-value = 0.9724
## 
## Model df: 4.   Total lags used: 8

Por lo tanto, ahora tenemos un modelo ARIMA estacional que pasa las comprobaciones requeridas y está listo para realizar pronósticos. Los pronósticos del modelo para los próximos tres años se muestran en la Figura siguiente . Las previsiones siguen la tendencia reciente de los datos, debido a la doble diferenciación. Los intervalos de predicción grandes y en rápido aumento muestran que el índice de comercio minorista podría comenzar a aumentar o disminuir en cualquier momento; mientras que los pronósticos puntuales tienden a bajar, los intervalos de predicción permiten que los datos tengan una tendencia ascendente durante el período de pronóstico.

fit3 %>% forecast(h=12) %>% autoplot()

Podríamos haber hecho auto.arima()la mayor parte de este trabajo por nosotros. Habría dado el mismo resultado.

auto.arima(euretail)
## Series: euretail 
## ARIMA(0,1,3)(0,1,1)[4] 
## 
## Coefficients:
##          ma1     ma2     ma3     sma1
##       0.2630  0.3694  0.4200  -0.6636
## s.e.  0.1237  0.1255  0.1294   0.1545
## 
## sigma^2 = 0.156:  log likelihood = -28.63
## AIC=67.26   AICc=68.39   BIC=77.65