Manejo de series de tiempo

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Proceso de Medias Móviles (MA)

Se dice que una serie \(Y_t\) sigue un proceso \(MA(q), q=1,2,...\) de media móvil de orden q, si se cumple que:

\[Y_t = \epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}\] para constantes \(Y_t = \epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}\) y \(\epsilon_t\sim N(0,\sigma^2)\). La expresión con el operador \(L\) es, si se define el polinomio:

\[\theta_p(L) = 1+\theta_1L+\cdots+\theta_qL^q\] entonces la ecuación se puede escribir en términos de su polinomio de rezagos:

\[Y_t = \theta_q(L)(\epsilon_t)\]

Propiedades

  1. \(E(Y_t)=0\)
  2. \(Var(Y_t)= (1+\theta_1^2+\cdots+\theta_q^2)\sigma^2\)
  3. \(Cov(Y_t,Y_{t+k}) = \rho(k)\), definendo: \[\rho(K) = \sigma^2\sum_{j=0}^{q-k}\theta_j\theta_{j+k} \tag{1}\] donde $ _0=1$ y \(k<q+1\), con \(\rho(K)=0\) si \(k\geq q+1\)
  4. Un \(MA(q)\) siempre es un proceso estacionario con ACF, \(p(k)=\frac{\rho(k)}{\rho(0)}\)

La ecuación (1) se puede interpretar como una indicación de que un \(MA(q)\) es un proceso débilmente correlacionado, ya que su autocovarianza es cero a partir de un valor. Debido a esto, se puede ver a los procesos \(MA(q)\) como alternativas al Ruido Blanco completamente incorrelacionado.

Ejemplo 1

Sea \(Y_t\) un proceso \(MA(1)\) simulado de la siguiente manera:

\[y_t = \epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}\]

Con \(\theta_1=0.4\)

simulcion.ma <- arima.sim(200,model=list(ma=c(0.4)))
plot(simulcion.ma)

De acuerdo con la ecuación (1) si la acf muestral de una serie \(Y_t\) termina abruptamente en el rezago q, entonces puede tratarse de un \(MA(q)\)

acf(simulcion.ma)

Como se puede observar, el último rezago que sale de la banda de confianza de la ACF es en 1, por lo tanto, se trata de un proceso MA(1).

MA(q)

Ejemplo 2

Ahora, simulemos otro proceso. \[Y_t = \epsilon_t+0.6\epsilon_{t-1}-0.7\epsilon_{t-2}-0.8\epsilon_{t-3}\]

simulcion.ma1 <- arima.sim(200, model =list(ma=c(0.6,-0.7,-0.8)))
plot(simulcion.ma1)

Utilizamos la función de autocorrelación (ACF) para determinar el orden \(q\) del proceso \(MA(q)\)

acf(simulcion.ma1)

Como se puede observar, el último rezago que sale de la banda de confianza de la ACF es en 3, por lo tanto, se trata de un proceso MA(3).