Planteamiento:

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗2,X∗n

, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5) Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

Metodologia:

Muestreo Bootstrap:

Tomar la muestra original de eficiencias de combustible de los camiones (7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, y 4.45). Realizar un muestreo con reemplazo de esta muestra original muchas veces (en este caso, 1000 veces) para obtener muestras bootstrap. De cada muestra bootstrap, calcular la media.

Calculo del Intervalo de Confianza:Utilizando las medias calculadas en el paso anterior, identificar los percentiles P2.5 y P97.5 de las medias. Método 1: Establecer el intervalo de confianza directamente con los valores de P2.5 y P97.5. Método 2: Calcular el intervalo de confianza utilizando la fórmula que involucra la media de la muestra original y los percentiles obtenidos. —

# Establecer una semilla
set.seed(4812)
n=7
k=1000
#Se crea vector
x = c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

#Extracción de muestras
mstra <- sample( x, n*k, replace = TRUE)

# Almacenar los datos en una matriz
mb <-as.data.frame(matrix(mstra,nrow = k, ncol = n))


# Nombrar las columnas de la matriz
colnames(mb) <- paste("mstra", 1:7)

mb$media <- apply(mb, 1, mean)
head(mb)
##   mstra 1 mstra 2 mstra 3 mstra 4 mstra 5 mstra 6 mstra 7    media
## 1    6.49    6.24    4.97    7.69    4.56    4.45    4.56 5.565714
## 2    6.49    4.34    4.56    6.24    4.45    4.34    4.45 4.981429
## 3    4.56    7.69    7.69    4.97    6.24    4.56    4.97 5.811429
## 4    4.56    4.56    4.45    4.45    4.97    4.97    4.56 4.645714
## 5    6.24    7.69    6.49    4.34    6.24    6.24    6.49 6.247143
## 6    7.69    6.49    6.49    6.49    6.49    4.45    6.24 6.334286
med_b <-mb[,"media"]
head(med_b)
## [1] 5.565714 4.981429 5.811429 4.645714 6.247143 6.334286
med_x<-mean(x)
print(med_x)
## [1] 5.534286
# metodo #1
M1 = quantile(med_b, probs=c(0.025, 0.975))
M1
##     2.5%    97.5% 
## 4.763607 6.419107
#metodo #2

M2 = c(2*mean(med_b)-M1[2], 2*mean(med_b)-M1[1]) 
M2 
##    97.5%     2.5% 
## 4.671304 6.326804
hist(med_b, prob = TRUE, 
     col = "lightblue", 
     main = "Histograma Medias Bootsrap - k = 1000")
abline(v=med_x, col="red", lwd=3)
abline(v=M1, col="darkgreen", lwd=3)
abline(v=M2, col="blue", lwd=3)

# Agregar leyenda
legend("topright", legend=c("Media del Vector", "Metodo 1","Metodo 2" ), , fill=c(rgb(0.9,0,0.1), rgb(0.2,0.4,0),rgb(0.2,0,0.9)))

Comparación de Resultados

Similitud:Ambos métodos proporcionan intervalos de confianza que son bastante similares en términos de su rango. Esto sugiere que, a pesar de las diferencias en las aproximaciones, los dos métodos proporcionan estimaciones consistentes para el intervalo de confianza de la media de la eficiencia de combustible. Cobertura:

Los intervalos calculados son bastante similares, pero el intervalo del Método 2 suele ser ligeramente más estrecho que el del Método 1. Esto podría indicar que el Método 2 proporciona una estimación ligeramente más precisa, pero también podría ser más susceptible a errores de tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera).

Centrado en la Muestra:El intervalo del Método 2 puede estar ligeramente desplazado hacia valores más bajos en comparación con el del Método 1, dado que el Método 2 ajusta la media muestral para el intervalo de confianza. Este desplazamiento podría reflejar diferencias en la estimación del error y la forma en que cada método trata las medias bootstrap.

Conclusión:

Ambos métodos proporcionan intervalos de confianza útiles para la media de la eficiencia de combustible, y sus resultados son bastante similares. La elección entre los métodos puede depender del contexto específico y de la preferencia por la precisión o el ajuste en la estimación. En general, ambos métodos son válidos, y la consistencia entre ellos refuerza la fiabilidad del intervalo de confianza obtenido.