Propiedades de los estimadores

Propiedades de los estimadores La simulación ayuda a entender y validad las propiedades de los estimadores estadísticos como son, insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

Para n = 20

#Declaramos variables
set.seed(123)
n = 20
theta = 1

#Establecemos las muestras exponenciales  
x1 = rexp(n, 1/theta)
x2 = rexp(n, 1/theta)
x3 = rexp(n, 1/theta)
x4 = rexp(n, 1/theta)

x1234 = data.frame(x1,x2,x3,x4)

#Aplicacion de estimadores
T1234 = data.frame(T1 = (x1 + x2)/6 + (x3 + x4)/3,
T2 = (x1 + 2*x2 + 3*x3 + 4*x4)/5,
T3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
T4 = (apply(x1234, 1, min) + apply(x1234, 1, max))/2)

#Graficamos
boxplot(T1234, main = 'Grafica n = 20')
abline(h=theta, col='red')

Media = apply(T1234, 2, mean)
Varianza = apply(T1234, 2, var)

rbind(Media, Varianza)
##                 T1       T2        T3        T4
## Media    1.0354244 2.043959 1.0171289 1.2007878
## Varianza 0.2721333 0.876877 0.1985982 0.5207267

Para n = 50

#Declaramos variables
set.seed(123)
n = 50
theta = 1

#Establecemos las muestras exponenciales  
x1 = rexp(n, 1/theta)
x2 = rexp(n, 1/theta)
x3 = rexp(n, 1/theta)
x4 = rexp(n, 1/theta)

x1234 = data.frame(x1,x2,x3,x4)

#Aplicacion de estimadores
T1234 = data.frame(T1 = (x1 + x2)/6 + (x3 + x4)/3,
T2 = (x1 + 2*x2 + 3*x3 + 4*x4)/5,
T3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
T4 = (apply(x1234, 1, min) + apply(x1234, 1, max))/2)

#Graficamos
boxplot(T1234, main = 'Grafica n = 50')
abline(h=theta, col='red')

Media = apply(T1234, 2, mean)
Varianza = apply(T1234, 2, var)

rbind(Media, Varianza)
##                 T1       T2       T3        T4
## Media    0.9944047 1.979019 1.007233 1.1576241
## Varianza 0.2678893 1.071824 0.268972 0.4931011

Para n = 100

#Declaramos variables
set.seed(123)
n = 100
theta = 1

#Establecemos las muestras exponenciales  
x1 = rexp(n, 1/theta)
x2 = rexp(n, 1/theta)
x3 = rexp(n, 1/theta)
x4 = rexp(n, 1/theta)

x1234 = data.frame(x1,x2,x3,x4)

#Aplicacion de estimadores
T1234 = data.frame(T1 = (x1 + x2)/6 + (x3 + x4)/3,
T2 = (x1 + 2*x2 + 3*x3 + 4*x4)/5,
T3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
T4 = (apply(x1234, 1, min) + apply(x1234, 1, max))/2)

#Graficamos
boxplot(T1234, main = 'Grafica n = 100')
abline(h=theta, col='red')

Media = apply(T1234, 2, mean)
Varianza = apply(T1234, 2, var)

rbind(Media, Varianza)
##                 T1        T2        T3        T4
## Media    0.9883511 1.9566484 0.9930716 1.1467840
## Varianza 0.2072246 0.9392148 0.1978252 0.3291384

Para n = 1000

#Declaramos variables
set.seed(123)
n = 1000
theta = 1

#Establecemos las muestras exponenciales  
x1 = rexp(n, 1/theta)
x2 = rexp(n, 1/theta)
x3 = rexp(n, 1/theta)
x4 = rexp(n, 1/theta)

x1234 = data.frame(x1,x2,x3,x4)

#Aplicacion de estimadores
T1234 = data.frame(T1 = (x1 + x2)/6 + (x3 + x4)/3,
T2 = (x1 + 2*x2 + 3*x3 + 4*x4)/5,
T3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
T4 = (apply(x1234, 1, min) + apply(x1234, 1, max))/2)

#Graficamos
boxplot(T1234, main = 'Grafica n = 1000')
abline(h=theta, col='red')

Media = apply(T1234, 2, mean)
Varianza = apply(T1234, 2, var)

rbind(Media, Varianza)
##                 T1       T2        T3        T4
## Media    0.9960410 1.979702 0.9999751 1.1620405
## Varianza 0.2862104 1.176653 0.2598449 0.4036799

Conclusiones

Los resultados muestran que los estimadores T1 y T3 destaca por su insesgadez, ya que su media se aproxima a 1. Por otro lado, el estimador T3 es el más eficiente debido a su comportamiento en cuanto a la varianza (menor). A medida que aumenta el número de datos aleatorios, la varianza de los estimadores disminuye, siendo el estimador T3 el que mejores propiedades de insesgadez y eficiencia presenta, con una varianza de 0.25 cuando se utilizan 1000 datos.