Problema 4

Estimación boostrap


Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗2,X∗n, conformando la muestra bootstrap.
Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5 

n=7
m=1000
x=c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
boot=sample(x,n*m,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,nrow=m,ncol=n)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)                 # se calculan m medias por fila

Intervalo de confianza método 1

ic1=quantile(mx, c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic1
    2.5%    97.5% 
4.748393 6.421429

Intervalo de confianza método 2

ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
ic2
   97.5%     2.5% 
4.673800 6.346836 
hist(mx, las=1, main="Intervalo Bootstrap", 
     ylab = "Frecuencia",
     xlab = "Media", 
     col="#034A94")
abline(v=ic1, col="#FF7F00",lwd=2)
abline(v=ic2, col="#0EB0C6",lwd=2)
grid()



Analisis



Comparación de Métodos


El intervalo de confianza del Método 2 es más amplio en comparación con el Método 1. Esto sugiere que el Método 2 podría ser más conservador al estimar el rango en el que se encuentra la verdadera eficiencia de combustible. Aunque ambos intervalos están relativamente cerca, el intervalo del Método 1 es más estrecho y centrado alrededor de valores más altos, mientras que el Método 2 ofrece un intervalo más bajo en el límite inferior pero con un límite superior más alto.



Confianza en estimaciones


Ambos métodos son válidos y utilizan el bootstrap para estimar el intervalo de confianza, lo que proporciona estimaciones robustas. Sin embargo, la elección entre uno u otro depende del objetivo. Si se busca precisión y se tiene confianza en la muestra, confiaría más en las estimaciones del Método 1. Si prefiero un enfoque más conservador para abarcar más posibles valores, entonces el Método 2 sería más confiable.

Conclusión

Ambos métodos de estimación bootstrap tienen su utilidad y aplicabilidad según el contexto de los datos y el análisis deseado. Usar el primer método para obtener un intervalo de confianza más directo y menos influenciado por la media original y el uso del segundo metodo si se desea un ajuste que tenga en cuenta la media de la muestra original, pero ser consciente de que esto puede introducir variabilidad adicional.