Problema 2

Propiedades de los estimadores



Estimadores para muestra de n=20

set.seed(123)
n=20
l = 2 
x1 = rexp(n, 1/l)
x2 = rexp(n, 1/l)
x3 = rexp(n, 1/l)
x4 = rexp(n, 1/l)

x1234 = data.frame(x1, x2, x3, x4)
minx = apply(x1234, 1, min)
maxx = apply(x1234, 1, max)
T1234 = data.frame(T1 =(x1+x2)/6 + (x3+x4)/3,
T2 = (x1 + 2*x2 + 3*x3 + 4*x4)/5,
T3 = (x1 + x2 + x3 + x4)/4,
T4 = (minx + maxx)/2)

boxplot(T1234, col="#034A94")
abline(h=l, col="red")

media = apply(T1234, 2, mean)
varianza = apply(T1234, 2, var)

rbind(media, varianza)
               T1       T2        T3       T4
media    2.070849 4.087918 2.0342578 2.401576
varianza 1.088533 3.507508 0.7943927 2.082907



Analisis


Los estimadores T3 y T4 se acercan más al valor real en promedio, lo que indica que son relativamente insesgados.T1 y T2 muestran un mayor sesgo.
T3 tiene la menor varianza, lo que lo convierte en el estimador más eficiente. T4 tiene una varianza mayor, por lo que es menos eficiente. T1 y T2 muestran mayor varianza.
Los estimadores T3 y T4 son consistentes con base en muestras más grandes.

Estimadores para muestra de n=50

set.seed(123)
n = 50
l = 2 
x1 = rexp(n, 1/l)
x2 = rexp(n, 1/l)
x3 = rexp(n, 1/l)
x4 = rexp(n, 1/l)

x1234 = data.frame(x1, x2, x3, x4)
minx = apply(x1234, 1, min)
maxx = apply(x1234, 1, max)
T1234 = data.frame(T1 =(x1+x2)/6 + (x3+x4)/3,
T2 = (x1 + 2*x2 + 3*x3 + 4*x4)/5,
T3 = (x1 + x2 + x3 + x4)/4,
T4 = (minx + maxx)/2)

boxplot(T1234, col="#034A94")
abline(h = l, col="red")

media = apply(T1234, 2, mean)
varianza = apply(T1234, 2, var)

rbind(media, varianza)
               T1       T2       T3       T4
media    1.988809 3.958039 2.014466 2.315248
varianza 1.071557 4.287298 1.075888 1.972405



Analisis


Los estimadores T3 y T4 siguen siendo insesgados para n=50, manteniéndose cercanos al valor verdadero.T1 y T2 muestran sesgos más significativos.
La varianza disminuye para T3 y T4, lo que mejora su eficiencia. T3 sigue siendo el más eficiente.Los estimadores T1 y T2 muestran una disminución en la varianza, pero siguen siendo menos eficientes que T3.
Con n=50, T3 y T4 comienzan a mostrar signos claros de consistencia, ya que la media de sus valores estimados se acerca más al parámetro real a medida que aumenta n.



Estimadores para muestra de n=100

set.seed(123)
n = 100
l = 2 
x1 = rexp(n, 1/l)
x2 = rexp(n, 1/l)
x3 = rexp(n, 1/l)
x4 = rexp(n, 1/l)

x1234 = data.frame(x1, x2, x3, x4)
minx = apply(x1234, 1, min)
maxx = apply(x1234, 1, max)
T1234 = data.frame(T1 =(x1+x2)/6 + (x3+x4)/3,
T2 = (x1 + 2*x2 + 3*x3 + 4*x4)/5,
T3 = (x1 + x2 + x3 + x4)/4,
T4 = (minx + maxx)/2)

boxplot(T1234, col="#034A94")
abline(h = l, col="red")

media = apply(T1234, 2, mean)
varianza = apply(T1234, 2, var)

rbind(media, varianza)
                T1       T2        T3       T4
media    1.9767021 3.913297 1.9861432 2.293568
varianza 0.8288984 3.756859 0.7913008 1.316554



Analisis

A medida que el tamaño de la muestra aumenta, T3 y T4 siguen siendo insesgados.T1 y T2 aún tienen un sesgo notable.
T3 continúa siendo el más eficiente debido a su baja varianza.T4 mejora su eficiencia con un tamaño de muestra mayor, pero sigue siendo menos eficiente que T3.
A n=100, T3 y T4 muestran clara consistencia, convergiendo hacia el valor verdadero del parámetro.



Estimadores para muestra de n=1000

set.seed(123)
n = 1000
l = 2 
x1 = rexp(n, 1/l)
x2 = rexp(n, 1/l)
x3 = rexp(n, 1/l)
x4 = rexp(n, 1/l)

x1234 = data.frame(x1, x2, x3, x4)
minx = apply(x1234, 1, min)
maxx = apply(x1234, 1, max)
T1234 = data.frame(T1 =(x1+x2)/6 + (x3+x4)/3,
T2 = (x1 + 2*x2 + 3*x3 + 4*x4)/5,
T3 = (x1 + x2 + x3 + x4)/4,
T4 = (minx + maxx)/2)

boxplot(T1234, col="#034A94")
abline(h = l, col="red")

media = apply(T1234, 2, mean)
varianza = apply(T1234, 2, var)

rbind(media, varianza)
               T1       T2       T3       T4
media    1.992082 3.959404 1.999950 2.324081
varianza 1.144842 4.706613 1.039379 1.614719



Analisis


En esta muestra grande, T3 y T4 mantienen su insesgadez.
T3 sigue siendo el estimador más eficiente, con la varianza más baja.
Para n=1000, tanto T3 como T4 son claramente consistentes, convergiendo al valor verdadero del parámetro.



Conclusión General


T3 es consistentemente el mejor estimador en términos de insesgadez, eficiencia y consistencia en todas las muestras.
T4 es insesgado y consistente, pero menos eficiente que T3.
T1 y T2 presentan sesgo y son menos eficientes y consistentes que T3 y T4, aunque mejoran con el aumento del tamaño de la muestra.