Actividad 2 Metodos y Simulacion Estadistica

Informe sobre Estimación de Pi mediante Simulación Monte Carlo

1. Objetivo El objetivo de este código es estimar el valor de π utilizando el método de simulación Monte Carlo y generar gráficos visualizando los puntos simulados.
2. Metodología Se generan n puntos con coordenadas (x,y) aleatorias en el intervalo (0, 1). Se verifica cuántos puntos caen dentro de un círculo de radio 0.5 centrado en (0.5, 0.5). Se genera un gráfico donde los puntos dentro del círculo se marcan en azul y los que están fuera, en rojo.
3. Resultados Simulación con 1,000 puntos: Puntos dentro del círculo: 776 Estimación de π: 3.104 Simulación con 10,000 puntos: Puntos dentro del círculo: 7,808 Estimación de π: 3.1232 Simulación con 100,000 puntos: Puntos dentro del círculo: 78,511 Estimación de π: 3.14044
4. Conclusión Conforme aumenta el número de puntos, la estimación de π se aproxima mejor al valor real (π≈3.1416). Esto es consistente con la naturaleza del método Monte Carlo, donde la precisión mejora con el tamaño de la muestra.

Informe Simulaciones

El objetivo de este estudio es analizar las propiedades de cuatro diferentes estimadores para el parámetro 𝜃 en una distribución exponencial. El parámetro 𝜃 ha sido fijado en 2, y se evaluarán los estimadores mediante simulaciones para distintos tamaños de muestra. En particular, se desea observar la eficiencia y sesgo de cada estimador conforme el tamaño de muestra aumenta.

Metodología

Se realizaron simulaciones Monte Carlo para los tamaños de muestra n=20,50,100,1000, y para cada tamaño de muestra se ejecutaron 1000 simulaciones. En cada simulación se generaron muestras de tamaño 𝑛 de una distribución exponencial con parámetro 𝜃 = 2 θ = 2. Luego, se calcularon los valores estimados de cada uno de los estimadores mencionados y se almacenaron para su análisis.

Resultados

Se generaron gráficos de caja para visualizar cómo varían los valores estimados de los estimadores con respecto al tamaño de la muestra. También se graficaron las varianzas de los estimadores con el fin de evaluar la eficiencia de cada uno.

Estimaciones de los estimadores

Cada uno de los gráficos de caja que se presentan a continuación muestra la distribución de los valores estimados para cada estimador a través de las simulaciones. Observamos cómo el tamaño de la muestra afecta la estabilidad de los estimadores.

Informe de la Gráfica de Potencia del tTest

Objetivo de la Gráfica La gráfica creada en el código tiene como objetivo visualizar la relación entre el tamaño muestral y la potencia estadística de una prueba t de dos muestras para diferentes tamaños del efecto. Esto es fundamental para entender cuánta potencia tiene una prueba estadística en función de la cantidad de datos disponibles y la magnitud del efecto que se espera detectar.

Descripción de los Elementos de la Gráfica

Tamaño muestral (eje X): El eje X de la gráfica representa el tamaño muestral, que varía de 1 a 150. A medida que se incrementa el tamaño de la muestra, la potencia de la prueba aumenta.
Potencia (eje Y): El eje Y representa la potencia estadística, la cual varía entre 0 y 1. La potencia indica la probabilidad de detectar un efecto verdadero, si existe, en función de las condiciones establecidas (tamaño del efecto, tamaño muestral y nivel de significancia). Una potencia de 0.8 o superior se considera generalmente adecuada en estudios estadísticos.
Tamaños del efecto: Se simulan 20 diferentes tamaños del efecto, que van desde 0.1 hasta 2.0. Los tamaños del efecto miden la magnitud de la diferencia entre las dos muestras, con valores más altos indicando un efecto mayor. Tres tamaños del efecto específicos (pequeño, medio y grande) son destacados en la gráfica con colores y líneas diferentes, siguiendo las recomendaciones de Cohen (1988).

Interpretación de la Gráfica

Relación entre el tamaño muestral y la potencia: Para tamaños del efecto más pequeños (por ejemplo, 0.1), la potencia de la prueba es baja cuando el tamaño muestral es pequeño. Sin embargo, a medida que el tamaño de la muestra aumenta, la potencia incrementa de manera significativa, lo que indica que se requiere un tamaño muestral mayor para detectar efectos pequeños de manera confiable. En contraste, cuando el tamaño del efecto es grande (por ejemplo, 2.0), incluso con un tamaño muestral pequeño, la potencia es alta desde el inicio, lo que significa que es más fácil detectar un efecto mayor con menos datos.

Tamaños del efecto destacados:

Los tamaños del efecto de 0.2, 0.5 y 0.8, que representan efectos pequeños, medianos y grandes, respectivamente, están resaltados en la gráfica con líneas negras y tipos de línea distintos. Esto facilita la interpretación y comparación entre diferentes magnitudes del efecto.

Patrón general:

La gráfica muestra claramente que la potencia aumenta a medida que: 1. El tamaño muestral crece. 2. El tamaño del efecto es mayor. Esto es un comportamiento esperado, ya que tanto un mayor tamaño de la muestra como un mayor tamaño del efecto incrementan la probabilidad de detectar una diferencia significativa en los datos. - Conclusiones La gráfica proporciona una herramienta visual útil para planificar estudios experimentales. Permite a los investigadores decidir el tamaño de muestra adecuado en función del tamaño del efecto esperado y el nivel de potencia deseado. En estudios donde el tamaño del efecto es pequeño, es crucial tener un tamaño muestral lo suficientemente grande para garantizar que se pueda detectar una diferencia significativa con una alta probabilidad (potencia cercana a 1).