Actividad 2

Problema 2: Propiedades de los estimadores

Aclaración: para todos los estimadores se definió λ=1. Por lo tanto, la media de la distribución exponencial es 1.

Muestra n= 20

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#l=1   <- variables definidas en el chunk de configuración
#valor_real=1/l <- variables definidas en el chunk de configuración
set.seed(123)
n=20
x1= rexp(n,1/l)
x2= rexp(n,1/l)
x3= rexp(n,1/l)
x4= rexp(n,1/l)

x1234= data.frame(x1,x2,x3,x4)
minx= apply(x1234,1,min)
maxx= apply(x1234,1,max)
T1234= data.frame(T1=(x1+x2)/6+ (x3+x4)/3,
T2= (x1+2*x2+3*x3+4*x4)/5,
T3=(x1+x2+x3+x4)/4,
T4=(minx+maxx)/2)

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# Calcular la media, varianza, desviación estándar y sesgo
media = apply(T1234, 2, mean)
varianza = apply(T1234, 2, var)
desviacion_estandar = apply(T1234, 2, sd)
sesgo = media - valor_real

# Crear un dataframe con los resultados
resultados = data.frame(
  Estimador = colnames(T1234),
  Media = media,
  Varianza = varianza,
  Desviacion_Estandar = desviacion_estandar,
  Sesgo = sesgo
)

Estadísticas de los Estimadores n=20

	Estimador	Media	Varianza	Desviación Estándar	Sesgo
T1	T1	1.035424	0.2721333	0.5216640	0.0354244
T2	T2	2.043959	0.8768770	0.9364171	1.0439588
T3	T3	1.017129	0.1985982	0.4456435	0.0171289
T4	T4	1.200788	0.5207267	0.7216140	0.2007878

Muestra n= 50

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set.seed(123)
n_50 = 50
x1_50 = rexp(n_50, 1/l)
x2_50 = rexp(n_50, 1/l)
x3_50 = rexp(n_50, 1/l)
x4_50 = rexp(n_50, 1/l)

x1234_50 = data.frame(x1_50, x2_50, x3_50, x4_50)
minx_50 = apply(x1234_50, 1, min)
maxx_50 = apply(x1234_50, 1, max)
T1234_50 = data.frame(
  T1 = (x1_50 + x2_50)/6 + (x3_50 + x4_50)/3,
  T2 = (x1_50 + 2*x2_50 + 3*x3_50 + 4*x4_50)/5,
  T3 = (x1_50 + x2_50 + x3_50 + x4_50)/4,
  T4 = (minx_50 + maxx_50)/2
)

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# Calcular la media, varianza, desviación estándar y sesgo
media_50 = apply(T1234_50, 2, mean)
varianza_50 = apply(T1234_50, 2, var)
desviacion_estandar_50 = apply(T1234_50, 2, sd)
sesgo_50 = media_50 - valor_real

# Crear un dataframe con los resultados
resultados_50 = data.frame(
  Estimador = colnames(T1234_50),
  Media = media_50,
  Varianza = varianza_50,
  Desviacion_Estandar = desviacion_estandar_50,
  Sesgo = sesgo_50
)

Estadísticas de los Estimadores n=50

	Estimador	Media	Varianza	Desviación Estándar	Sesgo
T1	T1	0.9944047	0.2678893	0.5175802	-0.0055953
T2	T2	1.9790193	1.0718244	1.0352895	0.9790193
T3	T3	1.0072332	0.2689720	0.5186251	0.0072332
T4	T4	1.1576241	0.4931011	0.7022116	0.1576241

Muestra n= 100

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set.seed(123)
n_100 = 100
x1_100 = rexp(n_100, 1/l)
x2_100 = rexp(n_100, 1/l)
x3_100 = rexp(n_100, 1/l)
x4_100 = rexp(n_100, 1/l)

x1234_100 = data.frame(x1_100, x2_100, x3_100, x4_100)
minx_100 = apply(x1234_100, 1, min)
maxx_100 = apply(x1234_100, 1, max)
T1234_100 = data.frame(
  T1 = (x1_100 + x2_100)/6 + (x3_100 + x4_100)/3,
  T2 = (x1_100 + 2*x2_100 + 3*x3_100 + 4*x4_100)/5,
  T3 = (x1_100 + x2_100 + x3_100 + x4_100)/4,
  T4 = (minx_100 + maxx_100)/2
)

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# Calcular la media, varianza, desviación estándar y sesgo
media_100 = apply(T1234_100, 2, mean)
varianza_100 = apply(T1234_100, 2, var)
desviacion_estandar_100 = apply(T1234_100, 2, sd)
sesgo_100 = media_100 - valor_real

# Crear un dataframe con los resultados
resultados_100 = data.frame(
  Estimador = colnames(T1234_100),
  Media = media_100,
  Varianza = varianza_100,
  Desviacion_Estandar = desviacion_estandar_100,
  Sesgo = sesgo_100
)

Estadísticas de los Estimadores n=100

	Estimador	Media	Varianza	Desviación Estándar	Sesgo
T1	T1	0.9883511	0.2072246	0.4552193	-0.0116489
T2	T2	1.9566484	0.9392148	0.9691310	0.9566484
T3	T3	0.9930716	0.1978252	0.4447754	-0.0069284
T4	T4	1.1467840	0.3291384	0.5737058	0.1467840

Muestra n= 1000

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set.seed(123)
n_1000 = 1000
x1_1000 = rexp(n_1000, 1/l)
x2_1000 = rexp(n_1000, 1/l)
x3_1000 = rexp(n_1000, 1/l)
x4_1000 = rexp(n_1000, 1/l)

x1234_1000 = data.frame(x1_1000, x2_1000, x3_1000, x4_1000)
minx_1000 = apply(x1234_1000, 1, min)
maxx_1000 = apply(x1234_1000, 1, max)
T1234_1000 = data.frame(
  T1 = (x1_1000 + x2_1000)/6 + (x3_1000 + x4_1000)/3,
  T2 = (x1_1000 + 2*x2_1000 + 3*x3_1000 + 4*x4_1000)/5,
  T3 = (x1_1000 + x2_1000 + x3_1000 + x4_1000)/4,
  T4 = (minx_1000 + maxx_1000)/2
)

Show Code

# Calcular la media, varianza, desviación estándar y sesgo
media_1000 = apply(T1234_1000, 2, mean)
varianza_1000 = apply(T1234_1000, 2, var)
desviacion_estandar_1000 = apply(T1234_1000, 2, sd)
sesgo_1000 = media_1000 - valor_real

# Crear un dataframe con los resultados
resultados_1000 = data.frame(
  Estimador = colnames(T1234_1000),
  Media = media_1000,
  Varianza = varianza_1000,
  Desviacion_Estandar = desviacion_estandar_1000,
  Sesgo = sesgo_1000
)

Estadísticas de los Estimadores n=1000

	Estimador	Media	Varianza	Desviación Estándar	Sesgo
T1	T1	0.9960410	0.2862104	0.5349864	-0.0039590
T2	T2	1.9797019	1.1766533	1.0847365	0.9797019
T3	T3	0.9999751	0.2598449	0.5097498	-0.0000249
T4	T4	1.1620405	0.4036799	0.6353581	0.1620405

Análisis

Insesgadez:

Estimador T1: El sesgo tiende a disminuir con el aumento del tamaño de la muestra, acercándose a 0. Esto indica que T1 es casi insesgado para muestras grandes.

Estimador T2: El sesgo es significativo y positivo en todas las muestras, indicando que T2 tiende a sobrestimar el valor del parámetro.

Estimador T3: El sesgo es muy pequeño y tiende a disminuir con el tamaño de la muestra, lo que sugiere que T3 es un estimador bastante insesgado.

Estimador T4: El sesgo es positivo y tiende a aumentar ligeramente con el tamaño de la muestra, lo que indica asi como sucede con T2, T4 tiende a sobrestimar el parámetro.

Eficiencia (Varianza y Desviación Estándar):

Estimador T1: La varianza y la desviación estándar se estabilizan a medida que aumenta el tamaño de la muestra, lo que sugiere que T1 tiene una varianza relativamente baja para muestras grandes.

Estimador T2: La varianza es alta en todas las muestras y no disminuye significativamente con el tamaño de la muestra, indicando que T2 tiene una alta variabilidad y, por lo tanto, es menos eficiente.

Estimador T3: La varianza y la desviación estándar son las más bajas en comparación con los otros estimadores, lo que sugiere que T3 es el más eficiente.

Estimador T4: La varianza disminuye con el tamaño de la muestra, pero sigue siendo relativamente alta, lo que indica que T4 es menos eficiente comparado con T1 y T3.

Consistencia:

Estimador T1: La media de T1 se acerca al valor verdadero a medida que aumenta el tamaño de la muestra, indicando consistencia.

Estimador T2: La media de T2 se estabiliza, pero con un sesgo alto, lo que sugiere que, aunque es consistente en términos de convergencia, su precisión es baja.

Estimador T3: La media de T3 se aproxima al valor verdadero con el aumento del tamaño de la muestra y con bajo sesgo, lo que sugiere que T3 es consistente y eficiente.

Estimador T4: La media de T4 se estabiliza, pero el sesgo es positivo y creciente, indicando que aunque es consistente, tiene un sesgo sistemático hacia arriba.

Conclusión

Estimador T1: Tiene buen rendimiento en términos de insesgadez y eficiencia para muestras grandes, aunque su varianza es relativamente alta para tamaños de muestra pequeños.

Estimador T2: Es insesgado solo en tamaños de muestra grandes pero tiene alta varianza y sesgo significativo en muestras pequeñas.

Estimador T3: Es el mejor en términos de insesgadez y eficiencia, mostrando bajo sesgo y varianza, y es consistente en todos los tamaños de muestra.

Estimador T4: Aunque muestra cierta consistencia, su sesgo positivo y alta varianza hacen que sea menos deseable comparado con T1 y T3.

En resumen, T3 es el estimador más robusto en términos de insesgadez y eficiencia, especialmente en tamaños de muestra grandes. T1 también es una buena opción, pero con un poco más de varianza. T2 es menos eficiente y tiene sesgo significativo. T4, aunque consistente, tiene problemas de sesgo y varianza, haciéndolo menos atractivo comparado con T1 y T3.