Actividad 2

Problema 1: Estimación de \(\pi\)

Estimación con 1000 puntos

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#numero puntos 
n <- 1000 

#generar puntos aleatorios
x <- runif(n)
y <- runif(n)

#contar puntos dentro del circulo
puntos_dentro <- 0

#calcular la distancia y contar los puntos

for (i in 1:n) {
  distancia_cuadrada <- (x[i] - 0.5)^2 + (y[i] - 0.5)^2
  if (distancia_cuadrada < 0.25) {
    puntos_dentro <- puntos_dentro + 1
  }
}

#estimación
estimacion_pi_4 <- puntos_dentro / n
estimacion_pi <- estimacion_pi_4 * 4

Con esta estimación la cantidad de puntos dentro del círculo son:  775  y la estimación de π es:  3.1 

Estimación con 10000 puntos

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# Número de puntos
n_10000 <- 10000

# Generar puntos aleatorios
x_10000 <- runif(n_10000)
y_10000 <- runif(n_10000)

# Contador de puntos dentro del círculo
puntos_dentro_10000 <- 0

# Calcular la distancia cuadrada y contar puntos dentro del círculo
for (i in 1:n_10000) {
  distancia_cuadrada_10000 <- (x_10000[i] - 0.5)^2 + (y_10000[i] - 0.5)^2
  if (distancia_cuadrada_10000 < 0.25) {
    puntos_dentro_10000 <- puntos_dentro_10000 + 1
  }
}

# Estimación de π
estimacion_pi_4_10000 <- puntos_dentro_10000 / n_10000
estimacion_pi_10000 <- estimacion_pi_4_10000 * 4

Con esta estimación la cantidad de puntos dentro del círculo son:  7821  y la estimación de π es:  3.1284 

Estimación con 100000 puntos

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# Número de puntos
n_100000 <- 100000

# Generar puntos aleatorios
x_100000 <- runif(n_100000)
y_100000 <- runif(n_100000)

# Contador de puntos dentro del círculo
puntos_dentro_100000 <- 0

# Calcular la distancia cuadrada y contar puntos dentro del círculo
for (i in 1:n_100000) {
  distancia_cuadrada_100000 <- (x_100000[i] - 0.5)^2 + (y_100000[i] - 0.5)^2
  if (distancia_cuadrada_100000 < 0.25) {
    puntos_dentro_100000 <- puntos_dentro_100000 + 1
  }
}

# Estimación de π
estimacion_pi_4_100000 <- puntos_dentro_100000 / n_100000
estimacion_pi_100000 <- estimacion_pi_4_100000 * 4

Con esta estimación la cantidad de puntos dentro del círculo son:  78530  y la estimación de π es:  3.1412 

Resultados de la Estimación de \(\pi\) y Errores Relativos

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# Valor verdadero de π
pi_true <- pi

# Estimaciones de π obtenidas
estimacion_pi <- estimacion_pi 
estimacion_pi_10000 <- estimacion_pi_10000
estimacion_pi_100000 <- estimacion_pi_100000

# Calcular los errores relativos
error_relativo_1000 <- abs(estimacion_pi - pi_true) / pi_true
error_relativo_10000 <- abs(estimacion_pi_10000 - pi_true) / pi_true
error_relativo_100000 <- abs(estimacion_pi_100000 - pi_true) / pi_true

# Cargar librería para crear la tabla
library(knitr)

# Crear un dataframe con los resultados
resultados <- data.frame(
  Puntos = c(1000, 10000, 100000),
  Estimacion_Pi = c(estimacion_pi, estimacion_pi_10000, estimacion_pi_100000),
  Error_Relativo = c(error_relativo_1000, error_relativo_10000, error_relativo_100000)
)

Número de Puntos	Estimación de π	Error Relativo
1e+03	3.1000	0.0132394
1e+04	3.1284	0.0041994
1e+05	3.1412	0.0001250

Conclusión:

Al realizar la simulación Montecarlo para estimar el valor de π, observamos que con 1000 puntos aleatorios obtuvimos una estimación de 3.1. Al aumentar el número de puntos a 10,000 y luego a 100,000, la estimación se acercó aún más al valor real de π, mostrando una mejora en la precisión. Este comportamiento confirma que la estimación de π se aproxima al valor exacto a medida que se incrementa el número de puntos en la simulación.

El análisis de los errores relativos revela que, aunque el método de Montecarlo es eficiente, la precisión está directamente relacionada con la cantidad de puntos utilizados. La variación en los resultados de cada ejecución de la simulación, se reduce con el aumento de puntos, indicando que con más datos obtenemos estimaciones más confiables y consistentes.

En conclusión, la simulación Montecarlo demuestra ser un método efectivo para estimar π, con precisión que mejora con el aumento en el número de puntos.