1. Introducción

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X^∗_1\) Después de anotado el valor se regresa \(X^∗_1\) a la caja y se extrae el valor \(X^∗_ 2\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, \(X^∗_1\),\(X^∗_2\),\(X^∗_3\),\(X^∗_n\) conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\bar{X}_1\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\) .

Existen dos métodos para estimarlo:

  • Método 1 \((P_2.5; P_97.5)\)
  • Método 2 \((2\bar{X}−P_{97.5} ;2\bar{X}−P_{2.5})\)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

2. Construcción del Modelo

Determinar la media de la eficiencia de combustible con un intervalo de confianza del 95% por medio de la implementación del método de estimación bootstrap.

Con el fin de estimar la media de la eficiencia del combustible con un intervalo de confianza del 95% partiendo de una muestra de solo 7 mediciones de eficiencia de combustibles de camiones procedemos de la siguiente manera:

  1. Definir los datos originales de la muestra.

  2. Definir el número de k muestras bootstrap a generar.

  3. Generar una matriz de k filas por n columnas (el número de columnas es igual al número de datos de la muestra inicial).

  4. Calcular la media de cada fila de la matriz generada. Obteniendo 1000 medias diferentes.

  5. Estimar el intervalo de confianza utilizando dos métodos diferentes.

  6. Comparar y analizar los resultados.

Datos de la muestra

datos = c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
datos
## [1] 7.69 4.97 4.56 6.49 4.34 6.24 4.45

El número de muestras bootstrap a generar en este caso es de k=1000.

# Número de muestras
k = 1000
n = length(datos)

boot=sample(datos,k*n,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,k,n) # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean) # se calculan m medias por fila

Al calcular el intervalo de confianza por medio del método de los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.}\) .

Se obtiene que:

ic1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic1
##     2.5%    97.5% 
## 4.740821 6.454679

Con un 95% de confianza, podemos indicar que la media de la eficiencia de combustible de la población de camiones, medida en millas por galón, se encuentra entre (4.74) a (6.45)

al calcular el intervalo de confianza por medio del método ajustado con la media de la muestra original, se obtiene que:

ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
ic2
##    97.5%     2.5% 
## 4.616281 6.330139

Con un 95% de confianza, podemos indicar que la media de la eficiencia de combustible de la población de camiones, medida en millas por galón, se encuentra entre (4.62) a (6.33)

hist(mx, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="grey")
abline(v=ic1, col="red",lwd=2)
abline(v=ic2, col="green",lwd=2)

Como se puede ver en la gráfica el intervalo de confianza estimado por el método 2 ajustado basado en la media muestral original es ligeramente menor que el de los percentiles directos. Esta diferencia puede reflejar como el ajuste basado en la media muestral original puede influir en la estimación del intervalo de confianza.

3. Conclusiones

El método bootstrap optimiza la estimación, permitiendo generar y analizar múltiples muestras re-muestreadas rápidamente, a pesar de su aparente complejidad conceptual, se traduce en una implementación práctica y directa para calcular estimadores estadisticos como la media u otros.

La comparación entre los dos métodos de estimación de intervalos de confianza indica diferencias mínimas en sus límites inferiores y superiores, lo cual calcula estimaciones comparables para la eficiencia de combustible de los camiones, ofreciendo flexibilidad sin sacrificar precisión.

La selección del método más adecuado dependera del nivel de conocimiento sobre la distribución de los datos, tamaño de la muestra, y la presencia de sesgos, de acá la importancia de adaptar el enfoque de análisis al contexto específico y a las características de los datos.