PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA DE CALI

Estimacción boostrap

Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 %. - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X1* . Después de anotado el valor se regresa X1* a la caja y se extrae el valor X2 * , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X1* ,X2* ,X3* ,Xn*, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Nota: Problema tomado de Navidi(2006)

x=c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos 
cat("Media aritmética de la eficiencia de combustible en millas/galón")
Media aritmética de la eficiencia de combustible en millas/galón
mean(x)
[1] 5.534286
cat("desviación estándar de la eficiencia de combustible en millas/galón")
desviación estándar de la eficiencia de combustible en millas/galón
sd(x)
[1] 1.28635
#muestra
boot=sample(x,7000,replace=TRUE)   
b=matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)    
mx=apply(b,1,mean)

Estimación de intervalos de confianza Método 1

#Método 1
cat("Método 1")
Método 1
ic1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC 
ic1
    2.5%    97.5% 
4.741321 6.444286

Estimación de intervalos de confianza Método 2

#Método 2
cat("Método 2")
Método 2
ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC 
ic2
   97.5%     2.5% 
4.623883 6.326847

Histograma e intervalos de confianza

hist(mx, las=1, main=" ", ylab = "Frecuencia", xlab = " valores medios de la eficiencia de combustible (millas/galón)", col="#71B966")
abline(v=ic1, col="#0033FF",lwd=2)
abline(v=ic2, col="#FF0033",lwd=2)
legend("topright", legend = c("IC Método 1", "IC Método 2"), col = c("#0033FF", "#FF0033"), lwd = 1)

Figura 1. Distribución de medias bootstrap con intervalo de confianza no paramétrico

Conclusión: Se puede observar que los dos métodos tienen estimaciones de intervalo muy parcidos y si se puede confiar en estos dos métodos teniendo una muestra de tamaño grande. Además, según [1], existe una conexión entre el método de estimación bootstrap presentado aquí para el cálculo de los intervalos de confianza para una media poblacional y el de grandes muestras basado en la curva normal. En ambos casos el ancho del intervalo de confianza debe idealmente ser igual al ancho de 95% intermedio de la distribución de la media muestral. Cuando el tamaño muestral es grande, la distribución de la media muestral sigue la curva normal.

Bibliografía

[1] W. Navidi, Estadística para ingenieros y científicos, no. 112. 2006.