1) Somando ou subtraindo uma constante k a cada valor do conjunto:
Suponha que temos um conjunto de dados \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) e a média \(\mu(x)\) dada por:

\[ \mu(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

Agora, somamos ou subtraímos uma constante \(k\) a cada valor \(x_i\), o novo conjunto será:

\[ x_1 + k, x_2 + k, \ldots, x_n + k \]

A nova média \(\mu(x \pm k)\) será:

\[ \mu(x \pm k) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \pm k) \]

Usando a propriedade da soma, podemos separar a soma dos \(x_i\) e a soma das constantes \(k\):

\[ \mu(x \pm k) = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \pm \sum_{i=1}^{n} k \right) \]

Sabemos que \(\sum_{i=1}^{n} k = n \cdot k\), então:

\[ \mu(x \pm k) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \pm \frac{1}{n} n \cdot k \]

\[ \mu(x \pm k) = \mu(x) \pm k \]


2) Multiplicando ou dividindo cada valor do conjunto por uma constante k:

Agora, multiplicamos ou dividimos cada valor \(x_i\) por uma constante \(k\), e o novo conjunto será:

\[ x_1 \cdot k, x_2 \cdot k, \ldots, x_n \cdot k \]

A nova média \(\mu(x \cdot k)\) será:

\[ \mu(x \cdot k) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \cdot k) \]

Usando a propriedade distributiva da multiplicação:

\[ \mu(x \cdot k) = \frac{1}{n} \cdot k \sum_{i=1}^{n} x_i \]

\[ \mu(x \cdot k) = k \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

\[ \mu(x \cdot k) = k \cdot \mu(x) \]


### Exemplo prático: Vamos criar um conjunto de dados de temperatura, com distribuição normal, e realizar a operação de soma de uma constante k para ver o efeito na média e na distribuição.

# Pacotes necessários
library(dplyr)

# Definindo seed para reprodutibilidade
set.seed(123)

# Gerando dados de temperatura com distribuição normal
n <- 100
temperatura <- rnorm(n, mean = 25, sd = 5)  # Média de 25°C, desvio padrão de 5

# Somando uma constante k = 3
k <- 3
temperatura_somada <- temperatura + k

# Definindo função para criar tabela de frequência usando Regra de Sturges
criar_tabela_frequencia <- function(dados) {
  # Calculando o número de classes com a Regra de Sturges
  num_classes <- ceiling(1 + log2(length(dados)))
  
  # Usando hist() para criar intervalos de classe
  hist_data <- hist(dados, breaks = num_classes, plot = FALSE)
  
  # Criando tabela de frequência
  tabela_frequencia <- data.frame(
    Intervalo = paste(hist_data$breaks[-length(hist_data$breaks)],
                      hist_data$breaks[-1], sep = " - "),
    Frequencia = hist_data$counts
  )
  
  return(tabela_frequencia)
}

# Tabelas de frequência antes e depois da soma da constante
tabela_original <- criar_tabela_frequencia(temperatura)
tabela_somada <- criar_tabela_frequencia(temperatura_somada)

# Exibindo as tabelas de frequência
tabela_original
##   Intervalo Frequencia
## 1   10 - 15          1
## 2   15 - 20         13
## 3   20 - 25         34
## 4   25 - 30         35
## 5   30 - 35         14
## 6   35 - 40          3
tabela_somada
##   Intervalo Frequencia
## 1   15 - 20          3
## 2   20 - 25         19
## 3   25 - 30         42
## 4   30 - 35         28
## 5   35 - 40          8

A média original do conjunto de dados de temperatura é μ(x) e, após a soma da constante k=3, a nova média é μ(x+k).


### Histograma antes e depois da soma da constante:

# Pacote para visualização
library(ggplot2)

# Plotando os histogramas
p1 <- ggplot(data.frame(temperatura), aes(x = temperatura)) +
  geom_histogram(binwidth = 5, fill = "skyblue", color = "black") +
  ggtitle("Histograma - Temperatura Original") +
  xlab("Temperatura (ºC)") +
  ylab("Frequência") +
  theme_minimal()

p2 <- ggplot(data.frame(temperatura_somada), aes(x = temperatura_somada)) +
  geom_histogram(binwidth = 5, fill = "salmon", color = "black") +
  ggtitle("Histograma - Temperatura Após Soma de k = 3") +
  xlab("Temperatura (ºC)") +
  ylab("Frequência") +
  theme_minimal()

# Exibindo os dois gráficos lado a lado
library(gridExtra)
grid.arrange(p1, p2, ncol = 2)