Introducción

El presente trabajo hace parte del programa de Maestría en Ciencia de Datos de la Pontificia Universidad Javeriana Cali de la asignatura Métodos y Simulación estadística. El documento contiene el desarrollo del problema 4 de la actividad número 2 como evaluación de la temática Probabilidad e Inferencia Estadística.

Problema 4

Estimación bootstrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X_1^*\). Después de anotado el valor se regresa \(X_1^*\) a la caja y se extrae el valor \(X_2^*\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño \(n,X_1^* ,X_2^* ,X_3^* ,X_n^*\), conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\bar{X_i^*}\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:

\[(P_{2.5};P_{97.5})\]

\[(2\bar{X}-P_{97.5};2\bar{X}-P_{2.5})\]

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. ¿Confiaría en estas estimaciones?

Solución

Para realizar la simulación bootstrap y construir los intervalos de confianza, lo primero será definir la muestra original de datos suministrada y los parámetros para el muestreo bootstrap. 

# Datos de la muestra original
muestra_original <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

# Parámetros para el bootstrap
n <- length(muestra_original)    # Tamaño de la muestra original
k <- 1000                        # Número de muestras bootstrap

Una vez definidos los datos y los parámetros generamos el muestreo bootstrap y calculamos la media para cada muestra. 

# Genera muestras bootstrap y calcula la media para cada muestra
set.seed(123)                    # Fijar la semilla para reproducibilidad
bootstrap_medianas <- replicate(k, mean(sample(muestra_original, n, replace = TRUE)))

Posterior al muestreo calculamos los intervalos de confianza por los métodos indicados. 

# Método 1: Intervalo de confianza usando percentiles
IC_metodo1 <- quantile(bootstrap_medianas, probs = c(0.025, 0.975))

# Método 2: Intervalo de confianza usando la transformación
media_original <- mean(muestra_original)
IC_metodo2 <- 2 * media_original - quantile(bootstrap_medianas, probs = c(0.975, 0.025))

Finalmente visualizamos los resultados de los intervalos de confianza como se observa en la Figura 1 

# Mostrar los resultados
cat("Intervalo de confianza (Método 1):\n", IC_metodo1)
Intervalo de confianza (Método 1):
 4.748393 6.508643
cat("\nIntervalo de confianza (Método 2):\n", IC_metodo2)

Intervalo de confianza (Método 2):
 4.559929 6.320179
# Crear el histograma de las medias bootstrap
hist(bootstrap_medianas, main="Figura 1. Histograma de Medias Bootstrap",
     xlab="Media Bootstrap", ylab="Frecuencia", col="lightblue", border="black")

# Añadir líneas verticales para los intervalos de confianza
abline(v = IC_metodo1, col = "red", lwd = 2, lty = 2)  # Método 1 en rojo
abline(v = IC_metodo2, col = "blue", lwd = 2, lty = 3) # Método 2 en azul

# Añadir una leyenda
legend("topright", legend = c("IC Método 1", "IC Método 2"),
       col = c("red", "blue"), lty = c(2, 3), lwd = 2)

Resultados y análisis

Construcción del Intervalo de Confianza del 95% usando Bootstrap:

El método bootstrap es una técnica no paramétrica que permite estimar intervalos de confianza cuando la distribución subyacente de los datos no es conocida. En este caso, para estimar un intervalo de confianza del 95% para la media de eficiencia de combustible de los camiones, hemos utilizado dos métodos:

  • Método 1: Basado en los percentiles directos de la distribución de medias bootstrap.
  • Método 2: Basado en una transformación que ajusta la media original.

Método 1 (Percentiles Directos):

En este método, calculamos los percentiles 2.5% y 97.5% de la distribución de medias bootstrap para obtener el intervalo de confianza. Esto proporciona una estimación directa de los límites del intervalo de confianza basado en los datos de las muestras bootstrap.

Método 2 (Transformación de la Media Original):

En este método, ajustamos la media original utilizando la transformación \(2\bar{X}-P\), donde \(P\) es el percentil de la distribución de medias bootstrap. Este método puede ser útil para comparar el efecto de una transformación en el intervalo de confianza estimado.

Resultados del Código y Análisis

Intervalo de Confianza (Método 1): Al ejecutar el código obtenemos:

IC Método 1: (4.75, 6.51)

Intervalo de Confianza (Método 2): Al ejecutar el código obtenemos:

IC Método 2: (4.56, 6.32)

Comparación de Métodos:

Método 1: Basado en los percentiles de la distribución bootstrap proporciona un intervalo de confianza directo.

Método 2: Proporciona un intervalo de confianza ajustado basado en la media original y el efecto de la transformación. Generalmente, ambos métodos deberían proporcionar intervalos de confianza similares si la media original es una estimación razonable y si la distribución de las medias bootstrap es razonablemente simétrica. La diferencia entre los métodos puede ser sutil, pero refleja cómo los diferentes enfoques pueden influir en la estimación de los intervalos.

Interpretación Gráfica:

El histograma muestra la distribución de las medias bootstrap. Las líneas verticales indican los intervalos de confianza de ambos métodos.

Método 1 se muestra con una línea roja discontinua. Método 2 se muestra con una línea azul punteada.

Observando el histograma y las líneas, es posible visualizar cómo los intervalos de confianza se relacionan con la distribución de las medias bootstrap. Si los intervalos son estrechos y se superponen mucho, sugiere que el método bootstrap está proporcionando una estimación precisa de la media de la población. Si hay diferencias notables, puede ser útil considerar la robustez de los métodos y evaluar la consistencia de las estimaciones.

Conclusiones

Confiabilidad de las Estimaciones:

El método bootstrap es ampliamente aceptado y confiable, especialmente en casos donde la distribución de los datos no se conoce Proporciona una estimación no paramétrica del intervalo de confianza que no depende de suposiciones fuertes sobre la distribución subyacente de los datos.

Método 1: es generalmente más directo y se basa en la distribución empírica de las medias bootstrap.

Método 2: puede ser útil para verificar la robustez de las estimaciones y cómo se ajusta la media original a la distribución bootstrap.

En resumen, el método bootstrap proporciona una estimación sólida del intervalo de confianza, y la comparación de los dos métodos de intervalo de confianza que ayuda a validar la consistencia y robustez de las estimaciones obtenidas.