Estimacción boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap 𝑋∗1. Después de anotado el valor se regresa 𝑋∗1 a la caja y se extrae el valor 𝑋∗2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño 𝑛, 𝑋∗1,𝑋∗2,𝑋∗2,𝑋∗𝑛, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media 𝑋∗𝑖¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles 𝑃2.5 y 𝑃97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

\[ Metodo \space 1: \left( P_{2.5} ; P_{97.5} \right) \] \[ Metodo \space 2: \left( 2\bar{X} - P_{97.5}; 2\bar{X} - P_{2.5} \right) \]

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Desarrollo del problema

Se ingresan los datos del combustible y se realizan 1000 replicas de muestras Bootsstrap calculando la media de cada muestra:

# Datos 
datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

#  parámetros Bootstrap
n <- 7
k <- 1000  

# Generar muestras bootstrap y calcular las medias
set.seed(123)
medias_bootstrap <- replicate(k, mean(sample(datos, n, replace = TRUE)))

Mètodo 1

Se calcula el intervalo de confianza utilizando los percentiles 2,5 y 97,5 de las medias generadas:

IC_metodo1 <- quantile(medias_bootstrap, probs = c(0.025, 0.975))

Mètodo 2

Se calcula el intervalo de confianza utilizando la media muestral y los percentiles:

media_muestral <- mean(datos)
P_2.5 <- quantile(medias_bootstrap, 0.025)
P_97.5 <- quantile(medias_bootstrap, 0.975)
IC_metodo2 <- c(2*media_muestral - P_97.5, 2*media_muestral - P_2.5)

Histograma

hist(medias_bootstrap,las=1, ylim=c(0,200),
     main = "Intervalo bootsstrap",
     ylab= "Frecuencia",
     xlab = "Media",
     col= "#B0E0E6")
abline(v=IC_metodo1, col = "red")
abline(v=IC_metodo2, col = "blue")
grid()
legend("topright",                              # Posición de la leyenda
       legend = c("IC Método 1", "IC Método 2"), # Etiquetas para las líneas
       col = c("red", "blue"),                   # Colores de las líneas
       lty = 1,                                  # Tipo de línea (1 = línea continua)
       cex = 0.8)    
text(IC_metodo1, 150, labels = round(IC_metodo1, 2), col = "red", pos = 4)
text(IC_metodo2, 150, labels = round(IC_metodo2, 2), col = "blue", pos = 4)

Conclusiones:

Los dos métodos son muy parecidos en el intervalo,sin embargo el método 2 es mas exigente ya que es más estrecho. La decisión de cúal escoger depende de que tan conservador (método 1) o exigente (método 2) se quiere ser.