Actividad 2
Luz Carime Lucumí Hernández
Luis Carlos Martinez Martinez
2024-09-06
Problema 4
Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:
El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X^*_1\). Después de anotado el valor se regresa \(X^*_1\) a la caja y se extrae el valor \(X^*_2\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño , \(X^*_1\), \(X^*_2\), \(X^*_2\), \(X^*_n\), conformando la muestra bootstrap.
Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\bar{X}^*_i\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:
| Método | Fórmula |
|---|---|
| Método 1 | \[ (P_{2.5}, P_{97.5}) \] |
| Método 2 | \[ (2\bar{X} - P_{97.5}, 2\bar{X} - P_{2.5}) \] |
Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?
Método 1
Percentiles Directos
1. Descripción
Este método calcula el intervalo de confianza del 95% directamente utilizando los percentiles 2.5 y 97.5 de la distribución de medias bootstrap. Esta técnica es simple y eficaz para estimar la variabilidad de una estadística cuando no se tiene información sobre la distribución subyacente de los datos.
2. Cálculo
- Generamos 1000 muestras bootstrap de la muestra original mediante muestreo con reemplazo.
- Calculamos la media de cada una de estas muestras bootstrap.
- Utilizamos las funciones quantile() para encontrar los percentiles 2.5 y 97.5 de las medias bootstrap.
\[ \text{Método 1} \] \[ (P_{2.5}, P_{97.5}) \]
# Método 1: Cálculo de intervalos de confianza
percentiles <- quantile(medias_bootstrap, probs = c(0.025, 0.975))
metodo1 <- percentiles| Percentil | Valor | |
|---|---|---|
| 2.5% | 2.5% | 4.748393 |
| 97.5% | 97.5% | 6.508643 |
3. Interpretación
El intervalo de confianza del 95% obtenido de este método representa el rango dentro del cual se espera que caiga la media poblacional con un 95% de confianza, basado en la variabilidad observada en las medias bootstrap.
Método 2
Ajuste Basado en la Media Original
1. Descripción
Este método ajusta el intervalo de confianza calculado en el Método 1 utilizando la media original de la muestra. La idea es que, dado que el intervalo de confianza bootstrap se centra alrededor de la media de la muestra, se hace un ajuste para centrar el intervalo alrededor de la media original.
2. Cálculo
- Calculamos la media original de la muestra.
- Ajustamos los percentiles obtenidos del Método 1 utilizando la fórmula 2 * media - percentiles.
\[ \text{Método 2} \]
\[ (2\bar{X} - P_{97.5}, 2\bar{X} - P_{2.5}) \]
# Método 2: Cálculo del intervalo de confianza ajustado
media <- mean(datos)
metodo2 <- c(2 * media - percentiles[2], 2 * media - percentiles[1])| Percentil | Valor | |
|---|---|---|
| 97.5% | 2.5% | 4.559929 |
| 2.5% | 97.5% | 6.320179 |
3. Interpetración
Este intervalo de confianza ajustado proporciona una perspectiva adicional sobre la variabilidad de la media poblacional, ajustando el intervalo bootstrap para centrarse en torno a la media original de la muestra.
Análisis y Conclusiones
1. Distribución de Medias Bootstrap
El histograma muestra cómo se distribuyen las medias de las muestras bootstrap. La forma de esta distribución indica la variabilidad y la tendencia central de las medias estimadas.
2. Intervalos de Confianza
- Líneas púrpura (Método 1): Marcan los percentiles 2.5 y 97.5 de la distribución de medias bootstrap. Estos intervalos proporcionan una estimación directa de la variabilidad en la media.
- Líneas azules (Método 2): Representan el intervalo ajustado para la media original. Esto puede proporcionar una visión más centrada en la media de la muestra original.
| Método | Límite.Inferior | Límite.Superior | |
|---|---|---|---|
| 2.5% | Método 1 (Percentiles Directos) | 4.748393 | 6.508643 |
| 97.5% | Método 2 (Ajuste Basado en la Media Original) | 4.559929 | 6.320179 |
Método 1 (Percentiles Directos):
- Límite
Inferior: 4.7483929
- Límite Superior: 6.5086429
Método 2 (Ajuste Basado en la Media Original):
- Límite Inferior: 4.5599286
- Límite Superior: 6.3201786
Conclusiones
- La media de eficiencia de la gasolina en los 6 camiones sin importar las veces que se replique presenta una distribución normal.
- Se puede encontrar un intérvalo de confianza confiable a partir de un tamaño de muestra pequeño; cuando no se conoce la distribución de los datos, se puede construir la distribución (distribución empírica) que es lo que se hizo al replicar la información mil veces.
- Tanto el Método 1 como el Método 2 ofrecen estimaciones útiles de los intervalos de confianza para la media de eficiencia de combustible. Ambos métodos demuestran ser herramientas efectivas en la evaluación de la incertidumbre en la estimación de la media, especialmente en casos de muestras pequeñas y distribuciones desconocidas.
- Los intervalos de confianza bootstrap proporcionan una estimación robusta de la media poblacional en ausencia de información sobre la distribución subyacente. Sin embargo, con una muestra original pequeña (n = 7), los intervalos pueden ser amplios, reflejando una alta variabilidad en la estimación de la media.
- La diferencia entre los métodos puede ser pequeña o significativa, dependiendo de la variabilidad en los datos y el ajuste aplicado en el Método 2. En este caso específico, los métodos ofrecen una comprensión complementaria de la incertidumbre en la estimación de la media.