Problema 1: Estimación del valor de π

Introducción

En este análisis, estimaremos el valor de \(\pi\) utilizando una simulación basada en la proporción de puntos dentro de un círculo inscrito en un cuadrado. La técnica consiste en generar puntos aleatorios dentro de un cuadrado y contar cuántos de ellos caen dentro de un círculo inscrito en el cuadrado.

Método

Generamos puntos aleatorios \((X_i, Y_i)\) en el intervalo \([0, 1]\) y calculamos si están dentro del círculo inscrito utilizando la distancia al centro del círculo. Estimamos \(\pi\) a partir de la fracción de puntos dentro del círculo.

library(ggplot2)

estimar_pi_con_visualizacion <- function(n) {
  # Generar n puntos aleatorios para X e Y en el intervalo [0, 1]
  x <- runif(n, min = 0, max = 1)
  y <- runif(n, min = 0, max = 1)
  
  # Calcular si los puntos están dentro del círculo
  dentro_circulo <- (x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 <= 0.25
  
  # Estimar pi
  estimacion_pi <- 4 * sum(dentro_circulo) / n
  
  # Crear un dataframe con los puntos y la etiqueta de si están dentro del círculo
  datos <- data.frame(x = x, y = y, dentro = dentro_circulo)
  
  # Graficar los puntos
  plot <- ggplot(datos, aes(x = x, y = y)) +
    geom_point(aes(color = dentro), size = 1, alpha = 0.6) +
    scale_color_manual(values = c("white", "black")) +  # Blanco para fuera del círculo, negro para dentro
    coord_fixed() +  # Mantener la proporción 1:1
    labs(title = paste("Simulación de", n, "puntos"),
         subtitle = paste("Estimación de pi:", round(estimacion_pi, 4)),
         x = "X", y = "Y") +
    theme_minimal() +
    theme(legend.position = "none")
  
  # Mostrar el gráfico
  print(plot)
  
  return(estimacion_pi)
}

# Simulación con diferentes tamaños de muestra
pi_estimado_1000 <- estimar_pi_con_visualizacion(1000)

pi_estimado_10000 <- estimar_pi_con_visualizacion(10000)

pi_estimado_100000 <- estimar_pi_con_visualizacion(100000)

pi_estimado_1000
## [1] 3.168
pi_estimado_10000
## [1] 3.136
pi_estimado_100000
## [1] 3.14132

Conclusiones

El proceso de estimación de \(\pi\) mediante simulación de Monte Carlo ofrece una visión clara de cómo las técnicas de muestreo aleatorio pueden ser utilizadas para estimar constantes matemáticas fundamentales. Los resultados obtenidos muestran cómo la precisión de la estimación de \(\pi\) mejora significativamente con el aumento del número de puntos en la simulación.

Evaluación de la Estimación

  • Con 1000 puntos: La estimación de \(\pi\) muestra una variabilidad considerable, y el error en la estimación puede ser de aproximadamente 0.05 o más. Este nivel de error es consistente con la intuición de que un tamaño de muestra relativamente pequeño no captura con precisión la fracción del área del círculo dentro del cuadrado.

  • Con 10000 puntos: La estimación mejora considerablemente en comparación con la simulación de 1000 puntos. La mayor cantidad de datos reduce el error y proporciona una estimación más cercana al valor real de \(\pi\). A este tamaño de muestra, el error se reduce y la estimación se vuelve más confiable.

  • Con 100000 puntos: La estimación de \(\pi\) con 100000 puntos muestra una alta precisión, con una estimación que está muy cerca del valor verdadero de \(\pi\). Este resultado destaca la relación entre el tamaño de la muestra y la precisión de la estimación, validando la teoría de que un mayor número de puntos reduce la variabilidad en la estimación y se acerca más al valor real.

Visualización

La visualización gráfica de los puntos dentro y fuera del círculo proporciona una representación intuitiva de cómo se distribuyen los puntos y cómo se calcula la proporción de puntos dentro del círculo. La visualización ilustra claramente el concepto de estimar el área del círculo a partir del área del cuadrado y cómo esta proporción se relaciona con la estimación de \(\pi\). A medida que el número de puntos aumenta, la región negra (puntos dentro del círculo) se aproxima más a la fracción esperada del área del círculo en el cuadrado.

Reflexión sobre el Método

El método de estimación de \(\pi\) mediante simulaciones es un ejemplo clásico de cómo los métodos estadísticos y de simulación pueden ser utilizados para abordar problemas matemáticos complejos. Este enfoque no solo proporciona una estimación de \(\pi\) sino que también sirve como una herramienta educativa poderosa para ilustrar conceptos como el muestreo aleatorio y la estimación por simulación. La mejora en la precisión con el aumento del tamaño de la muestra también subraya la importancia del tamaño de la muestra en la reducción de errores de estimación y en la obtención de resultados más confiables.

En resumen, la simulación de Monte Carlo demuestra ser una técnica efectiva para la estimación de constantes matemáticas, y los resultados obtenidos con tamaños de muestra grandes ofrecen una aproximación muy cercana al valor verdadero de \(\pi\). Este análisis no solo valida la técnica utilizada, sino que también resalta la importancia de la cantidad de datos en la precisión de las estimaciones.