Código
# Datos de letra
Ex <- function(b,q){b*q}
Vx <- function(b,q){b^2*q*(1-q)}Tarea 2
Seguros Generales y Modelos de Riesgo
Ejercicio 1
Primero, defino las funciones de esperanza y varianza indicadas en el ejercicio:
Luego, sabiendo que \(b=10\) y \(q=0.05\), sustituyo para calcular la esperanza X:
Código
# Esperanza de X:
Ex(b = 10,q = 0.05)[1] 0.5Lo mismo para la varianza de X:
Código
# Varianza de X:
Vx(b = 10,q = 0.05)[1] 4.75Ejercicio 2
Dado que el monto por reclamaciones no es fijo, sino que es una variable aleatoria, para calcular la esperanza de la variable aleatoria \(X\), definida como \(X=IB\) debemos hallar:
\[ E(X)=E(E(X|I)) \]
Donde \(I\) es una variable aleatoria indicadora del evento “ocurre una reclamación” con probabilidad \(q\).
Cuando \(I=0\), entonces \(E(X| I=0)=0\) (si no hay reclamaciones la indemnización es cero), mientras que, cuando \(I=1\):
\[ E(X|I=1)=E(B|I=1)= E(B) \]
En nuestro caso, \(B = Uniforme(0,20)\), entonces \(E(B|I=1)= (0+20)/2=10\)
Por lo tanto, sabiendo que la variable aleatoria \(I\) sigue una distribución \(Ber(q)\):
\[ E(X|I)= 10*I \] \[ E(E(X|I))=E(10*I)=10*E(I)=10*q \]
Como \(q=0.05\), entonces:
\[ E(X)=10*0.05=0.5 \]
Para la varianza, debemos calcular:
\[ V(X) =V(E(X|I))+E(V(X|I)) \]
Del resultado anterior, tenemos que:
\[ V(E(X|I))=V(10*I)=10^2*V(I)=100*q(1-q) \]
Por lo tanto, \(V(E(X|I))=\) 4.75
Nuevamente, para \(I=0\), \(V(X|I=0)=0\). Para \(I=1\):
\[ V(X|I=1)=V(B|I=1)=V(B) \]
\(V(X|I)=V(B)*I\)
Para calcular \(V(X)\), necesitamos calcular \(E(V(X|I))\):
\(E(V(X|I)=E(V(B)*I)=V(B)*E(I)= V(B)*q=\) 1.6666667
Finalmente:
\(V(X)=100*q*(1-q)+V(B)*q=\) 6.4166667
Ejercicio 3
La variable aleatoria \(X\) sigue una distribución \(Binomial(0.5,5)\), donde:
\(E(X)=0.5*5=\) 2.5
\(V(X)=5*0.5*0.5=\) 1.25
Para calcular \(E(Y|X)\) debemos considerar que \(Y\) representa la cara de un dado si \(X=1\), la suma de las caras de dos dados si \(X=2\), etc. Considerando que cada lanzamiento de un dado justo sigue una distribución \(Uniforme(1,6)\), y teniendo en cuenta que cada lanzamiento es independiente, el valor esperado de la suma condicionado a \(X\):
\(E(Y|X=x)=x*E(cara.dado.justo)=x*\) 3.5
Utilizando \(E(Y)=E(E(Y|X))\):
\(E(E(Y|X))=E(x*\) 3.5 \()=E(X)*\) 3.5 = 8.75
Respecto a la varianza condicional de Y:
\(V(Y∣X=x)=x⋅V(cara.dado.justo)=x*\) 2.91667
\(V(Y|X)=E(V(Y|X))+V(E(Y|X))=E(X*\) 2.91667 \()+V(X*\) 3.5 \()=\) 22.604175
Ejercicio 4
En este caso \(X\) sigue una distribución \(Uniforme(1,6)\). Como ya se mencionó para la parte anterior:
\(E(X)=\) 3.5
\(V(X)= \frac{6^2-1}{12}=\) 2.91667
Para calcular \(E(Y|X)\) debemos considerar que \(Y\) representa la cantidad de caras obtenidas en X lanzamientos de una moneda. Considerando que cada lanzamiento de una moneda sigue una distribución \(Bernoulli(0.5)\), y teniendo en cuenta que cada lanzamiento es independiente, el valor esperado de la suma condicionado a \(X\):
\(E(Y|X=x)=x*E(lanzamiento.moneda)=x*0.5\)
Utilizando \(E(Y)=E(E(Y|X))\):
\(E(E(Y|X))=E(x*0.5)=E(X)*0.5=\) 1.75
Respecto a la varianza condicional de Y:
\(V(Y∣X=x)=x⋅V(lanzamiento.moneda)=x*\) 0.25
\(V(Y|X)=E(V(Y|X))+V(E(Y|X))=E(X* 0.25)+V(X*0.5 )=\) 1.6041675
Ejercicio 5:
En este caso \(X\) sigue una distribución \(Uniforme(1,6)\). Como ya se mencionó para la parte anterior:
\(E(X)=\) 3.5
\(V(X)= \frac{6^2-1}{12}=\) 2.91667
\(E(Y|X=x)=x*E(cara.dado.justo)=x*\) 3.5
Utilizando \(E(Y)=E(E(Y|X))\):
\(E(E(Y|X))=E(x*\) 3.5 \()=E(X)*\) 3.5 = 12.25
Respecto a la varianza condicional de Y:
\(V(Y∣X=x)=x⋅V(cara.dado.justo)=x*\) 2.91667
\(V(Y|X)=E(V(Y|X))+V(E(Y|X))=E(X*\) 2.91667 \()+V(X*\) 3.5 \()=\) 45.9375525
Ejercicio 6
La variable aleatoria \(X\) representa el daño de la estructura en un periodo dado. Considerando la variable \(D\) que se distribuye \(Uniforme(0,b)\). siendo \(b\) el daño total en caso de incendio. La probabilidad de que ocurra un incendio se puede representar a través de una indicadora \(I\) con distribución \(Bernonulli(0.02)\).
El valor esperado del daño de un incendio en el periodo dado puede determinarse por:
\(E(X)=E(E(X|I))\)
Sabemos que \(E(X|I=0)=0\), y que \(E(X|I=1)=E(D)*I\). Por lo tanto:
\(E(X|I)=E(D)*I\)
\(E(E(X|I))=E(E(X)*I)=E(D)*0.02=\frac{b}{2}*0.02\)
\(E(X)=0.01*b\)
Para calcular la varianza, necesitamos hallar:
\(V(X)=V(E(X|I))+E(V(X|I))\)
\(V(E(X|I))=V(E(D)*I)=E(D)^2*V(I)=E(X)^2*0.02(0.98)=\) 0.0196 \(\frac{b^2}{4}\)
\(E(V(X|I))=E(V(X)*I)=V(D)*q=\frac{b^2}{12}*0.02\)
\(V(X)=\) 0.0065667 \(*b^2\)
Ejercicio 7
Parte 1:
Dado que \(N\) representa el total de reclamaciones, y que cada reclamación puede representarse por una variable aleatoria \(I_i\) indicadora con distribución \(Bernoulli(0.04)\) y que cada reclamación es independiente, \(N\) sigue una distribución \(Binomial(160,0.04)\).
Código
n <- 160
p <- 0.04
EN <- n*p
VN <- n*p*(1-p)Por tanto:
\(E(N)=n*p=\) 6.4
\(V(N)=n*p*(1-p)=\) 6.144
Parte 2:
Definimos S como:
\(S=\sum_1^{160} X_i\)
Definimos también a la variable \(Y_i\) que representa el monto de la indemnización dado que existió reclamación (\(I=1\)). \(Y_i\) se distribuye \(Uniforme(0,X_i)\):
\(E(Y_i|I_i=1)=\frac{X_i}{2}\)
Entonces \(S\) puede reescribirse como:
\(S=\sum_1^{160} Y_i*I_i=\sum_1^{160} Y_i*0.04\)
Luego, el valor esperado de S:
\(E(S)= 0.04*(80*10000/2+35*20000/2+25*30000/2+15*50000/2+5*100000/2)\)
\(E(S)=\) 70000