Encuentra la recta de intersección de los planos \(5x-2y-2z=1\) y \(4x+y+z=6\).
Como primer paso, debemos definir si los planos son paralelos, dado que si esto se comprueba, la recta de intersección entre los planos no existe. Para verificar si los planos son paralelos, utilizaremos la propiedad del producto vectorial, que por definición genera un vector ortogonal el plano que contiene a los vectores que lo generan, en caso de que \(\vec{n_1}{\times}\vec{n_2}=0\), es evidencia de que los vectores son paralelos.
Para verificar lo anterior, procederemos a verificar el producto vectorial de los vectores normales de los planos, mismos que estan definidos por \(\vec{n_1}=\begin{pmatrix} 5&-2&-2 \end{pmatrix}\) y \(\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 4&1&1 \end{pmatrix}\), por lo tanto, el producto vectorial se define como sigue:
\[\begin{equation} \vec{n_1}\times\vec{n_2}=\begin{vmatrix} {i} & {j} & {k} \\ 5 & -2 & -2 \\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{equation}\]
Resolviendo el determinante tenemos que \(\vec{n_1}\times\vec{n_2}=-13j+13k\), por lo que se concluye que al ser \(\vec{n_1}\times\vec{n_2}\neq0\), los vectores no son paralelos.
En este paso, se debe indentificar un punto de intersección en común para ambos planos, es decir, un punto en el que ambos compartan una ubicación definida en el espacio, misma que puede ser, para fines prácticos, una intersección en algún eje coordenado, sin distinción de alguno en especial. Para este ejemplo, consideraremos la interseccón que se genera al cortar ambos planos el plano \(xy\), para esto, es requisito considerar que \(z=0\) en ambas ecuaciones del plano, así que, sustituyendo dicho valor en ambas ecuaciones generamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
\[\begin{matrix} 5x-2y=1 \\ 4x+y=6 \end{matrix}\]De la segunda ecuacion, despejamos a \(y\), quedando de la siguiente manera:
\[\begin{equation} y=6-4x \end{equation}\]
Sustituyendo la ecuación anterior en la primera ecuación, tenemos:
\[\begin{matrix} 5x-2(6-4x)=1\\ 5x-12+8x=1\\ 13x-12=1\\ 13x=1+12\\ 13x=13\\ x=\dfrac{13}{13}\\ x=1 \end{matrix}\]Sustituyendo \(x=1\) en \(y=6-4x\), se define que:
\[\begin{matrix} y=6-4(1)\\ y=6-4\\ y=2 \end{matrix}\]Por lo tanto, el punto de intersección entre ambos planos esta en la coordenada \(P\begin{pmatrix} 1& 2&0 \end{pmatrix}\).
Dado que para establecer las ecuaciones paramétricas de la recta se requiere de un punto y un vector paralelo a la trayectoria, consideraremos al punto \(P\begin{pmatrix} 1& 2&0 \end{pmatrix}\) definido anteriormente y al vector que es ortogonal a ambos planos, es decir, el producto vectorial de los vectores normales asociados a los planos, mismo que se definió en el punto 1.1 para definir si los vectores son paralelos, es decir, usaremos a \(\vec{v}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=-13j+13k\)
Considerando lo anterior, es posible definir a las ecuaciones paramétricas de la recta como:
\[\begin{matrix} x=1 & y=2-13t & z=13t \end{matrix}\]Para grafica los resultados, utilizaremos la librería Plotly del lenguaje R, con el siguiente código:
library(plotly)
library(dplyr)
# Crear una malla de puntos para los planos
x_vals=seq(-10,10,length.out=100)
y_vals=seq(-10,10,length.out=100)
plano.1=expand.grid(x=x_vals,y=y_vals)
plano.2=expand.grid(x=x_vals,y=y_vals)
# Definir las ecuaciones de los planos
plano.1$z=-(1-5*plano.1$x+2*plano.1$y)/2
plano.2$z=6-4*plano.2$x-plano.2$y
# Generar puntos puntos para la recta de intersección
t_vals=seq(-10,10,length.out=100)
linea=data.frame("Parametro"=t_vals,"x"=1+0*t_vals,"y"=2-13*t_vals,"z"=13*t_vals)
# Crear la gráfica
p = plot_ly() %>%
add_surface(
x=matrix(plano.1$x,nrow=100),
y=matrix(plano.1$y,nrow=100),
z=matrix(plano.1$z,nrow=100),
colorscale="Viridis",
showscale=FALSE,
name="Plano 1") %>%
add_surface(
x=matrix(plano.2$x,nrow=100),
y=matrix(plano.2$y,nrow=100),
z=matrix(plano.2$z,nrow=100),
colorscale="Magma",
showscale=FALSE,
name="Plano 2"
) %>%
add_trace(
x=linea$x,
y=linea$y,
z=linea$z,
mode="lines",
type="scatter3d",
line=list(color="red",width=5),
name="Recta de interseccion entre planos"
) %>%
layout(
title="Intersección entre planos",
scene=list(xaxis=list(title="x",range=c(-10,10),dtick=5),
yaxis=list(title="y",range=c(-10,10),dtick=5),
zaxis=list(title="z",range=c(-10,10),dtick=5),
width = 1000,
height = 700)
)
p