Ejercicio #4

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗2,X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯ , obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5 . Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5) Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. ¿Confiaría en estas estimaciones?

Nota - funciones recomendadas : sample() , apply(), quantile() - las muestras bootstrap se pueden obtener a partir de muestreo aleatorio con repetición (o tambien llamado con sustitución)

Desarrollo del Ejercicio:

A continuación se presentan los datos de la muestra de eficiencia de combustible:

muestra_inicial <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
n <- length(muestra_inicial)
k <- 1000

A continuación se generaran muestras bootstrap

muestra_generada <- replicate(k, sample(muestra_inicial, size = n, replace = TRUE))

Se genera la media de la muestra obtenida

 media_muestra_generada <- apply(muestra_generada, 2, mean)

Uso del Metodo 1: Percentiles 2.5 y 97.5

 metodo1 <- quantile(media_muestra_generada, c(0.025, 0.975))

Uso del Metodo 2: Intervalo centrado en la media de la muestra original

 valor_media_muestra <- mean(muestra_inicial)
metodo2 <- c(2 * valor_media_muestra - metodo1[2], 2 * valor_media_muestra - metodo1[1])

Resultados de los intervalos de confianza

metodo1
##     2.5%    97.5% 
## 4.717107 6.434286
metodo2
##    97.5%     2.5% 
## 4.634286 6.351464
hist(media_muestra_generada, las=1, main="Distribución de medias con IC calculados por método 1 y 2 ", ylab = " ", xlab = "Medias", col="#039483")
abline(v=metodo1, col="#FF7F00",lwd=2)
abline(v=metodo2, col="#c714a3",lwd=2)
legend("topright", legend = c("IC Método 1", "IC Método 2"), col = c("#FF7F00", "#c714a3"), lwd = 2)

CONCLUSIONES

El uso de bootstrap permite calcular intervalos de confianza sin asumir una distribución específica de los datos, lo cual es valioso cuando no se conoce la distribución de la población, siempre y cuando se cumplan el número de muestras requeridos se puede confiar en estos resultados, Ambos métodos presentados ofrecen intervalos de confianza válidos y la elección entre ellos puede depender de la suposición sobre la simetría de la distribución de las medias bootstrap.