\[A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & 6 \\2 & 3 & -3 & 5\end{pmatrix}; B=\begin{pmatrix}1 & -2 & 5 & 8\\4 & -6 & 7 & 3\\2 & 4 & 6 & 9\\-3 & -2 & 10& 1\end{pmatrix}; C=\begin{pmatrix}7 & -3 & 2 & 1\\1 & 4 & 7 & 6\\5 & 6 & 6 & 2\\-7 & -8 & -10& 2\end{pmatrix}; D=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2 & 3\\1 & 8 & 2 & 3\\3 & 21 & 6 & 9\\8 & 2 & 5& 3\end{pmatrix} \]
Thực hiện các phép toán sau (nếu được):
\(3A + 2C.\)
\(4C - 5B.\)
\(CA^T + 3AC.\)
\(2AB - BC.\)
Tính \(|B|,|C|,|D|,|CD|,|2AB - BC|.\)
Tìm \(B^{-1},C^{-1},D^{-1},(BC)^{-1}\) bằng 2 cách.
Tìm hạng của ma trận \(AD, DB - 2C.\)
Tìm ma trận \(X\) sao cho: \(\systeme{2X -3Y = D,X+2Y = -2D}.\)
Tìm ma trận \(X,Y\) sao cho: \(\systeme{B(X+2Y) = C,B(2X - Y)=CB}.\)
\(\systeme{2x+3y=5,x-4y=-3}\)
\(\systeme{2x_1+2x_2-x_3+x_4 = 4,4x_1+3x_2-x_3+2x_4=6,8x_1+5x_2-3x_3+4x_4 = 12,3x_1+3x_2-2x_3+2x_4=6}\)
\(\systeme{3x_1+4x_2+x_3+2x_4 = 3,6x_1+8x_2+2x_3+5x_4=7,9x_1+12x_2+3x_3+10x_4=13}\)
\(\systeme{8x_1-5x_2+17x_3-18x_4=0,2x_1-x_2+6x_3-7x_4 = 0,2x_1-2x_2-x_3+3x_4=0}\)
Trong \(\mathbb{R}^4\), cho \(u=(2,4,-3,m), u_1 =(5,6,2,1),u_2 = (-1,-2,2,3),u_3 =(3,4,2,5)\). Với \(m=3\), \(u\) có là tổ hợp tuyến tính của \(\{u_1,u_2,u_3\}\) không? Tìm \(m\) để u là tổ hợp tuyến tính của \(\{u_1,u_2,u_3\}\).
Trong \(\mathbb{R}^4\), hệ vector \(S =\{u_1= (1,2,-1,2), u_2 = (2,3,0,-1), u_3 = (1,3,-1,0)\}\) có độ lập tuyến tính không?
Trong \(\mathbb{R}^4\), hệ vector \(S =\{u_1= (1,2,-1,2), u_2 = (2,3,0,-1), u_3 = (1,3,-1,0), u_4=(1,2,1,3)\}\) có là tập sinh của \(\mathbb{R}^4\) không?
\(f(x) = x^2\cos(x); A = \mathbb{R}, B = [a,b]\)
\(f(x) = \frac{x^2\cos(x)}{x-4}; a=4, A = \mathbb{R}, B = [2,5], C=[7,9]\)
\(f(x) = \frac{3x^3+2x^2-1}{x^3}; a= 0, A=[-1,2], B=[4,8]\)
\(f(x) = \frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^2-1}; a=1,b=-1,A=[-2,0], B=[-3,3], C=[2,5]\)
\(\lim_{x\to 4}\frac{2x-8}{\sqrt{x-1}-\sqrt{3}}\)
\(\lim_{x\to 1}\frac{2x^2+6x-20}{x^3-3x^2+2x}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-\cos(x)}{x^2}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}\cos(x)}{x^2}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{\ln^2(1+x)-\sin^2(x)}{1-e^{-x^2}}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)-x-\frac{x^3}{3}}{x^4}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)-x^2}{x^4}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x^2}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x^2)}{x^2}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-x^2-1}{x^4}\)
\(\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos(\sqrt{x})-1}{2x}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x-1)}{x^2}\)
\(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x^2)}{x^2}\)
\(\lim_{x\to 2}\frac{e^x-e^2(x-1)}{x^3-4x^2+4x}\)
Xét sự liên tục và tính đạo hàm của hàm số tại \(x_0 = 1/2\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{6x^2+x-2}{2x-1}, & \text{khi } x \ne 1/2\\ \frac{7}{2} & \text{khi } x =1/2 \end{cases}\)
Xét sự liên tục và tính đạo hàm của hàm số tại \(x_0 = 1/2\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{5x^2-7x+2}{x^2-3x+2}, & \text{khi } x=1 \\ 1 & \text{khi } x \ne1 \end{cases}\)
Xét sự liên tục và tính đạo hàm của hàm số tại \(x_0 = 2\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 -4x}{x-2} & \text{khi } x \ne 2\\ 8 & \text{khi } x =2 \end{cases}\)
Xét sự liên tục và tính đạo hàm của hàm số tại \(x_0 = 0\) với \(f(x) = \begin{cases} x^2-e^x & \text{khi } x <0 \\ x-1 & \text{khi } x \ge 0 \end{cases}\)
1.Xét sự liên tục của hàm số tại \(x_0=-1\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+6x+5}{x+1} & \text{khi } x \neq -1 \\ \frac{x^2+x}{e^{x+1}+x}& \text{khi }x = -1 \end{cases}X\)
Xét sự liên tục và tính đạo hàm của hàm số tại \(x_0 = 0\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{x-6}{x-3} & \text{khi } x <0 \\ 2 & \text{khi } x = 0 \\ \sqrt{x^2+4} &\text{khi } x>0 \end{cases}\)
Xét sự liên tục và tính đạo hàm của hàm số tại \(x_0 = 2\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2} & \text{khi } x < 2 \\ 2 & \text{khi } x = 2\\ \frac{e^{x-2}}{x^2-4\cos(x-2)} & \text{khi } x > 2 \end{cases}\)
Tìm \(k\) để hàm \(f(x)\) liên tục và tính đạo hàm tại \(x_0= 1\) với \(f(x) = \begin{cases} 2x^2+4x & \text{khi } x\ge 1\\ -x+k & \text{khi } x <1 \end{cases}\)
Tìm \(a\) để hàm \(f(x)\) liên tục và tính đạo hàm tại \(x_0= 0\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sin^2(x)-x^2}{x^4} & \text{khi } x= 0\\ a & \text{khi } x \ne 0 \end{cases}\)
Tìm \(k\) để hàm \(f(x)\) liên tục và tính đạo hàm tại \(x_0=\pm 1\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^4-1}{x^2-1} & \text{khi } x\ne \pm 1\\ k & \text{khi } x = \pm 1 \end{cases}\)
Tìm \(a,b\) để hàm \(f(x)\) liên tục và tính đạo hàm tại \(x_0=2\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2} & \text{khi } x>2 \\ ax+b & \text{khi } x \le 2 \end{cases}\)
Tìm \(k\) để hàm \(f(x)\) liên tục và tính đạo hàm tại \(x_0=\pm 1\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} & \text{khi } x\ne \pm 1\\ k & \text{khi } x = \pm 1 \end{cases}\)
Tìm \(a\) để hàm \(f(x)\) liên tục và tính đạo hàm tại \(x_0 = 2\) với \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{x-2} & \text{khi } x>2\\ ax^2+4 & \text{khi } x \le 2 \end{cases}\)
Tìm \(a,b\) để hàm \(f(x)\) liên tục và tính đạo hàm tại \(x_0=4\) với \(f(x) = \begin{cases} ax-3 & \text{khi } x\le 4\\ bx+8 & \text{khi } x > 4 \end{cases}\)
Tính \(f'(x)\) với \(f(x) =\left(\frac{\cos(x)}{x^2+1}\right)^x\)
Tính \(f'(x)\) với \(f(x)=\left(x+\frac{\pi}{2} \right)^{\sin(x)}\)
Cho \(y = f(x) = 2+8e^{-x^2}\), chứng minh rằng \(y'+2xy =4x\)
\(\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^3}\)
\(\int_0^{+\infty}xe^{x^{-2}}dx\)
\(\int^0_{-\infty}2^tdt\)
\(\int_1^{+\infty}\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx\)
\(\int_0^{+\infty}x^3e^{-x^2}dx\)
\(\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\)
\(\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx\)
\(\int_0^{+\infty}\frac{1+2x}{e^x}dx\)
\(\int_3^{+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}\)
\(\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2+4x}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{6t^3}{(t^4+1)^2}dt\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx\)
\(\int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}\)
\(\int_1^{+\infty}\frac{1+e^{-x}}{x}dx\)
\(\int_e^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}dx\)
\(\int_1^{+\infty}\frac{x^3 + x}{\sqrt{x^8 -3x^3}}dx\)
\(f(x) = \frac{1}{2x-x^2}, x_0 = 2.\)
\(f(x) = x^6e^{2x^3}, x_0 = 1.\)
\(f(x) = e^x\cos(x), x_0 = \frac{\pi}{3}.\)
\(f(x) = \frac{x^x-e^{-x}}{2}, x_0 = 1.\)
\(f(x) = e^{x^2 - x}, x_0 = 1.\)
\(f(x) = \frac{x^2}{1+x^2}, x_0 = 1.\)
\(f(x) = \arctan(x^2), x_0 = 1\)
\(f(x) = \frac{x+1}{(x-1)(x-2)}\), \(x_0 = 3/2\).
\(f(x) = \ln(\cos(x)), x_=\frac{\pi}{4}\).
\(f(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, x_0 = 1/2\)
\(f(x) = \frac{x}{1+x^2}, x_0 = 2\)
\(f(x) = \sqrt{1+\sin(2x)},x_0=\)
\(f(x) = \frac{x+1}{x^2-5x+6}, x_0 = 2\)
\(f(x) =\frac{x-3}{3x^2+2x-8},x_0=-1\)
\(f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}, x_0 =\frac{\pi}{4}\)
Cho các hàm số sau:
\(f(x,y) =x^2+y62-6x+2y\)
\(f(x,y) =x^2y-x^2-\frac{1}{3}y^3\)
\(f(x,y,x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})\)
\(f(x,y) = \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\)
\(f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+2y^2}\)
\(f(x,y) = \frac{x}{y}\cos(\frac{y}{x})+4x-xy^2\)
\(f(x,y) = \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+y^2}\)
\(f(x,y) = \frac{x^2}{y^2+1}-\frac{y^2}{x^2+1}\)
\(f(x,y) = \cos(x^2 + 2y) - e^{4x - z^4y} + y^3\)
\(f(x,y,z)= 4x^3y^2 - e^zy^4+\frac{z^3}{x^2}+4y-x^{16}\)
\(f(x,y) =x^3e^{-2y}-y-2\sin(x)\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x}\) với điều kiện \(y(1) = 2\)
\(y'=6y^2x\) với điều kiện \(y(1) = \frac{1}{25}\)
\(y'=\frac{3x^2+4x-4}{2y-4}\) với điều kiện \(y(1) = 3\)
\(y'=e^{-y}(2x-4)\) với điều kiện \(y(5) = 0\)
\(y'=\frac{xy^3}{\sqrt{1+x^2}}\) với điều kiện \(y(0) = -1\)
\(y'-\frac{1}{2}y=4\sin(3x)\) với điều kiện \(y(0) = 0\)
\(xy'+2y=x^2-x+1\) với điều kiện \(y(1) = 1\)
\(xy'-2y=x^5\sin(2x)-x^3+4x^4\) với điều kiện \(y(\pi) = \frac{3}{4}\pi^4\)
\(y'+\frac{4}{x}y=x^3y^2\) với điều kiện \(y(2) = -1,x>0\)
\(6y'-2y=xy^4\) với điều kiện \(y(0) = -2\)
\(y'+\frac{y}{x}-\sqrt{y}=0\) với điều kiện \(y(1) = 0\)
Ứng dụng phương trình vi phân: https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Modeling.aspx
Tích phân suy rộng: https://www.youtube.com/watch?v=c4A8n2RkKeQ&t=105s