#Ejercicio 1

Definir los vectores

a <- c(1,2)
b <- c(2,1)
c <- c(-2,1)

Representación en el plano

plot(0, 0, xlim=c(-3, 3), ylim=c(-1, 3), type="n", xlab="X", ylab="Y", asp=1)
abline(h=0, v=0, col="gray")

arrows(0, 0, a[1], a[2], col="red", length=0.1)
arrows(0, 0, b[1], b[2], col="green", length=0.1)
arrows(0, 0, c[1], c[2], col="blue", length=0.1)

legend("topright", legend=c("a = (1, 2)", "b = (2, 1)", "c = (-2, 1)"), 
       col=c("red", "green", "blue"), lty=1)

Calcula los vectores

#a+b
cbind(a+b)
##      [,1]
## [1,]    3
## [2,]    3
#c-b
cbind(c-b)
##      [,1]
## [1,]   -4
## [2,]    0

Calcula la norma de los tres vectores

norm.a <- norm(matrix(a), type = "2")
norm.a
## [1] 2.236068
norm.b <- norm(matrix(b), type = "2")
norm.b
## [1] 2.236068
norm.c <- norm(matrix(c), type = "2")
norm.c
## [1] 2.236068

Calcula los productos escalares

t(a)%*%b
##      [,1]
## [1,]    4
t(b)%*%c
##      [,1]
## [1,]   -3
t(a)%*%c
##      [,1]
## [1,]    0

¿Qué podemos decir de estos productos? Al obtener los productos podemos decir que entre los vectores a y b tienen cierta alineación positiva y que el ángulo entre ellos es menor a 90 grados. Entre los vectores b y c tenemos un producto escalar negativo, lo que significa que estos vectores van en direcciones opuestas. Entre los vectores a y c podemos decir que son perpendiculares y forman un ángulo de 90 grados.

Justifica si los tres vectores son linealmente independientes. Si no lo son, expresa uno cualquiera como combinación lineal de los otros dos. Los vectores son linealmente independientes pero, al haber 3 vectores, el vector c se puede expresar como una combinación lineal de los vectores a y b

#Ejercicio 2

Definir vectores

a1 <- c(1,0,0)
b1 <- c(0,1,0)
c1 <- c(0,0,1)

Coeficientes vector d

coef1 <- 1
coef2 <- 1
coef3 <- 2

Suma

d <- coef1 * a1 + coef2 * b1 + coef3 * c1
print(d)
## [1] 1 1 2

Coseno del ángulo

#a1 y d
num <- t(a1)%*%d
den <- (t(a1)%*%a1)*(t(d)%*%d)

# coseno inverso
acos(num/den)
##          [,1]
## [1,] 1.403348
#b1 y d
num <- t(b1)%*%d
den <- (t(b1)%*%b1)*(t(d)%*%d)

# coseno inverso
acos(num/den)
##          [,1]
## [1,] 1.403348
#c1 y d
num <- t(c1)%*%d
den <- (t(c1)%*%c1)*(t(d)%*%d)

# coseno inverso
acos(num/den)
##          [,1]
## [1,] 1.230959

Dimensión del espacio generado por el vector d

norm.d <- norm(matrix(d), type = c("1","1","2"))
norm.d
## [1] 4

Genera una dimensión del espacio generado de 1

#Ejercicio 3 Cargar la base de datos EUROCALI

EUROCALI <- read.csv("C:/Users/Tania/Downloads/EUROCALI.csv")
View(EUROCALI)

Seleccionar Vectores

CR <- EUROCALI$CR
CB <- EUROCALI$CB

Calcula el producto escalar

t(CR)%*%CB
##         [,1]
## [1,] 1985.45

Coseno del ángulo

num <- t(CR)%*%CB
den <- (t(CR)%*%CR)*(t(CB)%*%CB)

# coseno inverso
acos(num/den)
##          [,1]
## [1,] 1.570404

Seleccionar Austria y Bélgica

A <- EUROCALI[EUROCALI$X == "Austria", 2:10]
B <- EUROCALI[EUROCALI$X == "Belgica", 2:10]

Cambiar a numérico

A <- as.numeric(A)
B <- as.numeric(B)

Calcula el producto escalar

A%*%B
##         [,1]
## [1,] 1410.93

Interpretación El producto escalar es uno positivo el cual indica que la orientación entre los vectores es similar, lo que nos expone que el ángulo entre ellos es menor a 90 grados.

Angulo que forman Austria y Bélgica

num <- t(A)%*%B
den <- (t(A)%*%A)*(t(B)%*%B)

# coseno inverso
acos(num/den)
##          [,1]
## [1,] 1.570116