Problema No. 4 - Estimacción boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1, X∗2, X∗3,…, X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X¯∗1, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Solución

a. Datos de la muestra

datos = c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
datos
## [1] 7.69 4.97 4.56 6.49 4.34 6.24 4.45

A continuación generamos el número de muestras bootstrap que para este ejercicio son k = 1000

# Número de muestras
k = 1000
n = length(datos)

boot=sample(datos,k*n,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,k,n)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)

b. Análisis de resultados

Si se realiza el calculo del intervalo de confianza por medio del metodo de los percentiles P 2.Y y P97.5 se obtienen los siguientes resultados:

ic1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic1
##     2.5%    97.5% 
## 4.721143 6.460250

Con un 95% de confianza, podemos decir que la media de la eficiencia de combustible de la población de camiones, medida en millas por galón, se encuentra entre 4.72 y 6.46.

Por su parte al calcular el intervalo de confianza mediante el método ajustado con la media muestral original, se obtiene que:

ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
ic2
##    97.5%     2.5% 
## 4.588244 6.327351

Con un 95% de confianza, podemos decir que la media de la eficiencia de combustible de la población de camiones, medida en millas por galón, se encuentra entre 4.63 y 6.37

Teniendo en cuenta la gráfica anterior, el intervalo de confianza estimado por el método 2a partir de la media muestral original es menor que el de los percentiles directos. A partir de lo anterior se puede conjeturar que el ajuste basado en la media muestral original influye en la estimación del intervalo de confianza.

Conclusiones

El método bootstrap facilita la estimación estadística al permitir generar y analizar rápidamente varias muestras. En este caso identificamos que a partir de la utilización del lenguaje R se puede aplicar de manera sencilla estos metodos para calucular los estimadores y realizar el proceso de evaluación

A partir de este ejercicio también popdemos concluir que al comparar los dos métodos de estimación de intervalos de confianza, no se identifican diferencias imporantes lo que indica que ambos métodos ofrecen estimaciones similares en cuanto al problema que se desee resolver, que en este caso fue el combustible en los camiones.

Se considera que para seleccionar el método más adecuado se debe contemplar el origen, tamaño y distribución de nuestros datos. Lo anterior para ajustar las herramientas de análisis a las caracteristicas específicas de nuestra data.