Introducción

Este informe aborda las propiedades de estimadores utilizados para estimar el parámetro θ de una distribución exponencial. Evaluaremos insesgadez, eficiencia y consistencia utilizando simulaciones.

Simulaciones y Estimadores

Se simularon muestras de tamaños 20, 50, 100 y 1000 para los siguientes estimadores:

set.seed(123)  # Fijar la semilla para reproducibilidad

# Definir tamaños de muestra
sizes <- c(20, 50, 100, 1000)  # Tamaños de muestra
resultados <- list()  # Lista para almacenar los resultados de los estimadores

# Bucle para las diferentes muestras
for (n in sizes) {
  # Generar muestras aleatorias de una distribución exponencial
  x1 <- rexp(n, 1/20)
  x2 <- rexp(n, 1/20)
  x3 <- rexp(n, 1/20)
  x4 <- rexp(n, 1/20)
  
  # Crear un data frame con los valores generados
  data <- data.frame(x1, x2, x3, x4)
  
  # Calcular los estimadores
  t1 <- (data$x1 + data$x2) / 6 + (data$x3 + data$x4) / 3  # Estimador 1
  t2 <- (data$x1 + 2 * data$x2 + 3 * data$x3 + 4 * data$x4) / 5  # Estimador 2
  t3 <- (data$x1 + data$x2 + data$x3 + data$x4) / 4  # Estimador 3
  minx <- apply(data, 1, min)  # Mínimo
  maxx <- apply(data, 1, max)  # Máximo
  t4 <- (minx + maxx) / 2  # Estimador 4
  
  # Almacenar los resultados de los estimadores
  resultados[[as.character(n)]] <- data.frame(t1, t2, t3, t4)

  # Calcular medias y varianzas para cada estimador
  medias <- apply(resultados[[as.character(n)]], 2, mean)
  varianzas <- apply(resultados[[as.character(n)]], 2, var)
  
  # Almacenar los resultados en un data frame
  df_resultados <- data.frame(
    Tamaño = n,
    Estimador = c("t1", "t2", "t3", "t4"),
    Media = medias,
    Varianza = varianzas
  )
  
  # Mostrar resultados de medias y varianzas de forma organizada
  cat("Resultados para n =", n, "\n")
  print(df_resultados)
  cat("-----------------------------\n")
  
  # Graficar los resultados
  boxplot(resultados[[as.character(n)]], 
          main=paste("Boxplot de Estimadores para n =", n), 
          ylab="Estimadores", 
          col=c("red", "blue", "green", "yellow"))
  abline(h = 20, col = "red", lty = 2)  # Línea horizontal representando theta
  Sys.sleep(2)  # Pausa para apreciar el gráfico, eliminar si no es necesario
}
Resultados para n = 20 
   Tamaño Estimador    Media  Varianza
t1     20        t1 20.70849 108.85332
t2     20        t2 40.87918 350.75080
t3     20        t3 20.34258  79.43927
t4     20        t4 24.01576 208.29069
-----------------------------

Resultados para n = 50 
   Tamaño Estimador    Media  Varianza
t1     50        t1 20.62452  81.27212
t2     50        t2 41.29552 338.92327
t3     50        t3 20.42986  70.31238
t4     50        t4 22.74067 101.77557
-----------------------------

Resultados para n = 100 
   Tamaño Estimador    Media  Varianza
t1    100        t1 19.95910 108.65853
t2    100        t2 40.43760 440.94993
t3    100        t3 19.92940  96.07281
t4    100        t4 23.37645 141.99101
-----------------------------

Resultados para n = 1000 
   Tamaño Estimador    Media Varianza
t1   1000        t1 20.07867 117.6456
t2   1000        t2 40.11632 508.8401
t3   1000        t3 20.10106 110.0337
t4   1000        t4 23.49835 169.1580
-----------------------------

# Graficar los resultados
  boxplot(resultados[[as.character(n)]], 
          main=paste("Boxplot de Estimadores para n =", n), 
          ylab="Estimadores", 
          col=c("red", "blue", "green", "yellow"))
  abline(h = 20, col = "red", lty = 2)  # Línea horizontal representando theta

Conclusiones del Informe sobre Estimadores para el Parámetro ( )

Este informe evaluó las propiedades de varios estimadores en relación con el parámetro ( ) de una distribución exponencial, analizando su insesgadez, eficiencia y consistencia a través de simulaciones con diferentes tamaños de muestra.

A continuación, se presentan las conclusiones clave:

1. Insesgadez de los Estimadores

Definición: La insesgadez se refiere a que la media del estimador debe ser igual al verdadero valor del parámetro ( ). Resultados: Estimador ( t3 ) mostró la mejor insesgadez, promediando más cerca de ( = 20 ) en la mayoría de las simulaciones. Estimador ( t1 ) también presentó buenas características de insesgadez, aunque con medias ligeramente superiores. **Estimador ( t2 *)** y Estimador ( t4 ) mostraron mayores desviaciones de ( ), indicando menos confiabilidad en su insesgadez.

2. Eficiencia de los Estimadores

Definición: La eficiencia se mide por la varianza del estimador; un estimador más eficiente tiene menor varianza.

Resultados:

Estimador ( t3 ) no solo presentó la mejor insesgadez, sino que también exhibió la menor varianza en casi todos los tamaños de muestra, lo que lo hace más eficiente. **Estimador *( t1 ) mostró varianzas competitivas, mientras que Estimador ( t2 ) tuvo la mayor varianza, especialmente en muestras pequeñas, lo que sugiere que es menos eficiente. Estimador ( t4 )** tuvo varianzas intermedias, pero su inconsistencia en los resultados sugiere que su eficiencia podría ser comprometida.

3. Consistencia de los Estimadores

Definición: La consistencia indica que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, el estimador converge en probabilidad al valor real del parámetro.

Resultados: Todos los estimadores muestran un comportamiento consistente, convergiendo a ( ) con el aumento del tamaño de la muestra.

Los resultados mostraron que, especialmente para ( n = 1000 ), los estimadores se acercaron al valor real, lo que respalda su consistencia.

4. Impacto del Tamaño de Muestra en la Estimación

Los diferentes tamaños de muestra demostraron tener un efecto significativo en la precisión y confiabilidad de las estimaciones.

Las simulaciones con ( n = 20 ) presentaron mayores variabilidades en las medias y varianzas, mientras que ( n = 1000 ) permitió una aproximación más cercana al verdadero valor de ( ).

Este comportamiento resalta la importancia de seleccionar un tamaño de muestra adecuado para estimaciones precisas.

5. Recomendaciones Sobre el Estimador a Usar

Estimador más adecuado: Estimador ( t3 ), por su insesgadez y eficiencia (menor varianza), es recomendado como el mejor para estimar el parámetro ( ).

Observaciones de otros estimadores:

Estimador ( t1 ) es apropiado, pero su media es consistentemente más alta. Estimador ( t2 ) es el menos confiable debido a sus altas varianzas y sesgo. Estimador ( t4 ) mostro resultados inconstantes y no se recomienda para este propósito.

Conclusión General

Las simulaciones y análisis patrón del informe reflejan la importancia del tamaño de muestra y la elección del estimador en la inferencia estadística. La selección del estimador adecuado y el tamaño de la muestra contribuyen significativamente a la precisión y confiabilidad de las estimaciones en cualquier análisis estadístico. En este ejercicio, el estimador ( t3 ) emergió como la mejor opción para estimar el parámetro ( ) de la distribución exponencial.