Introducción

En este informe, se describe un método de estimación del valor de \(\pi\) . Se generarán puntos aleatorios dentro de un cuadrado y se determinará cuántos de estos puntos se encuentran dentro de un círculo inscrito en el cuadrado.

Código de la Simulación

A continuación, se presenta el código utilizado para realizar la simulación y estimar el valor de \(\pi\)

Estimaciòn de \(\pi\)

estimacion_pi <- function(n) {
  # Genera n coordenadas x e y aleatorias
  x <- runif(n, min = 0, max = 1)
  y <- runif(n, min = 0, max = 1)

  # Calcula la distancia al centro (0.5, 0.5)
  dentro_circulo <- (x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 < 0.25
  
  # Cuántos puntos están dentro del círculo
  puntos_en_circulo <- sum(dentro_circulo)
  
  # Estimación de π
  pi_estimado <- (puntos_en_circulo / n) * 4
  
  # Graficar puntos
  plot(x, y, col = ifelse(dentro_circulo, "red", "blue"), pch = 16, 
       xlab = "X", ylab = "Y", 
       xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 1), 
       main = paste("Estimación de π: ", pi_estimado))
  symbols(0.5, 0.5, circles = 0.5, inches = FALSE, add = TRUE, bg = "transparent", lwd = 2,  col = "green")
  
  return(pi_estimado)
}
  
# Estimaciones para diferentes valores de n
set.seed(123) # Para frenar la reproducibilidad
n1 <- 1000
n2 <- 10000
n3 <- 100000

estimacion_1000 <- estimacion_pi(n1)

estimacion_10000 <- estimacion_pi(n2)

estimacion_100000 <- estimacion_pi(n3)

Resultados

cat("Estimación de π con", n1, "puntos:", estimacion_1000, "\n")
Estimación de π con 1000 puntos: 3.2 
cat("Estimación de π con", n2, "puntos:", estimacion_10000, "\n")
Estimación de π con 10000 puntos: 3.1528 
cat("Estimación de π con", n3, "puntos:", estimacion_100000, "\n")
Estimación de π con 1e+05 puntos: 3.144

Conclusiones

La estimación de \(\pi\) se basa en la relación entre el número de puntos dentro del círculo y el total de puntos generados en el cuadrado. A medida que el número de puntos aumenta, la estimación se aproxima más al valor real de \(\pi\). Esto es consistente con la teoría de Monte Carlo, donde mayor número de simulaciones tienden a ofrecer mejores aproximaciones.

En este caso:

  • Con 1000 puntos, la estimación fue de 3.2000, lo que muestra un margen de error significativo en comparación con el valor real de π.
  • Con 10,000 puntos, la estimación se mejoró a 3.1528, aún con un error notable.
  • Finalmente, con 100,000 puntos, se obtuvo una estimación de 3.1440, que se acerca más al valor real.

Estos resultados confirman que el uso de más puntos en la simulación mejora la precisión de la estimación de π. Para futuras simulaciones, podría ser beneficioso usar un número aún mayor de puntos para alcanzar una estimación más precisa.