Pacotes utilizados

library(tidyverse)
library(ggplot2)
library(forecast)
library(tseries)
library(urca)
library(zoo)
library(knitr)
library(kableExtra)

Introdução

O Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) é um dos principais indicadores econômicos utilizados no Brasil para medir a inflação, refletindo as variações nos preços de um conjunto de bens e serviços consumidos pelas famílias. Dada sua importância, a previsão do IPCA é fundamental para a tomada de decisões por parte de governos, empresas e investidores.

Este relatório tem como objetivo realizar a previsão do IPCA para o mês de agosto de 2024, utilizando o modelo de Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA), um dos modelos mais robustos para a análise de séries temporais. O modelo ARIMA é amplamente utilizado em econometria devido à sua capacidade de capturar padrões históricos de dados e projetá-los no futuro.

Os dados utilizados para esta análise são apresentados na forma de números índices, com bases diferentes para cada série temporal: uma com base no ano de 2003, outra em 2012, e outra em 2016. As séries temporais contêm, respectivamente, 259, 150 e 100 observações. Cada uma dessas séries será analisada individualmente, com a verificação de suas propriedades estatísticas, a estimativa de modelos ARIMA e, finalmente, a projeção do IPCA para o período de interesse.

Metodologia

A metodologia deste trabalho está centrada na utilização do modelo ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) para prever o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) para o mês de agosto de 2024. O modelo ARIMA é amplamente reconhecido por sua capacidade de modelar séries temporais não estacionárias e capturar padrões de longo prazo em dados históricos, tornando-o uma escolha robusta para previsões econômicas.

1. Carregamento e Preparação dos Dados

Inicialmente, os dados utilizados no estudo são apresentados como números índices com diferentes bases temporais (2003, 2012 e 2016), correspondendo a séries temporais com 259, 150 e 100 observações, respectivamente. Cada série temporal é carregada e transformada em um objeto de série temporal no R, o que permite a aplicação dos métodos de análise de séries temporais subsequentes.

2. Verificação de Estacionariedade

Uma etapa crítica na modelagem ARIMA é garantir que a série temporal seja estacionária, ou seja, que suas propriedades estatísticas, como média e variância, sejam constantes ao longo do tempo. Para verificar a estacionariedade das séries temporais, o teste de Dickey-Fuller aumentado (ADF) é aplicado. Caso a série não seja estacionária, é aplicada uma diferenciação à série até que a estacionariedade seja alcançada.

3. Decomposição da Série Temporal

As séries temporais são decompostas em componentes sazonais, de tendência e aleatórios, utilizando tanto a decomposição aditiva quanto a multiplicativa. A decomposição ajuda a entender melhor as características subjacentes das séries temporais e a identificar padrões que podem ser capturados pelo modelo ARIMA.

4. Análise das Funções de Autocorrelação (ACF) e Autocorrelação Parcial (PACF)

As funções de autocorrelação (ACF) e autocorrelação parcial (PACF) são analisadas para a série temporal e sua versão diferenciada. Essas funções ajudam a identificar a ordem dos componentes autoregressivos (AR) e de médias móveis (MA) do modelo ARIMA, fornecendo insights sobre a estrutura temporal dos dados.

5. Estimativa dos Modelos ARIMA

Com base nas análises anteriores, diferentes especificações do modelo ARIMA são estimadas para cada série temporal. A função ARIMA no R é utilizada para ajustar o modelo, e os resíduos são analisados para verificar a adequação do modelo. São testados diferentes valores para as ordens \(p\), \(d\) e \(q\) do modelo ARIMA, onde:

\(p\) representa a ordem do componente autoregressivo (AR);
\(d\) representa o grau de diferenciação necessário para tornar a série estacionária;
\(q\) representa a ordem do componente de médias móveis (MA).

6. Avaliação do Modelo e Previsão

Após a estimativa, o modelo é avaliado quanto à sua capacidade preditiva por meio da análise dos resíduos e testes de diagnóstico como o teste de Box-Pierce. O modelo final é então utilizado para prever o IPCA para o mês de agosto de 2024. As previsões geradas pelo modelo ARIMA serão analisadas, e a precisão do modelo será avaliada para cada conjunto de dados.

7. Interpretação e Discussão dos Resultados

Por fim, as previsões obtidas são comparadas e interpretadas no contexto econômico atual.

Modelo ARIMA com 259 observações

Carregamento e preparação dos dados

ipca_259 <- read.table("~/Econometria/dados/Ipca_index.txt", header = TRUE)

ipca_ts <- ts(ipca_259$ipca_base_2003, frequency = 12, start = c(2003, 1))

Visualização gráfica

Verificação de Estacionariedade

Iremos, agora, verificar a estacionariedade da série

## Resumo do Teste de Dickey-Fuller Aumentado:

## Estatística de Teste: -3.1808

## Valores Críticos (1%, 5%, 10%): -3.98, -3.42, -3.13

## A série é estacionária ao nível de 5% de significância: Não

## 
## Após a Diferenciação:
## Estatística de Teste: -8.0905 
## Valores Críticos (1%, 5%, 10%): -3.98, -3.42, -3.13 
## A série é estacionária ao nível de 5% de significância: Sim

O teste de Dickey-Fuller Aumentado foi aplicado para verificar a estacionariedade da série temporal do IPCA.

Inicialmente, a série não se mostrou estacionária ao nível de 5% de significância, indicando a presença de uma raiz unitária.

Para corrigir essa condição, foi aplicado a diferenciação da série. Após a diferenciação, o teste indicou que a série passou a ser estacionária, o que permite a aplicação do modelo ARIMA de forma adequada.

Decomposição da Série

Análise da ACF e PACF

A análise da função de autocorrelação (ACF) revela uma queda acentuada após o primeiro lag. Esse comportamento sugere que um modelo ARIMA com um componente de média móvel (q) pequeno, possivelmente q = 1, pode ser o mais adequado para capturar as dependências temporais presentes na série.

A função de autocorrelação parcial (PACF) apresenta cortes em alguns lags, mas a maioria dos valores está dentro dos limites de significância. Isso indica que a ordem do componente autoregressivo (p) provavelmente deve ser 1 ou 2, o que permitirá ao modelo capturar de forma eficiente as influências passadas na série temporal.

Estimando o modelo ARIMA

Modelo ARIMA(1,1,1)

## 
## Modelo ARIMA(1,1,1)
## Coeficientes:
##        ar1        ma1 
##  0.6445572 -0.9999997 
## Valores t:
##      ar1      ma1 
##  12.3258 -62.2349 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]      [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 1.5939130 2.8944183 19.6902796 22.8160125 24.1379373
## p.value             0.8098857 0.9408075  0.2344954  0.2979188  0.4537326
##                           [,6]
## statistic.X-squared 36.7105400
## p.value              0.4357571
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                     ME     RMSE      MAE  MPE MAPE      MASE         ACF1
## Training set -1.804353 12.44507 9.249016 -Inf  Inf 0.6486801 -0.002988742

No modelo ARIMA(1,1,1), os coeficientes para o componente autoregressivo (AR) e o de média móvel (MA) foram estimados em 0.6446 e -0.9999, respectivamente. Os valores t são muito altos (12.33 para AR e -62.23 para MA), indicando que ambos os coeficientes são altamente significativos. Em resumo, esses componentes são essenciais para capturar o comportamento da série do IPCA.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce, aplicados aos resíduos, retornaram p-valores superiores a 0.05 em todos os lags testados, sugerindo que não há autocorrelação significativa nos resíduos. Isso significa que o modelo conseguiu capturar bem a dinâmica da série, deixando resíduos que se comportam como ruído branco.

Métricas de Precisão

As principais métricas de precisão foram: - RMSE: 12.45 - MAE: 9.25 - ACF1: -0.003

Esses valores indicam que o modelo tem um bom desempenho na previsão da série, com erros relativamente baixos.

Modelo ARIMA (2,1,1)

## 
## Modelo ARIMA(2,1,1)
## Coeficientes:
##          ar1          ar2          ma1 
##  0.639596805  0.008737763 -0.999999720 
## Valores t:
##         ar1         ar2         ma1 
##   9.9719269   0.1333074 -62.3129430 
## Testes de Box-Pierce:
##                         [,1]      [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 1.407974 2.7723580 19.5889150 22.6771861 23.9949674
## p.value             0.842808 0.9478211  0.2393089  0.3049219  0.4618851
##                           [,6]
## statistic.X-squared 36.6633952
## p.value              0.4379151
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                     ME    RMSE      MAE  MPE MAPE     MASE        ACF1
## Training set -1.802986 12.4451 9.247376 -Inf  Inf 0.648565 0.002381033

No modelo ARIMA(2,1,1), os coeficientes para os componentes autoregressivos (AR1 e AR2) foram estimados em 0.6396 e 0.0087, respectivamente, enquanto o coeficiente do componente de média móvel (MA) foi -0.9999. Os valores t indicam que o AR1 (9.97) e MA1 (-62.31) são altamente significativos, mas o AR2 (0.13) não é, sugerindo que o segundo termo autoregressivo pode não ser necessário.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce aplicados aos resíduos do modelo mostram p-valores superiores a 0.05 em todos os lags testados. Isso indica que não há autocorrelação significativa nos resíduos, o que sugere que o modelo capturou bem as dependências temporais da série.

Métricas de Precisão

As principais métricas de precisão para o modelo ARIMA(2,1,1) são: - RMSE: 12.45 - MAE: 9.25 - ACF1: 0.0024

Esses valores indicam que o desempenho do modelo é semelhante ao do ARIMA(1,1,1), com erros baixos, embora o segundo termo AR não tenha contribuído significativamente.

Modelo ARIMA(1,1,2)

## 
## Modelo ARIMA(1,1,2)
## Coeficientes:
##         ar1         ma1         ma2 
##  0.65243756 -1.01240230  0.01240481 
## Valores t:
##         ar1         ma1         ma2 
##   8.1259664 -10.2688857   0.1275241 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]      [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 1.4209847 2.7811289 19.5953905 22.6869331 24.0049997
## p.value             0.8405397 0.9473331  0.2389993  0.3044269  0.4613115
##                           [,6]
## statistic.X-squared 36.6664133
## p.value              0.4377769
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                     ME     RMSE      MAE  MPE MAPE      MASE        ACF1
## Training set -1.803067 12.44512 9.247496 -Inf  Inf 0.6485735 0.001920641

No modelo ARIMA(1,1,2), os coeficientes estimados para os componentes AR1, MA1 e MA2 foram 0.6524, -1.0124, e 0.0124, respectivamente. Enquanto os coeficientes de AR1 e MA1 são significativos, o coeficiente de MA2 não foi significativo, o que pode indicar que a inclusão deste termo não adiciona muito valor ao modelo.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce aplicados aos resíduos mostram p-valores superiores a 0.05 em todos os lags. Isso sugere que, mesmo com a presença de um coeficiente não significativo, os resíduos do modelo não apresentam autocorrelação significativa, o que é um bom sinal para a adequação do modelo.

Métricas de Precisão

As métricas de precisão para o modelo ARIMA(1,1,2) são: - RMSE: 12.45 - MAE: 9.25 - ACF1: 0.0019

Esses valores indicam que o modelo tem um desempenho aceitável. No entanto, o coeficiente não significativo para MA2 pode indicar que o modelo poderia ser simplificado ou que uma reavaliação dos termos do modelo seria benéfica para melhorar sua confiabilidade.

Modelo ARIMA(2,1,2)

## 
## Modelo ARIMA(2,1,2)
## Coeficientes:
##         ar1         ar2         ma1         ma2 
##  0.03611806  0.39797235 -0.39673979 -0.60325229 
## Valores t:
## ar1 ar2 ma1 ma2 
## NaN NaN NaN NaN 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]      [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 1.5222496 2.7992463 19.7009316 22.8116227 24.1461285
## p.value             0.8226931 0.9463172  0.2339936  0.2981387  0.4532671
##                           [,6]
## statistic.X-squared 36.8283186
## p.value              0.4303825
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                     ME     RMSE      MAE  MPE MAPE      MASE        ACF1
## Training set -1.802958 12.44463 9.251063 -Inf  Inf 0.6488236 0.002426823

No modelo ARIMA(2,1,2), os coeficientes estimados foram 0.0361 para AR1, 0.3980 para AR2, -0.3967 para MA1, e -0.6033 para MA2. No entanto, os valores t para todos os coeficientes retornaram como NaN, o que indica um problema na estimativa dos parâmetros. Isso sugere que o modelo pode não ter convergido adequadamente ou que os parâmetros não são identificáveis com confiança.

Testes de Box-Pierce

Apesar das questões com os coeficientes, os testes de Box-Pierce mostram p-valores superiores a 0.05 para todos os lags analisados. Isso indica que os resíduos do modelo não apresentam autocorrelação significativa, o que geralmente é um bom sinal. Contudo, a instabilidade na estimativa dos coeficientes levanta dúvidas sobre a confiabilidade geral do modelo.

Métricas de Precisão

As métricas de precisão do modelo ARIMA(2,1,2) são as seguintes: - RMSE: 12.44 - MAE: 9.25 - ACF1: 0.0024

Essas métricas indicam que o desempenho do modelo, em termos de erro de previsão, é comparável ao de outros modelos testados. No entanto, a falta de significância nos coeficientes sugere que os resultados devem ser interpretados com cautela.

Escolha do modelo para 259 observações

Entre os quatro modelos analisados, o ARIMA(1,1,1) se destaca como a melhor escolha. O ARIMA(1,1,1) não mostrou autocorrelação nos resíduos, conforme indicado pelos testes de Box-Pierce, e suas métricas de precisão, como RMSE e MAE, estão em níveis aceitáveis.

Embora o ARIMA(2,1,1) seja um pouco mais complexo, ele não oferece uma melhoria perceptível em comparação ao ARIMA(1,1,1).

Comparação ARIMA(1,1,1) com ARIMA(2,1,1) nos coeficientes e significância

ARIMA(1,1,1): Os coeficientes do AR (0.6446) e MA (-0.9999) são ambos significativos, com valores t elevados (12.33 para AR e -62.23 para MA), indicando que esses componentes são importantes para o modelo.

ARIMA(2,1,1): Aqui, o coeficiente do primeiro termo AR (0.6396) é significativo, mas o segundo termo AR (0.0087) não é, como mostrado pelo valor t muito baixo (0.13). O componente MA (-0.9999) continua sendo altamente significativo.

Previsão com o modelo escolhido

A previsão para o IPCA referente ao mês de agosto de 2024 foi estimada em 0,418%, utilizando 256 observações.

Modelo ARIMA com 150 observações

Carregamento e preparação dos dados

ipca_150 <- read.table("~/Econometria/dados/IPCA_150.txt", header = TRUE)

ipca_ts1 <- ts(ipca_150$ipca_base_2012_02, frequency = 12, start = c(2012, 2))

Visualização gráfica

Verificação de Estacionariedade

Iremos, agora, verificar a estacionariedade da série

## Resumo do Teste de Dickey-Fuller Aumentado:

## Estatística de Teste: -2.344

## Valores Críticos (1%, 5%, 10%): -3.99, -3.43, -3.13

## A série é estacionária ao nível de 5% de significância: Não

## 
## Após a Diferenciação:
## Estatística de Teste: -5.6692 
## Valores Críticos (1%, 5%, 10%): -3.99, -3.43, -3.13 
## A série é estacionária ao nível de 5% de significância: Sim

O teste de Dickey-Fuller Aumentado foi aplicado para verificar a estacionariedade da série temporal do IPCA.

Inicialmente, a série não se mostrou estacionária ao nível de 5% de significância, indicando a presença de uma raiz unitária.

Decomposição da Série

Análise da ACF e PACF

O gráfico da ACF (Autocorrelação) mostra uma queda acentuada após o primeiro lag, o que indica que a série temporal possui uma autocorrelação significativa no primeiro lag e depois se torna insignificante. Isso sugere que um modelo ARIMA com um componente de média móvel (q) pequeno, possivelmente q = 1, pode ser adequado para capturar essa dependência na série temporal diferenciada.

Já o gráfico da PACF (Autocorrelação Parcial) não apresenta uma queda acentuada nos primeiros lags, possuindo vários lags mostrando valores dentro dos limites de significância. Isso pode indicar que a ordem do componente autoregressivo (p) no modelo ARIMA seja pequena, possivelmente p = 0, uma vez que não tem um corte claro nas autocorrelações parciais.

Estimando o modelo ARIMA

Modelo ARIMA(1,1,1)

## 
## Modelo ARIMA(1,1,1)
## Coeficientes:
##        ar1        ma1 
##  0.5758257 -0.9999984 
## Valores t:
##        ar1        ma1 
##   8.503115 -40.971314 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]      [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 1.6256700 3.2796727 10.5412732 15.1152352 17.7501934
## p.value             0.8041712 0.9156009  0.8368767  0.7697763  0.8149557
##                           [,6]
## statistic.X-squared 27.9657622
## p.value              0.8284187
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                     ME     RMSE     MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set -1.682823 68.73786 51.8446 -56.06598 126.3184 0.6258845
##                     ACF1
## Training set -0.03922067

No modelo ARIMA(1,1,1), os coeficientes estimados para os componentes AR1 e MA1 foram 0.5758 e -0.9999, respectivamente. Ambos os coeficientes são significativos, com valores t elevados, especialmente o coeficiente MA1, que tem um valor t extremamente alto, sugerindo uma forte relação linear no modelo.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce aplicados aos resíduos mostram p-valores superiores a 0.05 em todos os lags testados. Isso indica que não há evidência de autocorrelação significativa nos resíduos, sugerindo que o modelo captura bem as dependências temporais da série.

Métricas de Precisão

As métricas de precisão para o modelo ARIMA(1,1,1) são: - RMSE: 68.74 - MAE: 51.84 - ACF1: -0.0392

Esses valores indicam que o modelo tem um desempenho razoável, com a autocorrelação dos resíduos próxima de zero, o que é desejável em modelos ARIMA. No entanto, o valor de RMSE é relativamente alto, sugerindo que pode haver espaço para melhorias no ajuste do modelo.

Modelo ARIMA (2,1,1)

## 
## Modelo ARIMA(2,1,1)
## Coeficientes:
##         ar1         ar2         ma1 
##  0.54069857  0.06260943 -0.99999748 
## Valores t:
##         ar1         ar2         ma1 
##   6.6142793   0.7646693 -43.9743053 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]      [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 1.0310701 3.3916278 10.6799424 14.7665210 17.2427582
## p.value             0.9050487 0.9074357  0.8287967  0.7896078  0.8381253
##                           [,6]
## statistic.X-squared 27.7884913
## p.value              0.8346531
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                     ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set -1.515066 68.63099 51.60743 -56.18861 127.2343 0.6230213
##                      ACF1
## Training set -0.003435388

No modelo ARIMA(2,1,1), os coeficientes estimados para os componentes AR1, AR2, e MA1 foram 0.5407, 0.0626, e -0.9999, respectivamente. O coeficiente AR1 é significativo, com um valor t elevado, enquanto o coeficiente AR2 apresenta um valor t relativamente baixo, indicando que ele pode não ser significativamente diferente de zero. O coeficiente MA1 tem um valor t extremamente alto, o que sugere uma forte relação linear no modelo.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce aplicados aos resíduos mostram p-valores superiores a 0.05 em todos os lags testados, indicando que não há evidência de autocorrelação significativa nos resíduos. Isso sugere que o modelo está capturando bem as dependências temporais da série, sem deixar padrões não modelados nos resíduos.

Métricas de Precisão

As métricas de precisão para o modelo ARIMA(2,1,1) são: - RMSE: 68.63 - MAE: 51.61 - ACF1: -0.0034

Os resultados mostram que o modelo ARIMA(2,1,1) tem um desempenho razoável, com resíduos sem autocorrelação significativa e RMSE similar a outros modelos testados, o que indica que ele pode ser adequado para previsões.

Modelo ARIMA(1,1,0)

## 
## Modelo ARIMA(1,1,0)
## Coeficientes:
##        ar1 
## -0.2594157 
## Valores t:
##       ar1 
## -3.283807 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]       [,2]       [,3]       [,4]      [,5]
## statistic.X-squared 6.0232429 11.8349699 17.7567528 20.8114795 22.056372
## p.value             0.1974192  0.1587204  0.3383322  0.4083026  0.575902
##                           [,6]
## statistic.X-squared 34.1787667
## p.value              0.5554173
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                      ME    RMSE      MAE       MPE    MAPE      MASE
## Training set -0.1831014 74.9138 56.51259 -45.02965 126.302 0.6822379
##                     ACF1
## Training set -0.04223272

No modelo ARIMA(1,1,0), o coeficiente estimado para o componente AR1 foi -0.2594, com um valor t de -3.2838, indicando que esse parâmetro é estatisticamente significativo. Isso sugere uma relação inversa na série temporal, onde um aumento em um período tende a ser seguido por uma diminuição no próximo.

Testes de Box-Pierce

Métricas de Precisão

As métricas de precisão para o modelo ARIMA(1,1,0) são: - RMSE: 74.91 - MAE: 56.51 - ACF1: -0.0422

Os resultados mostram que, embora o modelo ARIMA(1,1,0) apresente um erro um pouco elevado, a ausência de autocorrelação significativa nos resíduos sugere que ele pode ser adequado para previsões, mas com alguma cautela.

Modelo ARIMA(2,1,0)

## 
## Modelo ARIMA(2,1,0)
## Coeficientes:
##        ar1        ar2 
## -0.2178671 -0.1289995 
## Valores t:
##       ar1       ar2 
## -3.489652 -2.063671 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]        [,2]        [,3]        [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 3.7508684 14.93985671 27.98934150 31.46868809 32.8079443
## p.value             0.4407707  0.06032551  0.03171246  0.04929927  0.1081911
##                            [,6]
## statistic.X-squared 48.25427025
## p.value              0.08327468
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                      ME     RMSE      MAE  MPE MAPE      MASE         ACF1
## Training set -0.4296673 13.19391 9.745815 -Inf  Inf 0.6835231 -0.003369724

No modelo ARIMA(2,1,0), os coeficientes estimados para os componentes AR1 e AR2 foram -0.2179 e -0.1290, respectivamente. Ambos os coeficientes apresentam valores t significativos (-3.4897 e -2.0637), indicando que são estatisticamente significativos e sugerem uma relação inversa na série temporal.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce aplicados aos resíduos mostram p-valores que, em sua maioria, são superiores a 0.05, embora alguns lags apresentem valores ligeiramente inferiores, sugerindo alguma possível autocorrelação residual. Apesar disso, a maioria dos testes indica que o modelo está capturando bem as dependências temporais da série, mas deve-se ter cautela.

Métricas de Precisão

As métricas de precisão para o modelo ARIMA(2,1,0) são: - RMSE: 13.19 - MAE: 9.75 - ACF1: -0.0034

Os resultados indicam que o modelo ARIMA(2,1,0) tem um desempenho razoável, com resíduos que apresentam pouca autocorrelação significativa. No entanto, o RMSE mais elevado sugere que o modelo pode não ser o mais preciso, requerendo uma análise cuidadosa em previsões futuras.

Escolha do modelo para 150 observações

Na escolha dos melhores modelos para prever o IPCA de agosto de 2024 (com 150 observações), optei pelos modelos ARIMA(2,1,0) e ARIMA(2,1,1) com base em algumas razões importantes.

O modelo ARIMA(2,1,0) foi escolhido principalmente por ter apresentado o menor erro de previsão (RMSE de 13.19), o que sugere que ele pode ser bastante preciso. Além disso, os coeficientes AR1 e AR2 foram ambos significativos, com valores t de -3.4897 e -2.0637, respectivamente. Embora alguns dos testes de Box-Pierce mostraram p-valores ligeiramente abaixo de 0.05, indicando possível autocorrelação em alguns lags, a maioria dos lags não indicou problemas graves.

Por outro lado, o modelo ARIMA(2,1,1) foi escolhido por apresentar uma boa combinação de coeficientes razoavelmente significativos e uma ausência clara de autocorrelação significativa nos resíduos, com p-valores superiores a 0.05 em todos os lags testados nos testes de Box-Pierce. Embora seu RMSE (68.63) seja maior do que o do ARIMA(2,1,0), a ACF1 de -0.0034 indica que os resíduos são praticamente independentes, o que é desejável em modelos ARIMA.

Previsão com o modelo (2,1,0)

A previsão para o IPCA referente ao mês de agosto de 2024 foi estimada em 0,075%, utilizando 150 observações, com o modelo (2,1,0). O que não me parece coerente.

Previsão com o modelo (2,1,1)

A previsão para o IPCA referente ao mês de agosto de 2024 foi estimada em 0,407%, utilizando 150 observações, com o modelo (2,1,1).

Modelo ARIMA com 100 observações

Carregamento e preparação dos dados

ipca_100 <- read.table("~/Econometria/dados/IPCA_100.txt", header = TRUE)

ipca_ts2 <- ts(ipca_100$ipca_base_2016_04, frequency = 12, start = c(2016, 4))

Visualização gráfica

Verificação de Estacionariedade

Iremos, agora, verificar a estacionariedade da série.

## Resumo do Teste de Dickey-Fuller Aumentado:

## Estatística de Teste: -2.0181

## Valores Críticos (1%, 5%, 10%): -4.04, -3.45, -3.15

## A série é estacionária ao nível de 5% de significância: Não

## 
## Após a Diferenciação:
## Estatística de Teste: -4.2253 
## Valores Críticos (1%, 5%, 10%): -4.04, -3.45, -3.15 
## A série é estacionária ao nível de 5% de significância: Sim

O teste de Dickey-Fuller Aumentado foi aplicado para verificar a estacionariedade da série temporal do IPCA.

Inicialmente, a série não se mostrou estacionária ao nível de 5% de significância, indicando a presença de uma raiz unitária.

Decomposição da Série

Análise da ACF e PACF

Com base na análise dos gráficos, um modelo ARIMA com diferenciação de primeira ordem parece apropriado. A ACF sugere um pequeno componente de média móvel (q = 1), enquanto a PACF indica um possível componente autoregressivo de ordem 1 (p = 1). Portanto, um modelo ARIMA(1,1,1) ou ARIMA(1,1,0) seria um bom ponto de partida para a estimação.

Estimando o modelo ARIMA

Modelo ARIMA(1,1,1)

## 
## Modelo ARIMA(1,1,1)
## Coeficientes:
##        ar1        ma1 
##  0.5220733 -0.9930462 
## Valores t:
##       ar1       ma1 
##  5.271916 -8.124902 
## Testes de Box-Pierce:
##                         [,1]      [,2]      [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 1.235379 2.1335030 7.0864515 10.7147384 13.1253969
## p.value             0.872240 0.9766431 0.9715585  0.9532873  0.9640088
##                           [,6]
## statistic.X-squared 19.8381588
## p.value              0.9867264
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                    ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set 2.352551 55.48896 40.64243 -11.21473 103.3023 0.5800813
##                     ACF1
## Training set -0.04570897

Os coeficientes estimados para os componentes AR1 e MA1 foram 0.5221 e -0.9930, respectivamente. Ambos os coeficientes são estatisticamente significativos, com valores t elevados, sugerindo que esses parâmetros são importantes para capturar a dinâmica da série.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce aplicados aos resíduos mostram p-valores bem acima de 0.05 em todos os lags testados, o que indica que não há evidências de autocorrelação significativa nos resíduos. Isso é um bom sinal de que o modelo está capturando adequadamente a estrutura dos dados, sem deixar padrões não modelados nos resíduos.

Métricas de Precisão

As métricas de precisão para o modelo ARIMA(1,1,1) são: - RMSE: 55.49 - MAE: 40.64 - ACF1: -0.0457

Esses valores indicam que o modelo tem um desempenho razoável, com resíduos próximos de zero e sem autocorrelação significativa. Embora o RMSE seja relativamente elevado, o modelo pode ser considerado adequado para previsões, uma vez que a estrutura de dependência dos dados foi capturada adequadamente.

Modelo ARIMA (1,1,0)

## 
## Modelo ARIMA(1,1,0)
## Coeficientes:
##        ar1 
## -0.2936576 
## Valores t:
##       ar1 
## -3.070474 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]     [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 4.9061470 7.807806 12.4835360 15.8635205 17.1719937
## p.value             0.2970637 0.452466  0.7100778  0.7250543  0.8412343
##                           [,6]
## statistic.X-squared 25.6432769
## p.value              0.9000006
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                      ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set -0.5808984 60.71273 44.90804 -12.99368 118.8849 0.6409635
##                     ACF1
## Training set -0.04957572

Os coeficientes estimados para o componente AR1 foram -0.2937, com um valor t de -3.07, indicando que o coeficiente é significativamente diferente de zero, sugerindo uma possível relação linear no modelo.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce aplicados aos resíduos mostram p-valores superiores a 0.05 em todos os lags testados, indicando que não há evidência de autocorrelação significativa nos resíduos. Isso sugere que o modelo está capturando adequadamente as dependências temporais da série.

Métricas de Precisão

As métricas de precisão para o modelo ARIMA(1,1,0) são: - RMSE: 60.71 - MAE: 44.91 - ACF1: -0.0496

Os resultados mostram um desempenho modesto, com resíduos sem autocorrelação significativa e um RMSE relativamente elevado, sugerindo que o modelo pode precisar de ajustes para melhorar a precisão das previsões.

Modelo ARIMA(2,1,1)

## 
## Modelo ARIMA(2,1,1)
## Coeficientes:
##         ar1         ar2         ma1 
##  0.48533181  0.07648359 -0.99999542 
## Valores t:
##         ar1         ar2         ma1 
##   4.8447087   0.7615194 -16.2640670 
## Testes de Box-Pierce:
##                          [,1]      [,2]      [,3]       [,4]       [,5]
## statistic.X-squared 0.7497356 2.0721038 7.1258846 10.2861769 12.5912231
## p.value             0.9450568 0.9787212 0.9707577  0.9626809  0.9723909
##                           [,6]
## statistic.X-squared 19.9842669
## p.value              0.9858225
## Métricas de Precisão do Modelo:
##                    ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set 1.986755 55.19942 40.21172 -12.75448 105.8495 0.5739338
##                      ACF1
## Training set -0.005395931

Os coeficientes estimados para os componentes AR1, AR2, e MA1 foram 0.4853, 0.0765, e -0.9999, respectivamente. O coeficiente AR1 é significativo, com um valor t elevado, enquanto o AR2 apresenta um valor t relativamente baixo, sugerindo que ele pode não ser significativamente diferente de zero. O coeficiente MA1 tem um valor t extremamente alto, indicando uma forte relação no componente de média móvel.

Testes de Box-Pierce

Os testes de Box-Pierce aplicados aos resíduos mostram p-valores superiores a 0.05 em todos os lags testados, indicando que não há evidência de autocorrelação significativa nos resíduos. Isso sugere que o modelo está capturando adequadamente as dependências temporais da série.

Métricas de Precisão

As métricas de precisão para o modelo ARIMA(2,1,1) são: - RMSE: 55.20 - MAE: 40.21 - ACF1: -0.0054

Esses valores indicam que o modelo apresenta um desempenho razoável, com resíduos sem autocorrelação significativa e um RMSE inferior ao de outros modelos testados, sugerindo que ele pode ser uma boa opção para previsões.

Escolha do modelo para 100 observações

Na escolha dos melhores modelos para prever o IPCA de agosto de 2024, optei pelos modelos ARIMA(2,1,1) e ARIMA(1,1,1) com base em algumas razões importantes.

O modelo ARIMA(2,1,1) foi escolhido por apresentar coeficientes significativos, especialmente o AR1 (t = 4.8447) e MA1 (t = -16.2641). Além disso, os testes de Box-Pierce mostraram p-valores bem acima de 0.05, indicando que não há autocorrelação significativa nos resíduos. O RMSE de 55.20 sugere que o modelo é relativamente preciso.

Já o modelo ARIMA(1,1,1) também apresentou coeficientes significativos (AR1 com t = 5.2719 e MA1 com t = -8.1249) e ausência de autocorrelação nos resíduos, com p-valores altos nos testes de Box-Pierce. Seu RMSE foi 55.49, muito próximo do ARIMA(2,1,1), tornando-o uma boa opção para previsão.

Previsão com o modelo (2,1,1)

A previsão para o IPCA referente ao mês de agosto de 2024 foi estimada em 0,383%, utilizando 100 observações, com o modelo (2,1,1).

Previsão com o modelo (1,1,1)

A previsão para o IPCA referente ao mês de agosto de 2024 foi estimada em 0,333%, utilizando 100 observações, com o modelo (1,1,1).

Conclusão

Tabela de Previsões do IPCA para Agosto de 2024
Observações	Modelo Escolhido	Previsão IPCA (%)
259	ARIMA(1,1,1)	0.418
150	ARIMA(2,1,1)	0.407
100	ARIMA(2,1,1)	0.383
Fonte: Elaboração própria

Com base nos resultados obtidos com as previsões do IPCA e o cenário econômico atual, podemos tecer algumas considerações importantes. A escolha dos modelos ARIMA(1,1,1), ARIMA(2,1,0), e ARIMA(2,1,1) para prever o IPCA de agosto de 2024 apresentou previsões que variaram entre 0,383% e 0,418%. Embora esses valores estejam dentro de uma faixa moderada de inflação, precisamos contextualizá-los no cenário econômico atual, tanto no Brasil quanto no mundo.

Atualmente, o Brasil enfrenta uma inflação sob controle. O Banco Central tem mantido a taxa Selic estável em 10,5%, após um ciclo de sete quedas consecutivas. A decisão de manter a Selic nessa faixa reflete o equilíbrio entre a necessidade de conter a inflação e o estímulo ao crescimento econômico. A manutenção dessa taxa evita pressões inflacionárias maiores, mas também limita o espaço para um crescimento mais acelerado da economia. A inflação no Brasil está dentro da meta anual, e o desemprego se encontra em uma baixa histórica, o que sugere uma economia relativamente estável.

Nos Estados Unidos, o Fed tem mantido as taxas de juros entre 5,25% e 5,5%, o que, embora seja superior à média histórica, não pode ser considerado extremamente elevado. Além disso, a inflação nos EUA está desacelerando, o que demonstra um certo controle da política monetária. Com a saída do presidente Joe Biden da corrida eleitoral, as chances dos democratas aumentam, trazendo menos volatilidade dos mercados e certo continuísmo na política industrial e econômica.

O Brasil, como economia emergente, depende em grande parte da estabilidade e previsibilidade dos mercados globais. Se os EUA mantiverem um ambiente de baixo risco e volatilidade controlada, isso tende a refletir positivamente no Brasil, diminuindo a pressão sobre o câmbio e, por consequência, sobre a inflação. Além disso, a recente queda no preço do petróleo Brent, que está na casa dos 73 dólares, reduz a pressão inflacionária global, aliviando o custo das importações de combustíveis no Brasil.

No entanto, o cenário externo ainda apresenta incertezas, especialmente devido às tensões no Oriente Médio, que podem afetar o mercado de commodities e, eventualmente, pressionar novamente os preços do petróleo. Se esses fatores externos se combinarem a uma desvalorização do real, a inflação no Brasil pode voltar a subir, o que forçaria o Banco Central a reverter o ciclo de queda da Selic, elevando novamente a taxa de juros.