Propiedades de los Estimadores

Crearemos una función que realice simulaciones para los estimadores con variables aleatorias \(X_1\),\(X_2\),\(X_3\),\(X_4\) que provengan de una distribucion exponencial con parametro \(\lambda= 2\) y valor esperado \(\frac{1}{2}=0,5\).

\(\hat{\theta_{1}}=\frac{X_1+X_2}{6}+\frac{X_3+X_4}{3}\)

\(\hat{\theta_{2}}=\frac{X_1+2X_2+3X_3+4X_4}{5}\)

\(\hat{\theta_{3}}=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}\)

\(\hat{\theta_{4}}=\frac{min\{X_1,X_2,X_3,X_4\}+max\{X_1+X_2+X_3+X_4\}}{2}\)

estimador <- function(n) {
  # Generar variables exponenciales aleatorias
  X_1 <- rexp(n, rate = 2)
  X_2 <- rexp(n, rate = 2)
  X_3 <- rexp(n, rate = 2)
  X_4 <- rexp(n, rate = 2)
  
  # Crear un data frame con los valores generados
  data <- data.frame(X_1, X_2, X_3, X_4)
  
  # Calcular el mínimo y máximo por fila
  minx <- apply(data, 1, min)
  maxx <- apply(data, 1, max)
  
  # Calcular los estimadores E_1, E_2, E_3, E_4
  E_1 <- (X_1 + X_2) / 6 + (X_3 + X_4) / 3
  E_2 <- (X_1 + 2 * X_2 + 3 * X_3 + 4 * X_4)
  E_3 <- (X_1 + X_2 + X_3 + X_4) / 4
  E_4 <- (minx + maxx) / 2
  
  # Crear un data frame con los estimadores
  df <- data.frame(E_1, E_2, E_3, E_4)
  
  # boxplot de los estimadores
  invisible(boxplot(df, main = "Boxplot de los Estimadores", col = c("blue", "pink", "lightgreen", "orange")))
  
  # Calcular la media y varianza de los estimadores
  media <- apply(df, 2, mean)
  varianza <- apply(df, 2, var)
  y<-data.frame(media,varianza)
  # Retorna un data frame con promedio y varianza
  return(y)
}

Pruebas

Realizaremos pruebas para el tamaño \(n\) de las variables aleatorias

Prueba #1

\(n=20\)

e1<-estimador(20)

e1

##         media   varianza
## E_1 0.4871522 0.06490183
## E_2 4.9826107 8.26673666
## E_3 0.5125810 0.09526409
## E_4 0.6468429 0.23607632

prueba 2

\(n=50\)

e2<-estimador(50)

e2

##         media   varianza
## E_1 0.4542180 0.04916437
## E_2 4.5584628 5.37195347
## E_3 0.4683912 0.04692513
## E_4 0.5541263 0.07681635

prueba #3

\(n=100\)

e3<-estimador(100)

e3

##         media   varianza
## E_1 0.5248886 0.05172203
## E_2 5.2709448 5.40085696
## E_3 0.5224038 0.04550879
## E_4 0.6275546 0.08511568

prueba #4

\(n=1000\)

e4<-estimador(1000)

e4

##         media   varianza
## E_1 0.5021689 0.07144980
## E_2 5.0080455 7.80457096
## E_3 0.5020019 0.06381118
## E_4 0.5854704 0.10808060

Analisis

vamos a comparar mediante la visualización de los resultados obtenidos a través de las 4 pruebas y de esta manera observar las 3 propiedades de los estimadores.

df<-cbind(e1,e2,e3,e4)
df

##         media   varianza     media   varianza     media   varianza     media
## E_1 0.4871522 0.06490183 0.4542180 0.04916437 0.5248886 0.05172203 0.5021689
## E_2 4.9826107 8.26673666 4.5584628 5.37195347 5.2709448 5.40085696 5.0080455
## E_3 0.5125810 0.09526409 0.4683912 0.04692513 0.5224038 0.04550879 0.5020019
## E_4 0.6468429 0.23607632 0.5541263 0.07681635 0.6275546 0.08511568 0.5854704
##       varianza
## E_1 0.07144980
## E_2 7.80457096
## E_3 0.06381118
## E_4 0.10808060

Conclusion

Podemos observar que el estimador \(\hat{\theta_{3}}\) cumple la propiedad de ser insesgado ya que en las 4 pruebas tomo valores muy cercanos al valor esperado \(\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{2}=0,5\) de la variable exponencial con parámetro \(\lambda=2\).
El estimador \(\hat{\theta_{3}}\) ser eficiente ya que al compararlo en las 4 pruebas, su varianza siempre presenta un valor menor en comparación a los demás estimadores.
El estimador \(\hat{\theta_{3}}\) satisface ser consistente ya que al aumentar el número de datos se observa una menor diferencia en valor absoluto frente al parámetro real acercandose a cero.

problema 2

Dany Enriquez

2024-09-04