Resolución Problemas Unidad 2
José Julián Figueroa Arias
2024-08-20
Problema No. 2 - Propiedades de los Estimadores
La simulación ayuda a entender y validad las propiedades de los estimadores estadísticos como son, insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.
Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine la características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:
Solución
Procedemos a generar muestras con los requerimientos del problema, de la siguiente manera n=20, n=50, n=100 y n=1000. Para cada uno de los estimadores planteados y para cada caso se evalúa las propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia
n <- 4
lambda <- 2
X1 <- rexp(n, lambda)
X2 <- rexp(n, lambda)
X3 <- rexp(n, lambda)
X4 <- rexp(n, lambda)
dmin <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, min)
dmax <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, max)
estimadores <- data.frame(
theta1 = (X1 + X2) / 6 + (X3 + X4) / 3,
theta2 = (X1 + 2*X2 + 3*X3 + 4*X4) / 5,
theta3 = (X1 + X2 + X3 + X4) / 4,
theta4 = (dmin + dmax) / 2
)## medias varianzas sesgo
## theta1 0.4711330 0.08483235 1.528867
## theta2 0.9542320 0.34079936 1.045768
## theta3 0.4345892 0.06084292 1.565411
## theta4 0.4884223 0.07821680 1.511578Ejercicio con muestra n=20
Estimadores
n <- 20
lambda <- 2
X1 <- rexp(n, lambda)
X2 <- rexp(n, lambda)
X3 <- rexp(n, lambda)
X4 <- rexp(n, lambda)
dmin <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, min)
dmax <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, max)
estimadores <- data.frame(
theta1 = (X1 + X2) / 6 + (X3 + X4) / 3,
theta2 = (X1 + 2*X2 + 3*X3 + 4*X4) / 5,
theta3 = (X1 + X2 + X3 + X4) / 4,
theta4 = (dmin + dmax) / 2
)
summary(estimadores)## theta1 theta2 theta3 theta4
## Min. :0.2009 Min. :0.3184 Min. :0.1631 Min. :0.1925
## 1st Qu.:0.3329 1st Qu.:0.6152 1st Qu.:0.3227 1st Qu.:0.3575
## Median :0.3735 Median :0.7776 Median :0.4267 Median :0.5179
## Mean :0.5140 Mean :1.0035 Mean :0.5207 Mean :0.6352
## 3rd Qu.:0.6259 3rd Qu.:1.2187 3rd Qu.:0.6384 3rd Qu.:0.8453
## Max. :1.4182 Max. :2.5904 Max. :1.2029 Max. :1.6244
## medias varianzas sesgo
## theta1 0.5139722 0.09251608 1.4860278
## theta2 1.0035363 0.35484799 0.9964637
## theta3 0.5206552 0.07923083 1.4793448
## theta4 0.6352426 0.12518164 1.3647574Teniendo en cuenta lo mostrado anterior mente theta3 el estimador más eficiente en términos de precisión, Por su parte también podemos decir:
Insesgadez: Los sesgos son aproximadamente 1.58, 1.18, 1.57 y 1.49 para theta1, theta2, theta3 y theta4, respectivamente. Estos valores sugieren cierto grado de sesgo en los estimadores evaluados.
Varianzas: Las varianzas son aproximadamente 0.064, 0.284, 0.053 y 0.055 para theta1, theta2, theta3 y theta4, respectivamente. Podemos identificar que theta3 tiene la varianza más baja, lo que evidencia que podría ser el estimador más eficiente en términos de precisión.
Medias: Las medias son aproximadamente 0.42, 0.82, 0.43 y 0.51 para theta1, theta2, theta3 y theta4, respectivamente. Ninguna de las medias parece estar muy cerca del valor verdadero del parámetro (0.5), lo que sugiere que los estimadores podrían no ser consistentes en este caso.
Ejercicio con muestra n=50
##Estimadores
n <- 50
lambda <- 2
X1 <- rexp(n, lambda)
X2 <- rexp(n, lambda)
X3 <- rexp(n, lambda)
X4 <- rexp(n, lambda)
dmin <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, min)
dmax <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, max)
estimadores <- data.frame(
theta1 = (X1 + X2) / 6 + (X3 + X4) / 3,
theta2 = (X1 + 2*X2 + 3*X3 + 4*X4) / 5,
theta3 = (X1 + X2 + X3 + X4) / 4,
theta4 = (dmin + dmax) / 2
)
summary(estimadores)## theta1 theta2 theta3 theta4
## Min. :0.1849 Min. :0.3094 Min. :0.2208 Min. :0.2244
## 1st Qu.:0.3788 1st Qu.:0.7651 1st Qu.:0.3648 1st Qu.:0.4028
## Median :0.5217 Median :0.9751 Median :0.5110 Median :0.5959
## Mean :0.5435 Mean :1.0749 Mean :0.5365 Mean :0.6390
## 3rd Qu.:0.6804 3rd Qu.:1.2779 3rd Qu.:0.6643 3rd Qu.:0.8190
## Max. :1.0794 Max. :2.2488 Max. :1.0208 Max. :1.2217
## medias varianzas sesgo
## theta1 0.5434714 0.04950390 1.456529
## theta2 1.0749080 0.20077319 0.925092
## theta3 0.5365087 0.04401968 1.463491
## theta4 0.6390124 0.07301425 1.360988Teniendo en cuenta lo anterior, los hallazgos siguen presentando una variación similar, en donde:
Insesgadez: los sesgos son aproximadamente 1.53, 1.07, 1.51 y 1.43 para theta1, theta2, theta3 y theta4, respectivamente. Estos valores sugieren cierto grado de sesgo en todos los estimadores.
Varianzas: Son aproximadamente 0.070, 0.278, 0.069 y 0.102 para theta1, theta2, theta3 y theta4, respectivamente. Se puede identificar que theta3 tiene la varianza más baja, lo que sugiere que podría ser el estimador más eficiente en términos de precisión.
Medias: Las medias son aproximadamente 0.47, 0.93, 0.49 y 0.57 para theta1, theta2, theta3 y theta4, respectivamente. Ninguna de las medias parece estarcerca del valor verdadero del parámetro (0.5), lo que sugiere que los estimadores podrían no ser consistentes.
Ejercicio con muestra n=100
##Estimadores
n <- 100
lambda <- 2
X1 <- rexp(n, lambda)
X2 <- rexp(n, lambda)
X3 <- rexp(n, lambda)
X4 <- rexp(n, lambda)
dmin <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, min)
dmax <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, max)
estimadores <- data.frame(
theta1 = (X1 + X2) / 6 + (X3 + X4) / 3,
theta2 = (X1 + 2*X2 + 3*X3 + 4*X4) / 5,
theta3 = (X1 + X2 + X3 + X4) / 4,
theta4 = (dmin + dmax) / 2
)
summary(estimadores)## theta1 theta2 theta3 theta4
## Min. :0.04582 Min. :0.1037 Min. :0.05068 Min. :0.06528
## 1st Qu.:0.33389 1st Qu.:0.6555 1st Qu.:0.34402 1st Qu.:0.38607
## Median :0.50441 Median :1.0033 Median :0.50964 Median :0.52339
## Mean :0.51451 Mean :1.0290 Mean :0.50958 Mean :0.58331
## 3rd Qu.:0.66088 3rd Qu.:1.3244 3rd Qu.:0.63821 3rd Qu.:0.74780
## Max. :1.20556 Max. :2.6800 Max. :1.38353 Max. :1.43653
## medias varianzas sesgo
## theta1 0.5145135 0.06080772 1.485487
## theta2 1.0289610 0.27407881 0.971039
## theta3 0.5095780 0.05430918 1.490422
## theta4 0.5833137 0.07757127 1.416686Teniendo en cuanta lo anterior encontramos que todos los estimadores muestran cierto grado de sesgo, mientras que theta3 parece el más eficiente en términos de precisión.
Ejercicio con muestra n=1000
n <- 1000
lambda <- 2
X1 <- rexp(n, lambda)
X2 <- rexp(n, lambda)
X3 <- rexp(n, lambda)
X4 <- rexp(n, lambda)
dmin <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, min)
dmax <- apply(data.frame(X1, X2, X3, X4), 1, max)
estimadores <- data.frame(
theta1 = (X1 + X2) / 6 + (X3 + X4) / 3,
theta2 = (X1 + 2*X2 + 3*X3 + 4*X4) / 5,
theta3 = (X1 + X2 + X3 + X4) / 4,
theta4 = (dmin + dmax) / 2
)
summary(estimadores)## theta1 theta2 theta3 theta4
## Min. :0.06235 Min. :0.1122 Min. :0.0551 Min. :0.05726
## 1st Qu.:0.30708 1st Qu.:0.6104 1st Qu.:0.3163 1st Qu.:0.35445
## Median :0.46333 Median :0.9185 Median :0.4684 Median :0.52282
## Mean :0.50152 Mean :1.0015 Mean :0.5037 Mean :0.58640
## 3rd Qu.:0.63132 3rd Qu.:1.2609 3rd Qu.:0.6374 3rd Qu.:0.73638
## Max. :2.00038 Max. :3.6987 Max. :2.0319 Max. :3.21981
## medias varianzas sesgo
## theta1 0.5015247 0.06774980 1.4984753
## theta2 1.0014831 0.28747500 0.9985169
## theta3 0.5037147 0.06323485 1.4962853
## theta4 0.5863996 0.10256694 1.4136004Teniendo en cuenna lo anterior podemos inferir lo siguiente:
Insesgadez: Los sesgos para los estimadores theta1, theta2, theta3 y theta4 son aproximadamente 1.49, 0.98, 1.49 y 1.41, respectivamente. Todos los estimadores muestran cierto grado de sesgo.
Varianzas: Las varianzas para theta1, theta2, theta3 y theta4 son aproximadamente 0.067, 0.297, 0.061 y 0.100, respectivamente. Se identifica que theta3 tiene la varianza más baja, lo que sugiere que podría ser el estimador más eficiente.
Medias: Las medias para theta1, theta2, theta3 y theta4 son aproximadamente 0.51, 1.02, 0.51 y 0.59, respectivamente. Ninguna de las medias parece estar cerca del valor verdadero del parámetro.
Finalmente podemos identificar que el todas las muetras representadas en este informe, es theta3 el estimador más eficiente.