1.2 Доказать следующие соотношения и проиллюстрировать их кругами Эйлера.

а) \(\overline{A\setminus B} \cap (\overline{A}\cup\overline{B})=\overline{A}\)

\[\overline{A\setminus B} \cap (\overline{A}\cup\overline{B})=\] \[\overline{(A\cap\overline{B})} \cap (\overline{A}\cup\overline{B})=\] \[(\overline{A}\cup B)\cap (\overline{A}\cup\overline{B})=\] \[\overline{A}\cup( B\cap \overline{B})=\] \[\overline{A}\cup\emptyset=\overline{A}\space \blacksquare.\] Иллюстрация кругами Эйлера, элементы, принадлежащие множеству показаны красным цветом:

\[X = \overline{A\setminus B} \]:

\[Y = \overline{A}\cup\overline{B}\]

\[X\cup Y = \overline{A}\]

в) \(A\setminus B \subset C \iff A \subset B\cup C\)

Решение:

\[A\setminus B \subset C \iff \] \[\{x:(x \in A \land x \notin B) \implies x\in C\} \iff\] \[\{x: \neg(x \in A \land x \notin B) \lor x\in C\} \iff\] \[\{x: (x \notin A \lor x \in B) \lor x\in C\} \iff\]

\[\{x: x \notin A \lor (x \in B \lor x\in C)\} \iff\]

\[\{x: x \in A \implies (x \in B \lor x\in C)\} \iff\] \[ A \subset B\cup C \space \blacksquare\]

г) \(A\triangle B \subset (A\triangle C)\cup(B\triangle C)\)

Т. к для произвольных \(X\) и \(Y\) \(X \triangle Y \subset X \cup Y\), то пусть \(X = A \triangle C\) и \(Y = B \triangle C\). Тогда \[(A\triangle C)\triangle (B\triangle C) \subset (A\triangle C)\cup(B\triangle C)\] Так как симметрическая разность множеств коммутативна, ассоцитивна и \(A\triangle A = \emptyset\), то \[A\triangle (C\triangle C)\triangle B \subset (A\triangle C)\cup(B\triangle C) \iff\] \[A\triangle \emptyset \triangle B \subset (A\triangle C)\cup(B\triangle C)\iff\] \[A\triangle B \subset (A\triangle C)\cup(B\triangle C)\space\blacksquare\]

e) \(A\triangle B=C \implies B = A \triangle C\)

Решение:

Вместо \(C\) подставим \(A\triangle B\). \[B = A \triangle C=A\triangle(A\triangle B)=(A\triangle A)\triangle B=\emptyset\triangle B=B\space \blacksquare.\]

ж) \(A\setminus(A\setminus B)= A\cap B\)

\[A\setminus(A\setminus B)= A\cap \overline{A\setminus B}=A\cap \overline {A\cap \overline{B}}=\]

\[A\cap (\overline{A}\cup B)=(A \cap \overline{A})\cup (A\cap B) = A\cap B\space\blacksquare. \]

з) \((A\setminus B) \cup (B\setminus A)= (A\cup B) \setminus (A\cap B)\)

Решение:

По определениям симметрической разности

\[(A\setminus B) \cup (B\setminus A)= A\triangle B =\]

\[(A\cup B) \setminus (A\cap B)\space\blacksquare.\]

и) \(A\cup(B\setminus C) \supset (A\cup B) \setminus C\)

Решение:

\[A\cup(B\setminus C) =\] \[A\cup(B\cap \overline{C}) =\] \[(A\cup B)\cap (A\cup\overline{C})\]

Т. к. \(A\cup\overline{C} \supset \overline{C}\), а также если \(X \subset Y \iff X\cap A \subset Y \cap A\). Т.о. \[(A\cup B)\cap (A\cup\overline{C}) \supset (A\cup B)\cap \overline{C}=(A\cup B)\setminus C \space \blacksquare.\]

к) \((A\cup C) \setminus B \subset (A\setminus B) \cup C\)

Решение: \[(A\cup C) \setminus B =\] \[(A\cup C) \cap \overline{B} =\] \[(A\cap \overline{B}) \cup (C\cap \overline{B})\] Т. к. \(C\cap\overline{B} \subset C\), а также по причине того, что:

\[ X \subset Y \iff X\cup A \subset Y \cup A\].

Таким образом

\[(A\cap \overline{B}) \cup (C\cap \overline{B}) \subset (A\cap \overline{B}) \cup C = (A\setminus B)\cup C\space\blacksquare.\]

л) \((A\setminus B) \setminus C = A\setminus (B \cup C)\)

Решение:

\[(A\setminus B) \setminus C =\] \[(A\cap \overline{B})\cap\overline{C}=\] \[A\cap(\overline{B}\cap\overline{C})=\] \[A\cap(\overline{B\cup C})=\] \[A\setminus(B\cup C)\space\blacksquare.\]

м) \((A\setminus B) \cap C = (A\cap B) \setminus(B) \cup C)\)

\[(A\setminus B) \cap C = (A\cap B) \setminus(B \cap C)\]

Решение:

\[(A\cap B) \setminus(B \cap C)=\] \[(A\cap B) \cap \overline{(B\cap C)}=\] \[(A\cap B) \cap (\overline{B} \cup \overline{C})=\] \[(A\cap B\cap \overline{B}) \cup (A\cap B\cap \overline{C})=\] \[\emptyset \cup ((A\cap B)\setminus C)=\] \[(A\cap B)\setminus C\space\blacksquare.\]