Tugas Individu MPDW P2

Pemanggilan Packages

library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(TTR)
library(forecast)
## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo
library(lmtest) #digunakan untuk uji formal pendeteksian autokorelasi
## Loading required package: zoo
## 
## Attaching package: 'zoo'
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric
library(orcutt) #untuk membuat model regresi Cochrane-Orcutt
library(HoRM) #untuk membuat model regresi Hildreth-Lu

Input Data

Data yang digunakan dalam kesempatan kali ini adalah data GDP negara United Kingdom selama 20 tahun dengan rentang tahun 1989-2008.

data <- read.csv("C:/Users/ASUS/OneDrive/Documents/SEM 5/MPDW/UK.csv", sep=",")
data
##    periode          gdp
## 1     1989 1.221720e+13
## 2     1990 1.303920e+13
## 3     1991 1.381558e+13
## 4     1992 1.447423e+13
## 5     1993 1.476986e+13
## 6     1994 1.447807e+13
## 7     1995 1.504897e+13
## 8     1996 1.559973e+13
## 9     1997 1.625397e+13
## 10    1998 1.688068e+13
## 11    1999 1.760814e+13
## 12    2000 1.829502e+13
## 13    2001 1.880491e+13
## 14    2002 1.961210e+13
## 15    2003 2.065652e+13
## 16    2004 2.152139e+13
## 17    2005 2.132295e+13
## 18    2006 2.359403e+13
## 19    2007 2.574411e+13
## 20    2008 2.736093e+13

Eksplorasi Data

Sebelum melakukan regresi, akan diperlihatkan plot time-series dari GDP negara UK Periode 1989-2008.

#Membentuk objek time series
data.ts<-ts(data$gdp)
data.ts
## Time Series:
## Start = 1 
## End = 20 
## Frequency = 1 
##  [1] 1.221720e+13 1.303920e+13 1.381558e+13 1.447423e+13 1.476986e+13
##  [6] 1.447807e+13 1.504897e+13 1.559973e+13 1.625397e+13 1.688068e+13
## [11] 1.760814e+13 1.829502e+13 1.880491e+13 1.961210e+13 2.065652e+13
## [16] 2.152139e+13 2.132295e+13 2.359403e+13 2.574411e+13 2.736093e+13
#Membuat plot time series
ts.plot(data.ts, xlab="Periode ", ylab="GDP", main= "Time Series Plot of GDP UK")
points(data.ts)

Selanjutnya akan dilakukan ramalan dan pemulusan dengan metode DMA dan DES karena terlihat pada plot di atas menunjukkan adanya trend.

dt.sma <- SMA(data.ts, n=3)
dma <- SMA(dt.sma, n =3)
At <- 2*dt.sma - dma
Bt <- 2/(3-1)*(dt.sma - dma)
dt.dma<- At+Bt
dt.ramal<- c(NA, dt.dma)

t = 1:5
f = c()

for (i in t) {
  f[i] = At[length(At)] + Bt[length(Bt)]*(i)
}
dt.gab <- cbind(aktual = c(data.ts,rep(NA,5)), 
                pemulusan1 = c(dt.sma,rep(NA,5)),
                pemulusan2 = c(dt.dma, rep(NA,5)),
                At = c(At, rep(NA,5)), 
                Bt = c(Bt,rep(NA,5)),
                ramalan = c(dt.ramal, f[-1]))
dt.gab
##             aktual   pemulusan1   pemulusan2           At           Bt
##  [1,] 1.221720e+13           NA           NA           NA           NA
##  [2,] 1.303920e+13           NA           NA           NA           NA
##  [3,] 1.381558e+13 1.302399e+13           NA           NA           NA
##  [4,] 1.447423e+13 1.377634e+13           NA           NA           NA
##  [5,] 1.476986e+13 1.435322e+13 1.562397e+13 1.498860e+13 6.353736e+11
##  [6,] 1.447807e+13 1.457405e+13 1.525308e+13 1.491357e+13 3.395148e+11
##  [7,] 1.504897e+13 1.476563e+13 1.516829e+13 1.496696e+13 2.013300e+11
##  [8,] 1.559973e+13 1.504226e+13 1.553881e+13 1.529053e+13 2.482759e+11
##  [9,] 1.625397e+13 1.563422e+13 1.660793e+13 1.612108e+13 4.868529e+11
## [10,] 1.688068e+13 1.624479e+13 1.745353e+13 1.684916e+13 6.043697e+11
## [11,] 1.760814e+13 1.691426e+13 1.821394e+13 1.756410e+13 6.498360e+11
## [12,] 1.829502e+13 1.759461e+13 1.894806e+13 1.827134e+13 6.767227e+11
## [13,] 1.880491e+13 1.823602e+13 1.954480e+13 1.889041e+13 6.543899e+11
## [14,] 1.961210e+13 1.890401e+13 2.022227e+13 1.956314e+13 6.591287e+11
## [15,] 2.065652e+13 1.969118e+13 2.118606e+13 2.043862e+13 7.474398e+11
## [16,] 2.152139e+13 2.059667e+13 2.232877e+13 2.146272e+13 8.660512e+11
## [17,] 2.132295e+13 2.116695e+13 2.253099e+13 2.184897e+13 6.820198e+11
## [18,] 2.359403e+13 2.214613e+13 2.383188e+13 2.298900e+13 8.428753e+11
## [19,] 2.574411e+13 2.355370e+13 2.608324e+13 2.481847e+13 1.264771e+12
## [20,] 2.736093e+13 2.556636e+13 2.918829e+13 2.737732e+13 1.810965e+12
## [21,]           NA           NA           NA           NA           NA
## [22,]           NA           NA           NA           NA           NA
## [23,]           NA           NA           NA           NA           NA
## [24,]           NA           NA           NA           NA           NA
## [25,]           NA           NA           NA           NA           NA
##            ramalan
##  [1,]           NA
##  [2,]           NA
##  [3,]           NA
##  [4,]           NA
##  [5,]           NA
##  [6,] 1.562397e+13
##  [7,] 1.525308e+13
##  [8,] 1.516829e+13
##  [9,] 1.553881e+13
## [10,] 1.660793e+13
## [11,] 1.745353e+13
## [12,] 1.821394e+13
## [13,] 1.894806e+13
## [14,] 1.954480e+13
## [15,] 2.022227e+13
## [16,] 2.118606e+13
## [17,] 2.232877e+13
## [18,] 2.253099e+13
## [19,] 2.383188e+13
## [20,] 2.608324e+13
## [21,] 2.918829e+13
## [22,] 3.099925e+13
## [23,] 3.281022e+13
## [24,] 3.462118e+13
## [25,] 3.643215e+13
#Plot time series
ts.plot(dt.gab[,1], xlab="Periode", ylab="GDP", 
        main= "DMA N=3 Data GDP", xlim=c(1,25), ylim=c(1.021720e+13,3.736093e+13))
points(dt.gab[,1])
points(dt.gab[,3])
points(dt.gab[,6])
lines(dt.gab[,3],col="green",lwd=2)
lines(dt.gab[,6],col="red",lwd=2)
legend("topleft",c("data aktual","data pemulusan","data peramalan"), 
       lty=8, col=c("black","green","red"), cex=0.8)

Selanjutnya akan dilihat keakuratan dari metode DMA

#Menghitung nilai keakuratan
error.dma = data.ts-dt.ramal[1:length(data.ts)]
SSE.dma = sum(error.dma[6:length(data.ts)]^2)
MSE.dma = mean(error.dma[6:length(data.ts)]^2)
MAPE.dma = mean(abs((error.dma[6:length(data.ts)]/data.ts[6:length(data.ts)])*100))

akurasi.dma <- matrix(c(SSE.dma, MSE.dma, MAPE.dma))
row.names(akurasi.dma)<- c("SSE", "MSE", "MAPE")
colnames(akurasi.dma) <- c("Akurasi m = 3")
akurasi.dma
##      Akurasi m = 3
## SSE   9.914136e+24
## MSE   6.609424e+23
## MAPE  3.030578e+00

Selanjutnya akan digunakan metode Double Exponential Smoothing dengan cara sebagai berikut.

Pertama akan data akan dibagi menjadi data training dan data testing.

#membagi training dan testing
training<-data[1:16,2]
testing<-data[17:20,2]

#data time series
training.ts<-ts(training)
testing.ts<-ts(testing,start=17)

#eksplorasi data
plot(data.ts, col="red",main="Plot semua data")
points(data.ts)

plot(training.ts, col="blue",main="Plot data training")
points(training.ts)

plot(testing.ts, col="blue",main="Plot data testing")
points(testing.ts)

Selanjutnya akan dilakukan pemulusan dengan DES, kali ini langsung dicari lambda dan gamma optimum sebagai berikut. Nilai lambda dan gamma optimum dapat dilihat pada smoothing parameters alpha untuk nilai lambda dan beta untuk nilai gamma.

#Lamda dan gamma optimum
des.opt<- HoltWinters(training.ts, gamma = FALSE)
des.opt
## Holt-Winters exponential smoothing with trend and without seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = training.ts, gamma = FALSE)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 1
##  beta : 0.6203828
##  gamma: FALSE
## 
## Coefficients:
##           [,1]
## a 2.152139e+13
## b 8.862312e+11
plot(des.opt)
legend("topleft", c("Data Aktual", "Peramalan"), col = c("black", "red"), 
       lty = c(1,1))

#ramalan
ramalandesopt<- forecast(des.opt, h=5)
ramalandesopt
##    Point Forecast        Lo 80        Hi 80        Lo 95        Hi 95
## 17   2.240763e+13 2.199278e+13 2.282247e+13 2.177318e+13 2.304207e+13
## 18   2.329386e+13 2.250395e+13 2.408376e+13 2.208580e+13 2.450191e+13
## 19   2.418009e+13 2.296024e+13 2.539994e+13 2.231449e+13 2.604569e+13
## 20   2.506632e+13 2.336431e+13 2.676833e+13 2.246332e+13 2.766931e+13
## 21   2.595255e+13 2.372034e+13 2.818477e+13 2.253867e+13 2.936643e+13
ssedes.train<-des.opt$SSE
msedes.train<-ssedes.train/length(training.ts)
sisaandes<-ramalandesopt$residuals
head(sisaandes)
## Time Series:
## Start = 1 
## End = 6 
## Frequency = 1 
## [1]            NA            NA  -45615000000 -135057240131 -414281055935
## [6] -744697228569
mapedes.train <- sum(abs(sisaandes[3:length(training.ts)]/training.ts[3:length(training.ts)])*100)/length(training.ts)

akurasides.opt <- matrix(c(ssedes.train,msedes.train,mapedes.train))
row.names(akurasides.opt)<- c("SSE", "MSE", "MAPE")
colnames(akurasides.opt) <- c("Akurasi lamda dan gamma optimum")
akurasides.opt
##      Akurasi lamda dan gamma optimum
## SSE                     1.362952e+24
## MSE                     8.518449e+22
## MAPE                    1.269675e+00
#Akurasi data testing
selisihdesopt<-ramalandesopt$mean-testing.ts
selisihdesopt
## Time Series:
## Start = 17 
## End = 20 
## Frequency = 1 
## [1]  1.084676e+12 -3.001736e+11 -1.564019e+12 -2.294615e+12
SSEtestingdesopt<-sum(selisihdesopt^2)
SSEtestingdesopt<-SSEtestingdesopt/length(testing.ts)
MAPEtestingdesopt<-sum(abs(selisihdesopt/testing.ts)*100)/length(testing.ts)

akurasiDesTesting <- matrix(c(SSEtestingdesopt,SSEtestingdesopt,MAPEtestingdesopt))
row.names(akurasiDesTesting)<- c("SSE", "MSE", "MAPE")
colnames(akurasiDesTesting) <- c("Akurasi lamda dan gamma optimum")
akurasiDesTesting
##      Akurasi lamda dan gamma optimum
## SSE                     2.244511e+24
## MSE                     2.244511e+24
## MAPE                    5.205214e+00

Setelah didapatkan nilai akurasi untuk metode DMA dan DES, selanjutnya akan dibandingkan keakuratan antar metode keduanya.

cbind(akurasi.dma, akurasides.opt)
##      Akurasi m = 3 Akurasi lamda dan gamma optimum
## SSE   9.914136e+24                    1.362952e+24
## MSE   6.609424e+23                    8.518449e+22
## MAPE  3.030578e+00                    1.269675e+00

Berdasarkan perbandingan akurasi tersebut, terlihat nilai SSE, MSE, dan MAPE metode DES lebih kecil dibandingkan dengan metode DMA. Oleh karena itu, metode peramalan dan pemulusan yang terbaik antara keduanya adalah dengan metode DES.

Setelah melakukan peramalan, data yang telah dimasukkan kemudian dieksplorasi. Eksplorasi pertama yang dilakukan adalah dengan menggunakan scatter plot.

#Eksplorasi Data
#Pembuatan Scatter Plot
plot(data, pch = 20, col = "blue",
     main = "Scatter Plot Tahun vs Nilai GDP",
     xlab = "Tahun",
     ylab = "Nilai GDP")

#Menampilkan Nilai Korelasi
cor(data$periode, data$gdp)
## [1] 0.9682945

Berdasarkan scatter plot di atas, terlihat adanya hubungan / korelasi positif antara peubah tahun dengan nilai GDP, terlihat titik-titik pada plot yang naik ke arah kanan atas. Hal tersebut juga diperkuat dengan hasil perhitungan aplikasi R di mana didapatkan nilai korelasi sebesar \(0.9682945\).

Setalah mengetahui adanya hubungan antar dua peubah, maka model regresi dapat ditentukan.

Regresi

#Pembuatan Model Regresi
#model regresi
model<- lm(data$gdp~data$periode, data = data)
summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = data$gdp ~ data$periode, data = data)
## 
## Residuals:
##        Min         1Q     Median         3Q        Max 
## -1.248e+12 -7.961e+11 -4.876e+11  7.949e+11  2.705e+12 
## 
## Coefficients:
##                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -1.371e+15  8.444e+13  -16.23 3.42e-12 ***
## data$periode  6.948e+11  4.225e+10   16.45 2.74e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.09e+12 on 18 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9376, Adjusted R-squared:  0.9341 
## F-statistic: 270.4 on 1 and 18 DF,  p-value: 2.741e-12

Model yang dihasilkan adalah \[y_i= -1371000000000000 + 694800000000x_t\] Berdasarkan ringkasan model dapat diketahui bahwa hasil uji F memiliki p-value < \(\alpha\) (5%). Artinya, minimal terdapat satu variabel yang berpengaruh nyata terhadap model. Hasil uji-t parsial kedua parameter regresi, yaitu intersep dan koefisien regresi juga menunjukkan hal yang sama, yaitu memiliki p-value < \(\alpha\) (5%) sehingga nyata dalam taraf 5%. Selanjutnya dapat dilihat juga nilai \(R^2=0.9376\). Artinya, sebesar 93.76% keragaman nilai GDP dapat dijelaskan oleh peubah periode. Hasil ini menunjukkan hasil yang bagus, seolah mendapatkan hasil terbaik. Namun, kita perlu melakukan uji terhadap sisaannya seperti berikut ini.

#sisaan dan fitted value
sisaan<- residuals(model)
fitValue<- predict(model)

#Diagnostik dengan eksploratif
par(mfrow = c(2,2))
qqnorm(sisaan)
qqline(sisaan, col = "steelblue", lwd = 2)
plot(fitValue, sisaan, col = "steelblue", pch = 20, xlab = "Sisaan", ylab = "Fitted Values", main = "Sisaan vs Fitted Values")
abline(a = 0, b = 0, lwd = 2)
hist(sisaan, col = "steelblue")
plot(seq(1,20,1), sisaan, col = "steelblue", pch = 20, xlab = "Sisaan", ylab = "Order", main = "Sisaan vs Order")
lines(seq(1,20,1), sisaan, col = "red")
abline(a = 0, b = 0, lwd = 2)

Dua plot di samping kiri digunakan untuk melihat apakah sisaan menyebar normal. Normal Q-Q Plot di atas menunjukkan bahwa sisaan cenderung menyebar normal, tetapi histogram dari sisaan tidak menunjukkan demikian. Selanjutnya, dua plot di samping kanan digunakan untuk melihat autokorelasi. Plot Sisaan vs Fitted Value dan Plot Sisaan vs Order menunjukkan adanya pola pada sisaan. Untuk lebih lanjut akan digunakan uji formal melihat normalitas sisaan dan plot ACF dan PACF untuk melihat apakah ada autokorelasi atau tidak.

#Melihat Sisaan Menyebar Normal/Tidak
#H0: sisaan mengikuti sebaran normal
#H1: sisaan tidak mengikuti sebaran normal
ks.test(sisaan, "pnorm", mean=mean(sisaan), sd=sd(sisaan))
## 
##  Exact one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  sisaan
## D = 0.2311, p-value = 0.2016
## alternative hypothesis: two-sided

Berdasarkan uji formal Kolmogorov-Smirnov didapatkan nilai p-value > \(\alpha\) (5%). Artinya, cukup bukti untuk menyatakan sisaan berdistribusi normal.

#ACF dan PACF identifikasi autokorelasi
par(mfrow = c(1,2))
acf(sisaan)
pacf(sisaan)

Berdasarkan plot ACF lag 1 berada di luar rentang batas. Namun pada plot PACF terlihat semua dalam rentang batas dan tidak ada lag yang signifikan. Namun, untuk lebih memastikan akan dilakukan uji formal dengan uji Durbin Watson.

#Deteksi autokorelasi dengan uji-Durbin Watson
#H0: tidak ada autokorelasi
#H1: ada autokorelasi
dwtest(model)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model
## DW = 0.35794, p-value = 6.656e-08
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Berdasarkan hasil DW Test, didapatkan nilai \(DW = 0.35794\) dan p-value = $ 6.656e-08$. Diperoleh nilai \(DL = 1.4982\) dan \(DU = 1.5813\). Nilai DW < DL yaitu 0.35794 < 1.4982. Artinya, terdapat autokorelasi positif signifikan. selain itu, dengan nilai p-value < 0.05 dapat disimpulkan bahwa tolak H0, cukup bukti mengatakan adanya autokorelasi. Oleh karena itu, diperlukan penangan autokorelasi. Penanganan yang akan digunakan menggunakan dua metode, yaitu Cochrane-Orcutt dan Hildret-Lu.

Penanganan Autokorelasi

Metode Cochrane-Orcutt

Penanganan metode Cochrane-Orcutt dapat dilakukan dengan bantuan packages Orcutt pada aplikasi R maupun secara manual. Berikut ini ditampilkan cara menggunakan bantuan library packages Orcutt.

#Penanganan Autokorelasi Cochrane-Orcutt
modelCO<-cochrane.orcutt(model, max.iter=100)
## Warning in cochrane.orcutt(model, max.iter = 100): Did not converge
modelCO
## Cochrane-orcutt estimation for first order autocorrelation 
##  
## Call:
## lm(formula = data$gdp ~ data$periode, data = data)
## 
##  number of interaction: 100
##  rho 0.970266
## 
## Durbin-Watson statistic 
## (original):    0.35794 , p-value: 6.656e-08
## (transformed): NA , p-value: NA
##  
##  coefficients: 
## [1] NA

Hasil keluaran model setelah dilakukan transformasi adalah NA dikarenakan tidak konvergen. Hasil juga menunjukkan bahwa nilai DW dan p-value NA. Sehingga meningkat atau tidaknya belum diketahui. Untuk nilai \(ρ ̂\) optimum yang digunakan adalah \(0.9702661\). Nilai tersebut dapat diketahui dengan syntax berikut.

#Rho optimum
rho<- modelCO$rho
rho
## [1] 0.9702661

Selanjutnya akan dilakukan transformasi secara manual dengan syntax berikut ini.

data$gdp
##  [1] 1.221720e+13 1.303920e+13 1.381558e+13 1.447423e+13 1.476986e+13
##  [6] 1.447807e+13 1.504897e+13 1.559973e+13 1.625397e+13 1.688068e+13
## [11] 1.760814e+13 1.829502e+13 1.880491e+13 1.961210e+13 2.065652e+13
## [16] 2.152139e+13 2.132295e+13 2.359403e+13 2.574411e+13 2.736093e+13
data$gdp[-1]
##  [1] 1.303920e+13 1.381558e+13 1.447423e+13 1.476986e+13 1.447807e+13
##  [6] 1.504897e+13 1.559973e+13 1.625397e+13 1.688068e+13 1.760814e+13
## [11] 1.829502e+13 1.880491e+13 1.961210e+13 2.065652e+13 2.152139e+13
## [16] 2.132295e+13 2.359403e+13 2.574411e+13 2.736093e+13
#Transformasi Manual
GDP.trans<- data$gdp[-1]-data$gdp[-12]*rho
periode.trans<- data$periode[-1]-data$periode[-12]*rho
modelCOmanual<- lm(GDP.trans~periode.trans)
summary(modelCOmanual)
## 
## Call:
## lm(formula = GDP.trans ~ periode.trans)
## 
## Residuals:
##        Min         1Q     Median         3Q        Max 
## -8.394e+11 -2.501e+10  2.259e+10  1.087e+11  2.582e+11 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)   -2.925e+13  9.414e+12  -3.107  0.00641 **
## periode.trans  5.017e+11  1.569e+11   3.198  0.00527 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.393e+11 on 17 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3756, Adjusted R-squared:  0.3389 
## F-statistic: 10.23 on 1 and 17 DF,  p-value: 0.005273

Hasil model transformasi bukan merupakan model sesungguhnya. Koefisien regresi masih perlu dicari kembali mengikuti \(β_0^*=β_0+ρ ̂β_0\) dan \(β_1^*=β_1\).

#Mencari Penduga Koefisien Regresi setelah Transformasi ke Persamaan Awal
b0bintang <- modelCOmanual$coefficients[-2]
b0 <- b0bintang/(1-rho)
b1 <- modelCOmanual$coefficients[-1]
b0
##   (Intercept) 
## -9.835873e+14
b1
## periode.trans 
##  501705664402

Hasil perhitungan koefisien regresi tersebut adalah \[y_i=-983587300000000+501705664402x_t\]

Metode Hildreth-Lu

Penanganan kedua adalah menggunakan metode Hildreth-Lu. Metode ini akan mencari nilai SSE terkecil dan dapat dicari secara manual maupun menggunakan packages. Jika menggunakan packages, gunakan library packages HORM.

#Penanganan Autokorelasi Hildreth lu
# Hildreth-Lu
hildreth.lu.func<- function(r, model){
  x <- model.matrix(model)[,-1]
  y <- model.response(model.frame(model))
  n <- length(y)
  t <- 2:n
  y <- y[t]-r*y[t-1]
  x <- x[t]-r*x[t-1]
  
  return(lm(y~x))
}

#Pencariab rho yang meminimumkan SSE
r <- c(seq(0.1,0.9, by= 0.1))
tab <- data.frame("rho" = r, "SSE" = sapply(r, function(i){deviance(hildreth.lu.func(i, model))}))
round(tab, 4)
##   rho          SSE
## 1 0.1 1.800793e+25
## 2 0.2 1.560984e+25
## 3 0.3 1.345937e+25
## 4 0.4 1.155654e+25
## 5 0.5 9.901336e+24
## 6 0.6 8.493764e+24
## 7 0.7 7.333824e+24
## 8 0.8 6.421514e+24
## 9 0.9 5.756835e+24

Pertama-tama akan dicari di mana kira-kira \(ρ\) yang menghasilkan SSE minimum. Pada hasil di atas terlihat \(ρ\) minimum ketika 0.9. Namun, hasil tersebut masih kurang teliti sehingga akan dicari kembali \(ρ\) yang lebih optimum dengan ketelitian yang lebih. Jika sebelumnya jarak antar \(ρ\) yang dicari adalah 0.1, kali ini jarak antar \(ρ\) adalah 0.001 dan dilakukan pada selang 0.8 sampai dengan 0.9.

#Rho optimal di sekitar 0.4
rOpt <- seq(0.8,0.9, by= 0.001)
tabOpt <- data.frame("rho" = rOpt, "SSE" = sapply(rOpt, function(i){deviance(hildreth.lu.func(i, model))}))
head(tabOpt[order(tabOpt$SSE),])
##       rho          SSE
## 101 0.900 5.756835e+24
## 100 0.899 5.762256e+24
## 99  0.898 5.767702e+24
## 98  0.897 5.773172e+24
## 97  0.896 5.778668e+24
## 96  0.895 5.784188e+24
#Grafik SSE optimum
par(mfrow = c(1,1))
plot(tab$SSE ~ tab$rho , type = "l", xlab = "Rho", ylab = "SSE")
abline(v = tabOpt[tabOpt$SSE==min(tabOpt$SSE),"rho"], lty = 2, col="red",lwd=2)
text(x=0.9, y=0.2397500, labels = "rho=0.9", cex = 0.8)

Perhitungan yang dilakukan aplikasi R menunjukkan bahwa nilai \(ρ\) optimum, yaitu saat SSE terkecil terdapat pada nilai \(ρ=0.900\). Hal tersebut juga ditunjukkan pada plot. Selanjutnya, model dapat didapatkan dengan mengevaluasi nilai \(ρ\) ke dalam fungsi hildreth.lu.func, serta dilanjutkan dengan pengujian autokorelasi dengan uji Durbin-Watson. Namun, setelah pengecekan tersebut tidak lupa koefisien regresi tersebut digunakan untuk transformasi balik. Persamaan hasil transformasi itulah yang menjadi persamaan sesungguhnya.

#Model terbaik
modelHL <- hildreth.lu.func(0.9, model)
summary(modelHL)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##        Min         1Q     Median         3Q        Max 
## -1.353e+12 -2.370e+11 -8.817e+10  4.366e+11  9.707e+11 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -2.496e+14  4.894e+13  -5.100 8.89e-05 ***
## x            1.256e+12  2.437e+11   5.152 7.98e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.819e+11 on 17 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6096, Adjusted R-squared:  0.5867 
## F-statistic: 26.55 on 1 and 17 DF,  p-value: 7.976e-05
#Transformasi Balik
cat("y = ", coef(modelHL)[1]/(1-0.9), "+", coef(modelHL)[2],"x", sep = "")
## y = -2.496212e+15+1.25585e+12x

Setelah dilakukan tranformasi balik, didapatkan model dengan metode Hildreth-Lu sebagai berikut. \[y_i=-2.496212e+15+1.25585e+12x_t\]

#Deteksi autokorelasi
dwtest(modelHL)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelHL
## DW = 1.4252, p-value = 0.05641
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Hasil uji Durbin-Watson juga menunjukkan bawah nilai DW sebesar \(1.4252\) berada pada selang daerah tidak ada autokorelasi, yaitu pada rentang DU < DW < 4-DU atau \(1.4107 < DW < 2.589\). Hal tersebut juga didukung oleh p-value sebesar \(0.05641\), di mana p-value > \(\alpha\)=5%. Artinya tak tolak \(H_0\) atau belum cukup bukti menyatakan bahwa ada autokorelasi dalam data nilai GDP dengan metode Hildreth-Lu pada taraf nyata 5%.

Terakhir, akan dibandingkan nilai SSE dari ketiga metode (metode awal, metode Cochrane-Orcutt, dan Hildreth-Lu).

#Perbandingan
sseModelawal <- anova(model)$`Sum Sq`[-1]
sseModelCO <- anova(modelCOmanual)$`Sum Sq`[-1]
sseModelHL <- anova(modelHL)$`Sum Sq`[-1]
mseModelawal <- sseModelawal/length(data$gdp)
mseModelCO <- sseModelCO/length(data$gdp)
mseModelHL <- sseModelHL/length(data$gdp)
akurasi <- matrix(c(sseModelawal,sseModelCO,sseModelHL,
                    mseModelawal,mseModelCO,mseModelHL),nrow=2,ncol=3,byrow = T)
colnames(akurasi) <- c("Model Awal", "Model Cochrane-Orcutt", "Model Hildreth-Lu")
row.names(akurasi) <- c("SSE","MSE")
akurasi
##       Model Awal Model Cochrane-Orcutt Model Hildreth-Lu
## SSE 2.136887e+25          9.731007e+23      5.756835e+24
## MSE 1.068444e+24          4.865503e+22      2.878417e+23

Berdasarkan hasil tersebut dapat diketahui bahwa hasil penanganan autokorelasi dengan metode Cochrane-Orcutt dan Hildreth-Lu memiliki SSE yang berbeda, Cochrane-Orcutt sebesar \(9.731007e+23\), sedangkan Hildreth-Lu sebesar \(5.756835e+24\) dan keduanya lebih baik dibandingkan model awal ketika autokorelasi masih terjadi, yaitu sebesar \(2.136887e+25\).

Simpulan

Autokorelasi yang terdapat pada data GDP terjadi akibat adanya korelasi di antara unsur penyusunnya. Indikator GDP yang erat hubungannya dengan perekonomian sangat rawan menjadi penyebab adanya autokorelasi. Adanya autokorelasi menyebabkan model regresi kurang baik karena akan meingkatkan galatnya. Autokorelasi dapat dideteksi secara eksploratif melalui plot sisaan, ACF, dan PACF, serta dengan uji formal Durbin-Watson. Namun, autokorelasi tersebut dapat ditangani dengan metode Hildreth-Lu. Namun, pada metode Cochrane-Orcutt terdapat ketidakkonvergenan.